自動(dòng)控制理論數(shù)學(xué)模型7/27/20231第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖-梅遜公式各種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換7/27/20232第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月概述[數(shù)學(xué)模型]：

我們把描述系統(tǒng)或元件的動(dòng)態(tài)過程中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型。概述7/27/20233第3頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析法——對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律實(shí)驗(yàn)法——人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法7/27/20234第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型復(fù)域模型狀態(tài)空間模型1、微分方程－輸入量和狀態(tài)變量都是連續(xù)的2、差分方程－離散系統(tǒng)頻率特性，波特圖1傳遞函數(shù)2結(jié)構(gòu)圖－信號(hào)流圖7/27/20235第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)。例如對(duì)一個(gè)微分方程，若已知初值和輸入值，對(duì)微分方程求解，就可以得出輸出量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的第一步也是最重要的一步。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。7/27/20236第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月[線性系統(tǒng)]：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個(gè)不同的作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)輸入量同時(shí)作用的響應(yīng)可以一個(gè)一個(gè)地處理，然后對(duì)每一個(gè)輸入量響應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行疊加。[線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)]：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時(shí)變控制的一個(gè)例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。概述7/27/20237第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月古典控制理論中，采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對(duì)線性定常系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。概述7/27/20238第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程7/27/20239第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。控制系統(tǒng)的微分方程7/27/202310第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)的微分方程[例2-1]：寫出RC串聯(lián)電路的微分方程。②①解：根據(jù)KVL定律由②：，代入①得：這是一個(gè)線性定常一階微分方程。7/27/202311第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月由②：，代入①得：這是一個(gè)線性定常二階微分方程。①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例2-2]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。7/27/202312第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月[例2-3]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個(gè)兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。控制系統(tǒng)的微分方程7/27/202313第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月[需要討論的幾個(gè)問題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：可見，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)和相似量[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。我們注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全一樣的。7/27/202314第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月2、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性：（1）線性疊加原理：系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。（2）均勻性原理：輸入輸出域內(nèi)保持比例因子不變非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化7/27/202315第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對(duì)于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，取前面的線性項(xiàng)?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如下圖中的。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為，當(dāng)很小時(shí)，AB段可近似看做線性的。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx07/27/202316第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月3.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，比如略去一些對(duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線性元部件進(jìn)行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟7/27/202317第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月[例2-4]：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負(fù)載-+-+功率放大器測(cè)速發(fā)電機(jī)[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動(dòng)量是線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-4]7/27/202318第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-4]⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運(yùn)放Ⅰ：，運(yùn)放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動(dòng)機(jī)環(huán)節(jié)：測(cè)速-運(yùn)放Ⅰ運(yùn)放Ⅱ功放電動(dòng)機(jī)⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：7/27/202319第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2控制系統(tǒng)復(fù)域數(shù)學(xué)模型7/27/202320第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)過程。了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響--分析可以對(duì)系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對(duì)傳遞函數(shù)的要求---綜合傳遞函數(shù)的基本概念7/27/202321第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時(shí)Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時(shí)域表達(dá)式y(tǒng)(t)。傳遞函數(shù)的基本概念稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。復(fù)習(xí)拉氏變換2.2.1、傳遞函數(shù)的基本概念7/27/202322第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明]傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對(duì)應(yīng)。且與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一一對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時(shí)稱為n階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的基本概念7/27/202323第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞函數(shù)的基本概念[例2-5]求電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。[解]已知電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉(zhuǎn)速對(duì)電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對(duì)負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：7/27/202324第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞函數(shù)的基本概念[例2-6]求下圖的傳遞函數(shù)：7/27/202325第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2-6]求下圖的傳遞函數(shù)（運(yùn)算電路法）7/27/202326第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)?！獋鬟f系數(shù)7/27/202327第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫成時(shí)間常數(shù)形式：分別稱為時(shí)間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：或其系數(shù)由或求得；7/27/202328第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡(jiǎn)單、最基本的一些形式。式中：或：7/27/202329第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：可調(diào)電位器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動(dòng)等。（一）比例環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：2.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)7/27/202330第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月積分環(huán)節(jié)有一個(gè)0值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用“”表示，零點(diǎn)用“”表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時(shí)間常數(shù)。（二）積分環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j07/27/202331第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月積分環(huán)節(jié)實(shí)例積分環(huán)節(jié)實(shí)例：①RC圖中，為轉(zhuǎn)角，為角速度?？梢?，為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動(dòng)機(jī)（忽略慣性和摩擦）齒輪組7/27/202332第32頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）慣性環(huán)節(jié)時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),時(shí)域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如下：通過原點(diǎn)的斜率為1/T，且只有一個(gè)極點(diǎn)（-1/T）。1yt00.632T通過原點(diǎn)切線斜率為1/TjRe0S平面慣性環(huán)節(jié)7/27/202333第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月①R2C-+R1而R②C兩個(gè)實(shí)例：慣性環(huán)節(jié)實(shí)例7/27/202334第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月振蕩環(huán)節(jié)（四）振蕩環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當(dāng)時(shí)，可分為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：7/27/202335第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月振蕩環(huán)節(jié)分析y(t)t0單位階躍響應(yīng)曲線極點(diǎn)分布圖若，傳遞函數(shù)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。還可以寫成：設(shè)輸入為：則7/27/202336第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時(shí)域形式有三種形式：①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對(duì)共軛零點(diǎn)若(）在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。7/27/202337第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：y(t)x(t)R1R2C[實(shí)例]微分環(huán)節(jié)實(shí)例7/27/202338第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)是一個(gè)非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡(jiǎn)單起見，化簡(jiǎn)如下：或x(t)ty(t)t7/27/202339第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點(diǎn)在s平面的右半平面，我們以后會(huì)看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。其他環(huán)節(jié)7/27/202340第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月①定義：如果有一個(gè)以時(shí)間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：,式中s為復(fù)數(shù)。記作F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為拉氏反變換。復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)習(xí)拉氏變換7/27/202341第41頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴線性性質(zhì)：⑵微分定理：⑶積分定理：（設(shè)初值為零）⑷時(shí)滯定理：⑸初值定理：復(fù)習(xí)拉氏變換②性質(zhì)：7/27/202342第42頁，課件共49