圓心角-弧-弦-弦心距的關(guān)系剖析圓心角-弧-弦-弦心距的關(guān)系剖析圓心角-弧-弦-弦心距的關(guān)系剖析DOABECDOABEC①平分弧的直徑必平分弧所對的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的?、喾謩e過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對的兩條弧分別三等分三、判斷下列說法的正誤√√√×××××CDABE已知：AB．求作：AB的中點(diǎn)．⌒⌒點(diǎn)E就是所求AB的中點(diǎn)．⌒例10、CABO你能確定AB的圓心嗎？⌒點(diǎn)O就是AB的圓心．⌒例12、.OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OBA圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OBA圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心·我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.OBA概念：

圓心角∠AOB所對的弦為AB，所對的弧為AB。⌒圓心角：1、判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。①②③④3、下面我們一起來觀察一下：在⊙O中有哪些圓心角？并說出圓心角所對的弧，弦。ABCo任意給圓心角，對應(yīng)出現(xiàn)兩個量：圓心角弧弦探究：

O·AA′B′B

如圖在圓O中，圓心角∠AOB=∠A1OB1，它們所對的弦ABA′B′所對的AB、A′B′

，有什么關(guān)系？⌒⌒根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A′OB′的位置時(shí)，∠AOB＝∠A′OB′，射線OA與OA′重合，OB與OB′重合．而同圓的半徑相等，OA=OA′，OB=OB′，∴點(diǎn)A與A′重合，B與B′重合．·OAB探究·OABA′B′A′B′二、如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A’OB’的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？∴重合，AB與A′B′重合．AB與A’B’∴AB=A’B’如圖，⊙O與⊙O1是等圓，∠AOB=∠A1OB1，請問上述結(jié)論還成立嗎？為什么?·O1·OABA1B1∵∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1，AB=A1B1.⌒⌒這樣，我們就得到下面的定理：圓心角定理：相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，

所對弦的弦心距也相等。在同圓或等圓中，

·OAA′B′BD′D 弦AB和弦A′B′

對應(yīng)的弦心距有什么關(guān)系？由條件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出三、圓心角與弧、弦的關(guān)系定理如圖:∠AOB＝∠COD,那么嗎?AB=CD⌒⌒ＡＢＣＤOEF思考:

·OAA′B′BD′D 如果AB=A′B′，那么∠AOB=∠A′O′B′，AB=A′B′，OD=O′D′嗎？⌒⌒在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對弦的弦的弦心距相等。

·OAA′B′BD′D 如果AB=A′B′，那么∠AOB=∠A′O′B′，AB=A′B′，OD=O′D′嗎？⌒⌒在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對弦的弦的弦心距相等。

·OAA′B′BD′D 如果OD=O′D′，那么∠AOB=∠A′O′B′，AB=A′B′，AB=A′B′嗎？⌒⌒在同圓或等圓中，相等的弦心距所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對弦的弧相等。在同圓或等圓中如果弦相等那么弦所對的圓心角相等弦所對的弧相等弦的弦心距相等在同圓或等圓中如果弦心距相等那么弦心距所對應(yīng)的圓心角相等弦心距所對應(yīng)的弧相等弦心距所對應(yīng)的弦相等在同圓或等圓中如果弧相等那么弧所對的圓心角相等弧所對的弦相等弧所對的弦的弦心距相等(1)圓心角(2)弧(3)弦(4)弦心距知一得三OαAA′B′αBD′D在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏1、已知：如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，OE、OF為AB、CD的弦心距，根據(jù)本節(jié)定理及推論填空：（1）如果AB=CD，那么_____________,________,____________。

（2）如果OE=OF，那么_____________,________,____________。（3）如果AB=CD那么______________,__________,____________。（4）如果∠AOB=∠COD，那么_________,________,_________?！小小螦OB=∠CODOE=OFAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDOE=OFOE=OFAB=CDAB=CD⌒⌒鞏固練習(xí)：2、如圖，∠1=∠2，∠1對AD，∠2對BC，問：AD=BC嗎？為什么？.OADBC12答：不相等，因?yàn)锳D，BC不是“相等圓心角對等弦”的弦3.下列命題中真命題是（）A。相等的弦所對的圓心角相等。B、圓心角相等，所對的弧相等。C、在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等。D、長度相等的弧所對的圓心角相等。4、在⊙O中，=，∠B=70°，則∠A=

＿＿＿ABAＣＡＢＣＯ5、如圖：AB為⊙O的直徑，==，∠COD=35°，則∠AOE=＿＿＿＿度。BCCDDEABCDEo解:∵AC=BD（已知）∴∴AB=CD∴6、如圖，在⊙O中AC=BD，,求∠2的度數(shù)?！?=∠2=45°（在同圓中，相等的弧所對的圓心角相等）AC-BC=BD-BC（等式的性質(zhì)）證明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO例1如圖,在⊙O中，

，∠ACB=60°，求證∠AOB=∠BOC=∠AOC.ABAC=∵

AB=AC．∴△ABC是等邊三角形.例3：已知如圖（1）⊙O中，AB、CD為⊙O的弦，∠1=∠2，求證：AB=CD變式練習(xí)1：如圖（1），已知弦AB=CD，求證：∠1=∠212ABCDO（1）變式練習(xí)2：如圖（2），⊙O中，弦AB=CD，求證：BD=ACABCDO變式練習(xí)3：如圖（2），⊙O中，弦BD=AC，猜測∠A與∠D的數(shù)量關(guān)系。（２）已知：AB是⊙O的直徑，M.N是AO.BO的中點(diǎn)。CM⊥AB,DN⊥AB,分別與圓交于C.D點(diǎn)。求證：AC=BDＣＮ例4：ＡＤＭＢ·OＡＤＭＢ·OＮＣ=CD例5：已知：如圖（1），已知點(diǎn)O在∠BPD的角平分線PM上，且⊙O與角的兩邊交于A、B、C、D，求證：AB=CDOPACDMB（1）變式1：如圖（2），∠P的兩邊與⊙O交與A、B、C、D，AB=CD求證：點(diǎn)O在∠BPD的平分線上OPACDB（2）變式2：如圖（3），P為⊙O上一點(diǎn)，PO平分∠APB，求證：PA=PBPABO(3)變式3：如圖（4），當(dāng)P在⊙O內(nèi)時(shí)，PO平分∠BPD，在⊙o中還存在相等的弦嗎？APCBDO（４）例6如圖，已知OA、OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，M、N分別為OA、OB的中點(diǎn)，求證：MC=NC⌒例7、如圖，BC為⊙O的直徑，OA是⊙O的半徑，弦BE∥OA,求證：AC=AE⌒⌒例8、如圖，AB，AC都是⊙O的弦，且∠CAB=∠CBA，求證：∠COB=∠COAOBACOACDBE證明：∵∠CAB=∠CBA（已知），∴AC=BC（等角對等邊）∴∠COB=∠COA（在同一圓中，如果兩條弦相等，那么兩條弦所對的加以角相等）。例9、如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，弦BE=BD求證：AC=BE⌒⌒證明：∵AB，CD是⊙O的兩條直徑，∴∠AOC=∠BOD。∴AC=BD，又∵BE=BD，∴AC=BE∴AC=BE⌒⌒例10

、如圖7所示，CD為⊙O的弦，在CD上取CE=DF，連結(jié)OE、OF，并延長交⊙O于點(diǎn)A、B.（1）試判斷△OEF的形狀，并說明理由；（2）求證：AC=BD⌒⌒EFOABCD例11

、如圖，等邊△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，連接OA、OB、OC，延長AO分別交BC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)D，連接BD、CD.（1）判斷四邊形BDCO的形狀，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為r，求△ABC的邊長⌒BCAOPD例12、如圖∠ABC=900，C、D為AB的三等分點(diǎn)，AB分別交OC、OD于EF求證：AE=BF=CDFEDCOBA⌒例13、如圖AB、CD為圓O兩條弦，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，且∠AMN=∠CNM求證：AB=CDNAOMDCB例14、在圓O中，AB=BC=CD,OB、OC分別交AC、DB點(diǎn)M、N.求證：△OMN是等腰三角形DONMACB⌒⌒⌒例15、以圓O的直徑為一邊作等邊△ABC，AB、AC交圓O于點(diǎn)D、E求證：BD=DE=ECOEDCBA例13（1）在同圓中，圓心角∠AOB=2∠COD,則AB與CD的大小關(guān)系為（）A.⌒⌒AB=2CD⌒⌒B.AB﹥2CD⌒⌒⌒⌒C.AB﹥2CD⌒D.不確定（2）在同圓中，若AB=2CD，則弦AB、CD的大小關(guān)系為（）A.AB=2CDB.AB﹥2CDC.AB﹤2CDD.不確定⌒(3)在同圓中，若弦AB=2CD則AB與CD的大小關(guān)系為（）A.AB=2CD⌒⌒B.AB﹥2CD⌒⌒C.AB﹥2CD⌒⌒D.不確定1°弧n°1°n°弧∵把圓心角等分成360份,則每一份的圓心角是1o.同時(shí)整個圓也被分成了360份.則每一份這樣的弧叫做1o的弧.這樣,1o的圓心角對著1o的弧,1o的弧對著1o的圓心角.no的圓心角對著no的弧,no的弧對著no的圓心角.性質(zhì):弧的度數(shù)和它所對圓心角的度數(shù)相等.小結(jié)（2）所對的圓心角和所對的圓心角相等在兩個圓中，分別有,若的度數(shù)和相等，則有（1）和相等判斷1.在半徑相等的⊙O和⊙O中,AB和A