2.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的Matlab實現(xiàn)2.2基于Matlab的線性系統(tǒng)時域分析2.3基于Matlab的線性系統(tǒng)頻域分析第二章基于MATLAB的線性連續(xù)系統(tǒng)分析1數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)。在MATLAB中，用來表示線性連續(xù)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有：分子分母多項式模型，零極點增益模型與Simulink結(jié)構(gòu)圖。一、分子分母多項式模型對于單輸入單輸出(SISO)連續(xù)線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：2.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的Matlab實現(xiàn)2其傳遞函數(shù)分子，分母均按s的降冪排列。在MATLAB里，可直接用分子、分母多項式系數(shù)構(gòu)成的兩個向量num與den表示系統(tǒng)。3在MATLAB中，用tf()命令來建立控制系統(tǒng)的分子分母多項式模型。其調(diào)用格式為：sys=tf(num,den)：返回連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，num與den分別為系統(tǒng)的分子與分母多項式系數(shù)向量；若已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)G，其分子與分母多項式系數(shù)向量可分別由G.num{1}與G.den{1}指令求出。4已知兩系統(tǒng)傳遞函數(shù)分別為試用MATLAB創(chuàng)建系統(tǒng)分子分母多項式模型。例：num1=[8,24,16];den1=[1,12,47,60,0];sys1=tf(num1,den1)num2=6*[1,5];den2=conv(conv([1,3,1],[1,3,1]),[1,6]);sys2=tf(num2,den2)5對連續(xù)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)表達(dá)式還可以用系統(tǒng)增益、零點與極點表示為：二、零極點增益模型MATLAB中，連續(xù)系統(tǒng)可以直接用零點向量z，極點向量p和增益量k來表示系統(tǒng)6sys=zpk(z,p,k)：用來建立連續(xù)系統(tǒng)的零極點增益模型；MATLAB中，用函數(shù)命令zpk()來建立控制系統(tǒng)的零極點增益模型，其調(diào)用格式為：若已知系統(tǒng)零極點增益模型傳遞函數(shù)sys，其零點與極點可分別由sys.z{1}與sys.p{1}指令求出。7已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試用MATLAB創(chuàng)建系統(tǒng)的零極點增益模型。例：z=[-1,-2];p=[-2-i,-2+i,-3];k=1;sys=zpk(z,p,k)8三、兩種數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換這兩種數(shù)學(xué)模型之間是可以相互轉(zhuǎn)換的，其調(diào)用格式分別為：

tf(sys)

——將零極點增益模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型；

zpk(sys)——將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點增益模型。例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：試求其等效的零極點增益模型。sys2=zpk(sys1)9[z,p,k]=tf2zp(num,den)，其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項式系數(shù)向量，z,p,k分別為系統(tǒng)對應(yīng)的零點向量、極點向量和增益。[num,den]=zp2tf(z,p,k)，其中z,p,k分別為系統(tǒng)的零點向量、極點向量和增益。num和den分別為系統(tǒng)對應(yīng)的傳遞函數(shù)模型分子與分母多項式系數(shù)向量。注意：z,p必須為列向量！10例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

根據(jù)傳遞函數(shù)求解零點、極點和增益值。num=[2,3,4];den=[3,4,5,6,7,8,9];[z,p,k]=tf2zp(num,den)11控制系統(tǒng)框圖的化簡主要包括串聯(lián)環(huán)節(jié)、并聯(lián)環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的化簡。四、控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化簡1、串聯(lián)環(huán)節(jié)化簡在MATLAB中，當(dāng)n個模型串聯(lián)時，可用sys=sys1*sys2*…*sysn來求串聯(lián)后的系統(tǒng)模型。還可用命令series()函數(shù)來實現(xiàn)兩個系統(tǒng)模型的串聯(lián)，其調(diào)用格式為：sys=series(sys1,sys2)。12G1=tf(1,[1,2,1]);G2=tf(1,[1,1]);G=G1*G2G=series(G1,G2)已知兩系統(tǒng)傳遞函數(shù)分別為求兩系統(tǒng)串聯(lián)后的系統(tǒng)模型。例：132、并聯(lián)環(huán)節(jié)化簡在MATLAB中，當(dāng)n個模型并聯(lián)時，可用sys=sys1+sys2+…+sysn來求并聯(lián)后的系統(tǒng)模型。還可用命令parallel()函數(shù)來實現(xiàn)兩個系統(tǒng)模型的串聯(lián)，其調(diào)用格式為：sys=parallel(sys1,sys2)。14G1=tf(1,[1,2,1]);G2=tf(1,[1,1]);G=G1+G2G=parallel(G1,G2)已知兩系統(tǒng)傳遞函數(shù)分別為求兩系統(tǒng)并聯(lián)聯(lián)后的系統(tǒng)模型。例：153、反饋環(huán)節(jié)化簡sys=feedback(sys1,sys2,sign)——sys1為前向通道傳遞函數(shù)模型，sys2為反饋環(huán)節(jié)模型，sign為反饋極性，取-1時，為負(fù)反饋；取1時，表示正反饋；默認(rèn)值為-1。MATLAB中，用函數(shù)命令feedback()來求反饋連接下的系統(tǒng)模型，其調(diào)用格式為：16G1=tf(1,[1,2,1]);G2=tf(1,1);disp('負(fù)反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：')G=feedback(G1,G2)disp('正反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：')G=feedback(G1,G2,1)例：17)(1sG)(2sG)(3sG)(4sG)(1sH)(3sH)(2sH)(sR)(sC－－－例：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)，其中18G1=tf(1,[1,10]);G2=tf(1,[1,1]);G3=tf([1,0,1],[1,4,4]);G4=tf([1,1],[1,6]);H1=tf(1,1);H2=tf(1,1);H3=tf(1,[1,2]);G5=feedback(series(G3,G4),H3);G6=feedback(series(G5,G2),H2/G4);G7=feedback(series(G6,G1),H3)192.2基于Matlab的線性系統(tǒng)時域分析2.2.1線性系統(tǒng)時域響應(yīng)一、連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)在MATLAB中，用step()命令求連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，其調(diào)用格式為：step(sys,t)，函數(shù)在當(dāng)前圖形窗口中直接繪制出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。式中sys是由tf或zpk函數(shù)建立的系統(tǒng)模型；t可以指定為一個仿真終止時間，此時t為標(biāo)量；也可將其設(shè)置為一個時間矢量(用t=0:dt:Tfinal的形式)。[y,t]=step(sys)，不繪制階躍響應(yīng)曲線，返回階躍響應(yīng)幅值y和時間t。20num=80;den=[1,2,0];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1);step(closys,1:0.1:10)

例：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向通道的傳遞函數(shù)為：，試作出其單位階躍響應(yīng)曲線。21MATLAB中，用函數(shù)命令impulse()來求連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)，其調(diào)用格式同step()函數(shù)。二、連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)num=80;den=[1,2,0];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1);impulse(closys)

例：22MATLAB中，沒有求斜坡響應(yīng)和加速度響應(yīng)的特定函數(shù)，根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義：三、連續(xù)系統(tǒng)單位斜坡和單位加速度響應(yīng)對于單位階躍信號有：對于單位斜坡信號有：對于單位加速度信號有：23由此可以看出：可以將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)除以拉氏算子s(s2)

，再使用step函數(shù)就求得系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（單位加速度響應(yīng)）。在MATLAB中，只需在系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式向量最末位補上一個（兩個）“0”即可。24num=80;den=[1,2,0];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1);sys1=closys*tf(1,[1,0]);step(sys1),figure(2);sys2=closys*tf(1,[1,0,0]);step(sys2)例：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向通道的傳遞函數(shù)為：，試作出其單位斜坡響應(yīng)曲線和單位加速度響應(yīng)曲線。25

對于其他信號，沒有特定的函數(shù)相對應(yīng)，但用函數(shù)命令lsim()來求其時間響應(yīng)，其調(diào)用格式為：四、連續(xù)系統(tǒng)任意輸入下的時間響應(yīng)

lsim(sys,r,t)，繪制輸入信號r作用下系統(tǒng)sys在時間t內(nèi)的響應(yīng)曲線。y=lsim(sys,r,t)，不繪制響應(yīng)曲線，返回系統(tǒng)sys在輸入信號r作用下時間響應(yīng)的幅值y。26num=9;den=[1,4,9];sys=tf(num,den);t=0:.1:4;subplot(221);impulse(sys,t)

subplot(222);step(sys,t)subplot(223);r1=t;lsim(sys,r1,t)subplot(224);r2=sin(4*t);lsim(sys,r2,t)例：已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：試作出系統(tǒng)在單位脈沖、單位階躍、單位斜坡和正弦信號作用下的響應(yīng)曲線。27在自動控制原理中，最常用的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)有4個：上升時間tr，峰值時間tp，超調(diào)量σ%和調(diào)整時間ts。2.2.2階躍響應(yīng)動態(tài)性能指標(biāo)計算一、一階系統(tǒng)28由圖中可以看出，一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是一個按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升的過程。其動態(tài)性能指標(biāo)中無超調(diào)量、峰值時間和上升時間等。一般只需計算的動態(tài)性能指標(biāo)就是調(diào)節(jié)時間ts

。29特征方程：特征根：時間常數(shù)阻尼系數(shù)無阻尼自然振蕩頻率二、二階系統(tǒng))s(snnζww22+R(s)C(s)+-特征方程有一對共軛復(fù)數(shù)根。其響應(yīng)曲線是一條衰減振蕩曲線。30超調(diào)量調(diào)整時間峰值時間上升時間0<ζ<1二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)31（1）繪制其單位階躍響應(yīng)曲線：num=[1.25];den=[110];G=tf(num,den);phi=feedback(G,1);step(phi)設(shè)一單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試?yán)L制出該閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線并計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。例：

1.25--------------s^2+s+1.2532（2）計算系統(tǒng)的性能指標(biāo)：wn=sqrt(1.25);zeta=solve('2*zeta*sqrt(1.25)=1','zeta');系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是衰減振蕩曲線。屬于欠阻尼系統(tǒng)。由前面的計算公式可知，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)與阻尼系數(shù)ζ和無阻尼自然振蕩頻率ωn有關(guān)系。故首先要求出這兩個參數(shù)。beta=acos(zeta);tr=(pi-beta)/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))tr=simplify(tr)tp=pi/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))tp=simplify(tp)ts=3/(zeta*wn)ts=simplify(ts)sigma=exp(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2))sigma=simplify

(sigma)

1.25--------------s^2+s+1.2533例：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。試確定k值，使阻尼系數(shù)ζ=0.5，繪制此系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線并計算此時的單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)。

8.016+ss1K--RC34（1）首先求出此系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：symssG1G2H1H2phi1phiK;G1=16/(s+0.8);H1=K;phi1=G1/(1+G1*H1);G2=phi1*1/s;H2=1;phi=factor(G2/(1+G2*H2))（2）已知ζ=0.5，求K。wn=sqrt(16);zeta=0.5;k=(2*zeta*wn-0.8)/1635（3）繪制單位階躍響應(yīng)曲線：step([80],[52080])（4）計算系統(tǒng)的性能指標(biāo)：zeta=0.5;wn=4;beta=acos(zeta);tr=(pi-beta)/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))tp=pi/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))ts=3/(zeta*wn)sigma=exp(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2))362.2.3線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部具有負(fù)實部，即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部在[s]平面左半平面。系統(tǒng)穩(wěn)定的定義：設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。37控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法：根據(jù)系統(tǒng)脈沖或階躍響應(yīng)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；直接由閉環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)特征根（閉環(huán)極點）；勞斯穩(wěn)定性判據(jù)；由開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)求閉環(huán)系統(tǒng)極點（根軌跡法）；Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)；由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。38一、求閉環(huán)極點在MATLAB中，由閉環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)特征根的函數(shù)為pole()，其調(diào)用格式為：p=pole(sys)——式中sys是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，此指令可以得到sys的極點數(shù)據(jù)，保存在變量p中。39num=[12];den=[1

3

20];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1)pole(closys)den1=closys.den{1};roots(den1)step(closys);holdonimpulse(closys)例：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。40二、繪制零、極點圖在MATLAB中，繪制零極點圖的函數(shù)指令為pzmap()，其調(diào)用格式為：[p,z]=pzmap(sys)——式中sys是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，此指令可以得到sys的零點和極點數(shù)據(jù)，不繪制零、極點圖；零點數(shù)據(jù)保存在變量z中，極點數(shù)據(jù)保存在變量p中；pzmap(p,z)——用于在復(fù)平面繪制零、極點圖。在圖中，極點用“×”表示，零點用“○”表示；極點p為行向量，零點z為列向量。41num=[12];den=[1

3

20];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1)[p,z]=pzmap(closys)pzmap(p,z)例：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制該系統(tǒng)的零、極點圖。422.2.4控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時間t趨于無窮時，e(t)極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差求法：根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差定義和終值定理；靜態(tài)誤差系數(shù)法；43一、用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差例：一單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試計算輸入單位階躍信號時系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差。%先判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性num1=[10];den1=[12];G=tf(num1,den1);phi=feedback(G,1)pole(phi)44單位負(fù)反饋系統(tǒng)單位階躍信號輸入時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：symssessess=limit(1/(1+10/(s+2)),s,0)45例：一負(fù)反饋系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)為試計算輸入單位斜坡信號時系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差。反饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為num2=[10];den2=[120];G2=tf(num2,den2);H2=tf([101],[1]);phi2=feedback(G2,H2)p=phi2.den{1};roots(p)46輸入單位斜坡信號時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：symssessess=limit((1/(s*(1+(10/(s*(s+2)))*(1+10*s)))))47一、極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）2.4基于Matlab的線性系統(tǒng)頻域分析nyquist(sys)，sys系統(tǒng)傳遞函數(shù)。此時繪制出來的極坐標(biāo)圖的默認(rèn)角頻率ω是從-∞~+∞。這點與自動控制原理略有不同。nyquist(num,den)，num,den系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子與分母多項式系數(shù)向量。MATLAB中用來繪制連續(xù)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖的指令為nyquist()，其調(diào)用格式為：48nyquist(sys，{wmim,wmax})，繪制ω為wmin~wmax范圍內(nèi)sys的極坐標(biāo)圖。[re,im]=nyquist(sys,w)，計算給定頻率點w處頻率特性的實部re和虛部im。[re,im,w]=nyquist(sys)，返回頻率特性實部re和虛部im的數(shù)值及頻率點w。49num=1;den=[0.2,1];sys=tf(num,den);nyquist(sys)例：試?yán)L制一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖。50二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半平面上有P個極點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：開環(huán)系統(tǒng)Nyquist曲線及其鏡像當(dāng)ω從－∞→＋∞變化時，以逆時針方向包圍(-1,j0)點P圈；若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)極點均在左半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：開環(huán)系統(tǒng)Nyquist曲線及其鏡像當(dāng)ω從－∞→＋∞變化時，不包圍(-1,j0)點。51MATLAB中運用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的步驟為：(1)繪制開環(huán)系統(tǒng)Nyquist曲線。(2)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半平面上的極點個數(shù)p判斷開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。(3)根據(jù)Nyquist曲線繞(-1,j0)點的圈數(shù)和p來判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。52num1=[5];den1=conv([11],[0.11]);sys1=tf(num1,den1);nyquist(sys1)答案：開環(huán)穩(wěn)定，不包圍(-1,j0)點。例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)Nyquist圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。num2=[5];den2=conv([11],[0.1-1]);sys2=tf(num2,den2);nyquist(sys2)答案：開環(huán)不穩(wěn)定，包圍(-1,j0)點。但是是順時針，不穩(wěn)定？？53bode(sys)——繪制系統(tǒng)sys的Bode圖，sys為由tf、zpk建立起來的控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。bode(sys，w)——繪制給定頻率點w處的對數(shù)幅頻特性曲線，w可由logspace()函數(shù)生成。bode(num，den)——繪制系統(tǒng)Bode圖，num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子分母多項式系數(shù)向量。MATLAB中用來繪制連續(xù)系統(tǒng)Bode圖的指令為bode()，它的調(diào)用格式為：三、對數(shù)坐標(biāo)圖(bode圖)54bode(sys，{wmim,wmax})，繪制ω為wmin~wmax范圍內(nèi)sys的Bode圖。[mag,phase]=bode(sys,w)，計算給定頻率點w處頻率特性的幅值mag和相角phase。[mag,phase,w]=bode(sys)，返回頻率特性幅值mag和相角phase的數(shù)值及頻率點w。55Bode穩(wěn)定性條件如果開環(huán)特征多項式?jīng)]有右半平面的根，且在幅值L(W)≥0的所有角頻率范圍內(nèi)，相角范圍都大于-π線，那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。56num=8000;den=[1302000];sys=tf(num,den);w=logspace(-1,3);bode(sys,w)Grid例：試?yán)L制一階慣性環(huán)節(jié)的Bode