費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)講義

費(fèi)馬點(diǎn)和加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)是解決最短路徑問(wèn)題的重要概念。費(fèi)馬點(diǎn)是指在三角形平面上，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，而加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)是指在帶權(quán)三角形平面上，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離加權(quán)和最小的點(diǎn)。下面我們來(lái)看一些例題和練習(xí)。例題1中，我們需要證明等邊三角形的外接圓上的任意一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和等于兩邊長(zhǎng)之和。同時(shí)，我們還需要了解費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的定義，即費(fèi)馬點(diǎn)是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，費(fèi)馬距離是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和的最小值。在知識(shí)遷移中，我們可以通過(guò)作圖的方式求出費(fèi)馬距離。在知識(shí)應(yīng)用中，我們需要判斷費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)并應(yīng)用到正方形和三角形的問(wèn)題中。練習(xí)1中，我們需要閱讀費(fèi)馬點(diǎn)的定義和證明，并通過(guò)作圖的方式求出費(fèi)馬距離。在知識(shí)遷移中，我們可以通過(guò)在三角形外部作等邊三角形來(lái)求出費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離。在知識(shí)應(yīng)用中，我們需要應(yīng)用費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的概念來(lái)解決水管鋪設(shè)的最短路徑問(wèn)題。練習(xí)2中，我們需要探究費(fèi)馬點(diǎn)和加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)在解決最短路徑問(wèn)題中的應(yīng)用。我們需要了解加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的定義和求解方法，并將其應(yīng)用到帶權(quán)三角形平面上求解水管鋪設(shè)的最短路徑問(wèn)題中。根據(jù)閱讀材料所提供的數(shù)學(xué)思想和方法，完成下面的題目：如圖（2），A、B、C、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)，使每?jī)蓚€(gè)城市之間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)為最短，應(yīng)當(dāng)如何修建？請(qǐng)畫(huà)出你的設(shè)計(jì)圖。解答：根據(jù)題意，我們需要找到四個(gè)點(diǎn)兩兩之間的最短路徑，并使得這些路徑的總長(zhǎng)度最小。由于四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)正方形，因此我們可以將它們連成一個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)，如圖所示。這樣，我們就得到了一個(gè)由兩條對(duì)角線(xiàn)組成的路徑網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)城市都與其他三個(gè)城市相連。由于正方形的對(duì)角線(xiàn)等于邊長(zhǎng)的$\sqrt{2}$倍，因此整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$倍的正方形邊長(zhǎng)。如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．解答：根據(jù)三角形的性質(zhì)，我們可以得到$\angleBCA=90^\circ-\angleBAC=60^\circ$，因此三角形$\triangleABC$是一個(gè)30-60-90的等腰三角形。設(shè)$BC=x$，則$AB=AC=2x\sin30^\circ=x$。又因?yàn)?P$是$AH$上的一點(diǎn)，所以$AP=x\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，$BP=CP=\frac{1}{2}x$。因此，$AP+BP+CP=\frac{3+\sqrt{3}}{2}x$。根據(jù)題意，$AP+BP+CP$的最小值為2，因此$\frac{3+\sqrt{3}}{2}x=2$，解得$x=\frac{4}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。因此，$BC=x=\sqrt{3}-1$。綜合與實(shí)踐：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖①，已知：△OAB中，OB＝3，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△OA′B，連接BB′．則BB′＝．問(wèn)題探究：如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線(xiàn)段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q．（1）求證：△DCQ≌△BCP（2）求PA+PB+PC的最小值．實(shí)際應(yīng)用：如圖③，某貨運(yùn)場(chǎng)為一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點(diǎn)A、D為兩個(gè)出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)貨物堆放平臺(tái)P，在BC邊上（含B、C兩點(diǎn)）開(kāi)一個(gè)貨物入口M，并修建三條專(zhuān)用車(chē)道PA、PD、PM．若修建每米專(zhuān)用車(chē)道的費(fèi)