8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性

8.2一元線性回歸模型及其應用8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性

8.2一元線性回歸模型及其【新教材】高中數(shù)學人教A版選擇性必修第三冊課件：81成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性-82一元線性回歸模型激趣誘思知識點撥你知道“烏鴉叫,沒好兆”這樣的迷信說法的原因嗎?日常生活中類似這樣的諺語,如“名師出高徒”“龍生龍,鳳生鳳,老鼠的孩子會打洞”又能說明什么樣的相關關系呢?激趣誘思知識點撥你知道“烏鴉叫,沒好兆”這樣的迷信說法的原因激趣誘思知識點撥一、變量的相關關系1.相關關系:兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.2.散點圖:將樣本中的每一個序號下的成對樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標系中的點表示出來,由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.3.正相關與負相關:如果從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關;如果當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢,則稱這兩個變量負相關.激趣誘思知識點撥一、變量的相關關系激趣誘思知識點撥4.線性相關:一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關,而且散點落在一條直線附近,我們就稱這兩個變量線性相關.5.非線性相關:一般地,如果兩個變量具有相關性,但不是線性相關,那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.激趣誘思知識點撥4.線性相關:一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)激趣誘思知識點撥微練習下列兩個變量具有相關關系的是(

)A.角度和它的余弦值

B.正方形的邊長和面積C.人的年齡與身高 D.人的身高和體重解析:A,B具有確定性的函數(shù)關系;C無相關關系;一般地,身高越高,體重越重,是相關關系.故選D.答案:D激趣誘思知識點撥微練習激趣誘思知識點撥微思考相關關系與函數(shù)關系有什么異同點?提示:相同點:兩者均是指兩個變量的關系.不同點:①函數(shù)關系是一種確定的關系,如圓的面積S與半徑r的關系,它可以用函數(shù)關系式S=πr2來表示;相關關系是一種非確定的關系,如人的體重y與身高x有關,一般來說,身高越高,體重越重,但不能用一個函數(shù)關系式來嚴格地表示它們之間的關系.函數(shù)關系是兩個非隨機變量的關系,而相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系.②函數(shù)關系是一種因果關系,而相關關系不一定是因果關系,也可能是伴隨關系.激趣誘思知識點撥微思考激趣誘思知識點撥二、樣本相關系數(shù)對于變量x和變量y,設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的均值分別為我們稱r為變量x和變量y的樣本相關系數(shù).激趣誘思知識點撥二、樣本相關系數(shù)我們稱r為變量x和變量y的樣激趣誘思知識點撥名師點析樣本相關系數(shù)r的性質(1)當r>0時,稱成對數(shù)據(jù)正相關;當r<0時,稱成對數(shù)據(jù)負相關.(2)當|r|越接近1時,成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越強;當|r|越接近0時,成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱.(3)樣本相關系數(shù)r的取值范圍為[-1,1].激趣誘思知識點撥名師點析樣本相關系數(shù)r的性質激趣誘思知識點撥微練習對于樣本相關系數(shù)r,敘述正確的是(

)A.|r|∈(0,+∞),|r|越大,相關程度越強,反之,相關程度越弱B.r∈(-∞,+∞),r越大,相關程度越強,反之,相關程度越弱C.|r|≤1,|r|越接近于1,相關程度越強;|r|越接近于0,相關程度越弱D.以上說法都不對解析:由樣本相關系數(shù)的性質知,r∈[-1,1],排除A,B;|r|越接近于1,相關程度越強,|r|越接近于0,相關程度越弱,故選C.答案:C激趣誘思知識點撥微練習激趣誘思知識點撥三、一元線性回歸模型

我們稱該式為Y關于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機誤差.如果e=0,那么Y與x之間的關系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.激趣誘思知識點撥三、一元線性回歸模型激趣誘思知識點撥四、一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計1.經驗回歸方程激趣誘思知識點撥四、一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計激趣誘思知識點撥2.殘差與殘差分析對于響應變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經驗回歸方程得到的

稱為預測值,觀測值減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果,通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果,以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱為殘差分差.3.在殘差圖中,當殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定,是均值為0、方差為σ2的隨機變量的觀測值.可見,通過觀察殘差圖就可以直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型的假設.激趣誘思知識點撥2.殘差與殘差分析激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥微思考在回歸分析中,利用經驗回歸方程求出的值一定是真實值嗎?為什么?提示:不一定是真實值.利用經驗回歸方程求出的值,在很多時候只是預測值,例如,人的體重與身高存在一定的線性相關關系,但體重除了受身高的影響外,還受其他因素的影響,如飲食、是否喜歡運動等.激趣誘思知識點撥微思考激趣誘思知識點撥微練習(1)如果記錄了x,y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么y關于x的經驗回歸直線必過點(

)A.(2,2) B.(1.5,2) C.(1,2) D.(1.5,4)∴經驗回歸直線必過點(1.5,4).答案:D激趣誘思知識點撥微練習∴經驗回歸直線必過點(1.5,4).激趣誘思知識點撥(2)若一個樣本的總偏差平方和為80,殘差平方和為60,則R2為

.

答案:0.25激趣誘思知識點撥(2)若一個樣本的總偏差平方和為80,殘差平探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測樣本相關系數(shù)的應用例1現(xiàn)隨機抽取了某中學高一10名在校學生,他們入學時的數(shù)學成績x與入學后第一次考試的數(shù)學成績y如下表:學生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問:這10名學生的兩次數(shù)學成績是否具有線性相相關關系?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測樣本相關系數(shù)的應用學探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測由此可看出這10名學生的兩次數(shù)學成績線性相關.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測由此可看出這10名學探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

利用樣本相關系數(shù)判斷線性相關的求解策略先計算樣本相關系數(shù)r的值,再用|r|與0或1比較,進而對變量x與變量y的相關關系作出判斷.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用樣本相探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1已知兩個變量x和y的七組數(shù)據(jù)如下表:x21232527293235y711212466115325試判斷x與y之間是否具有線性相關關系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1已知兩個變探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求經驗回歸方程例2某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù):x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),建立y關于x的經驗回歸方程;(3)試根據(jù)求出的經驗回歸方程,預測記憶力為9的同學的判斷力.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求經驗回歸方程x68探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)散點圖如圖:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)散點圖如圖探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.求經驗回歸方程:2.利用經驗回歸方程進行預測:把經驗回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.3.利用經驗回歸方程判斷正、負相關:決定正相關還是負相關的是探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟1.求經驗探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2隨著我國經濟的發(fā)展,居民儲蓄存款逐年增長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表:年份20152016201720182019時間代號t12345儲蓄存款y/千億元567810(1)建立y關于t的經驗回歸方程;(2)用所求經驗回歸方程預測該地區(qū)的居民2020年(t=6)的人民幣儲蓄存款.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2隨著我國經探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)根據(jù)數(shù)據(jù)畫出散點圖(略),由散點圖可知y與t線性相關.列表計算如下:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)根據(jù)數(shù)據(jù)畫探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測回歸分析例3某運動員訓練次數(shù)x與成績y的數(shù)據(jù)如下:次數(shù)x3033353739444650成績y3034373942464851(1)作出散點圖;(2)建立成績y關于次數(shù)x的經驗回歸方程;(3)作出殘差圖;(4)計算R2,并用R2說明擬合效果的好壞.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測回歸分析次數(shù)x303探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)該運動員訓練次數(shù)x與成績y之間的散點圖如圖所示,由散點圖可知,它們之間具有線性相關關系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)該運動員訓探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(3)某運動員訓練次數(shù)與成績之間的數(shù)據(jù)及相應的殘差數(shù)據(jù)為

殘差圖如圖所示.由圖可知,殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明選用的模型比較合適.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(3)某運動員訓練次探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(4)計算得R2≈0.985

5.說明擬合效果較好.反思感悟

1.解答本類題目應先通過散點圖來分析兩個變量是否線性相關,再利用求經驗回歸方程的公式求解經驗回歸方程,并利用殘差圖或R2來分析模型的擬合效果.2.“R2、殘差圖”在回歸分析中的作用:(1)R2是用來刻畫回歸效果的,由R2=1-,可知R2越大,意味著殘差平方和越小,也就是說模型的擬合效果越好.(2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的,判斷依據(jù)是:殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(4)計算得R2≈0探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3在一段時間內,某種商品的價格x(單位:元)和需求量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下:x/元1416182022y/件1210753已知x與y線性相關,求出y關于x的經驗回歸方程,并用R2說明擬合效果的好壞.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3在一段時間探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求非線性經驗回歸方程例4某地區(qū)六年來輕工業(yè)產品利潤總額y(單位:億元)與年次x的數(shù)據(jù)如下:年次x123456利潤總額y/億元11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經驗知,年次x與利潤總額y(單位:億元)近似有如下關系:y=abxe0.其中a,b均為正數(shù),求y關于x的經驗回歸方程.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求非線性經驗回歸方程探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:對y=abxe0兩邊取自然對數(shù),得ln

y=ln

ae0+xln

b.令z=ln

y,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=ln

ae0+xln

b及最小二乘法,得ln

b≈0.049

1,ln

ae0≈2.371,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:對y=abxe0探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

非線性經驗回歸方程的求法

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟非線性經驗探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4某展會一天上午9點半到下午2點的即時參觀人數(shù)如下表:時間9.51010.51111.51212.51313.514人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71已知時間與參觀人數(shù)具有很強的相關關系,試求出這段時間內即時參觀人數(shù)關于時間的經驗回歸方程.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4某展會一天探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖所示.由圖可以看出,樣本點分布在某條對數(shù)型函數(shù)曲線y=a+bln

x的周圍.令z=ln

x,則y=a+bz,故y與z具有線性相關關系.可知y與z的數(shù)據(jù)如下表:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測z2.252.302.352.402.442.482.532.562.602.64人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71由表中數(shù)據(jù)可得y關于z的經驗回歸方程為

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測z2.252.302探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法優(yōu)化——求經驗回歸方程的方法和技巧典例某地糧食需求量逐年上升,部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:年

份20112013201520172019需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量y關于年份x的經驗回歸方程;(2)利用(1)中所求出的經驗回歸方程預測該地2021年的糧食需求量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法優(yōu)化——求經驗回探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間具有線性相關關系.下面來求經驗回歸方程,先將數(shù)據(jù)處理如下:年份-2015-4-2024需求量-257-21-1101929探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)由所給數(shù)據(jù)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測由上述計算結果,可知所求經驗回歸方程為

(2)利用所求得的經驗回歸方程,可預測2021年的糧食需求量為6.5×(2021-2015)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(萬噸).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測由上述計算結果,可知探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛

求經驗回歸方程時,重點考查的是計算能力.若本題用一般方法去解,則計算比較煩瑣(如年份、需求量不做如上處理),所以平時訓練時遇到數(shù)據(jù)較大時要考慮有沒有更簡便的方法解決.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛求經驗回歸探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測跟蹤訓練某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此做了四次試驗,根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點圖,其中x表示零件的個數(shù),y表示加工時間,則y關于x的經驗回歸方程是

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測跟蹤訓練某車間為了規(guī)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.(2020陜西西安高三模擬)北極冰融是近年來最引人注目的氣候變化現(xiàn)象之一,白色冰面融化變成顏色相對較暗的海冰,被稱為“北極變暗”現(xiàn)象.21世紀以來,北極的氣溫變化是全球平均水平的2倍,被稱為“北極放大”現(xiàn)象.若北極年平均海冰面積(單位:106km2)與年平均CO2(單位:ppm)濃度圖如圖所示,則下列說法正確的是(

)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.(2020陜西西探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測A.北極年海冰面積逐年減少B.北極年海冰面積減少速度不斷加快C.北極年海冰面積與年平均二氧化碳濃度大體成負相關D.北極年海冰面積與年平均二氧化碳濃度大體成正相關探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測A.北極年海冰面積逐探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解析:由統(tǒng)計圖可知北極年海冰面積既有增加又有減少,故選項A,B錯誤;由統(tǒng)計圖可知隨著年平均二氧化碳濃度增加,北極年海冰面積總體呈下降趨勢,所以北極年海冰面積與年平均二氧化碳濃度大體成負相關,故選項C正確,選項D錯誤.故選C.答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解析:由統(tǒng)計圖可知北探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.已知甲、乙、丙、丁四位同學在建立變量x,y的模型時,分別選擇了4種不同模型,計算它們的R2分別如下表:學生甲乙丙丁R20.980.780.500.85則建立