2021年遼寧省本溪市第三十三中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.6件產(chǎn)品中有2件次品與4件正品，從中任取2件，則下列可作為隨機(jī)變量的是

A.取到產(chǎn)品的件數(shù)

B.取到正品的件數(shù)

C.取到正品的概率

D.取到次品的概率參考答案：B2.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：3.已知a、b為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題：

①a∥b,a∥b∥;

②∥

③a∥,∥a∥

④∥

其中不正確的有

（

）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

參考答案：D4.命題：“x∈R，都有x2－x＋1>0”的否定是

A．x∈R，都有x2－x＋1≤0

B．x∈R，都有x2－x＋1>0

C．x∈R，都有x2－x＋1≤0．

D．以上選項(xiàng)均不正確參考答案：C5.直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個(gè)單位，所得到的直線為Ａ.

Ｂ.

Ｃ.Ｄ.參考答案：B6.數(shù)列{an}滿足a1=1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有am+n=am+an+mn，則等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】數(shù)列{an}滿足a1=1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有am+n=am+an+mn，可得an+1﹣an=1+n，利用“累加求和”可得an，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有am+n=am+an+mn，∴an+1﹣an=1+n，∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=．∴=．則=2++…+=2=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.矩形兩邊長(zhǎng)分別為a、b，且，則矩形面積的最大值是（

）A.4 B. C. D.2參考答案：B依題意可得，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。所以，即矩形面積的最大值為，故選B8.下面四個(gè)條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是（）A．a(chǎn)＞b+1 B．a(chǎn)＞b﹣1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3參考答案：A【考點(diǎn)】29：充要條件．【分析】利用不等式的性質(zhì)得到a＞b+1?a＞b；反之，通過舉反例判斷出a＞b推不出a＞b+1；利用條件的定義判斷出選項(xiàng)．【解答】解：a＞b+1?a＞b；反之，例如a=2，b=1滿足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的條件．故選：A．9.下面說法正確的是(

)

A．事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大B．事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小C．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件

參考答案：D略10.一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體棱長(zhǎng)的最大值為（）A．1 B． C．2 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】在一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，然后求出正方體的棱長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)球的半徑為r，由正四面體的體積得：4×=，解得r=，設(shè)正方體的最大棱長(zhǎng)為a，∴3a2=（2）2，解得a=2．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.由曲線，直線所圍成的封閉圖形的面積為________．參考答案：【分析】畫出曲線和直線的圖像，求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)定積分求得封閉圖形的面積.【詳解】解：作出兩條曲線對(duì)應(yīng)的封閉區(qū)域如圖：由，得，或，所以根據(jù)積分的幾何意義可知所求的幾何面積：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查定積分的計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.12.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積．參考答案：3π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】由題意，BC的中點(diǎn)就是球心，求出球的半徑，即可得到球的表面積．【解答】解：由題意，四面體A﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中點(diǎn)就是球心，所以BC=，球的半徑為：所以球的表面積為：=3π．故答案為：3π．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查四面體的外接球的表面積的求法，找出外接球的球心，是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，空間想象能力．13.已知為銳角三角形，且滿足，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_________．參考答案：

14.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足分別為，記，若直線的斜率，則的取值范圍為___________.參考答案：15.某高校進(jìn)行自主招生面試時(shí)的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對(duì)給10分，打錯(cuò)倒扣5分（每道題都必須回答，但相互不影響），設(shè)某學(xué)生對(duì)每道題答對(duì)的概率都為，則該學(xué)生在面試時(shí)得分的期望為

.參考答案：16.設(shè)滿足約束條件則的最小值是

。參考答案：17.已知分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，過作直線交此橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（8分）已知橢圓的方程為，若點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且,求的面積。參考答案：略19.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊4局，每局射擊10次，射擊命中目標(biāo)得1分，未命中目標(biāo)得0分．兩人4局的得分情況如下：甲6699乙79xy（Ⅰ）已知在乙的4局比賽中隨機(jī)選取1局時(shí)，此局得分小于6分的概率不為零，且在4局比賽中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x+y的值；（Ⅱ）如果x=6，y=10，從甲、乙兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，并將其得分分別記為a，b，求a≥b的概率；（Ⅲ）在4局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出x的所有可能取值．（結(jié)論不要求證明）參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）由題意，得x+y＞14，x，y中至少有一個(gè)小于6，x+y≤15，由此能求出x+y的值．（Ⅱ）設(shè)“從甲、乙的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，且得分滿足a≥b”為事件M，記甲的4局比賽為A1，A2，A3，A4，各局的得分分別是6，6，9，9；乙的4局比賽為B1，B2，B3，B4，各局的得分分別是7，9，6，10，利用列舉法能求出a≥b的概率．（Ⅲ）由題設(shè)條件能求出x的可能取值為6，7，8．【解答】（Ⅰ）解：由題意，得，即x+y＞14．…因?yàn)樵谝业?局比賽中，隨機(jī)選取1局，則此局得分小于的概率不為零，所以x，y中至少有一個(gè)小于6，…又因?yàn)閤≤10，y≤10，且x，y∈N，所以x+y≤15，所以x+y=15．…（Ⅱ）解：設(shè)“從甲、乙的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，且得分滿足a≥b”為事件M，…記甲的4局比賽為A1，A2，A3，A4，各局的得分分別是6，6，9，9；乙的4局比賽為B1，B2，B3，B4，各局的得分分別是7，9，6，10．則從甲、乙的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，所有可能的結(jié)果有16種，它們是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）．…而事件M的結(jié)果有8種，它們是：（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），…因此a≥b的概率．…（Ⅲ）解：x的可能取值為6，7，8．…20.已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．參考答案：（1）；（2）分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，因此，．?）因?yàn)闉殇J角，所以．又因?yàn)?，所以，因此．因?yàn)?，所以，因此，．點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.21.（本小題滿分12分）2012年3月2日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）試確定x,y的值，并寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過程）；

（2）完成相應(yīng)的頻率分布直方圖.（3）求出樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由.參考答案：解：(1)，-------------2分

眾數(shù)為22.5微克/立方米，中位數(shù)為37.5微克/立方米.----------4分

（2）其頻率分布直方圖如圖所示：

圖略-------------8分

(3)樣本的平均數(shù)為

--------10分

因?yàn)?，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民