傳熱學(xué)第四章導(dǎo)熱數(shù)值解法第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer導(dǎo)熱問題研究的目的熱流量溫度分布強(qiáng)化/減弱導(dǎo)熱的措施導(dǎo)熱問題研究的基本方法理論分析法數(shù)值計算法實驗方法有限差分法分子動力學(xué)模擬法邊界元法有限元法有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替無限小的微分、微商，用代數(shù)形式的差分方程近似代替微分方程，并通過求解差分方程求取有限時刻物體有限節(jié)點上的溫度值。第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer數(shù)值計算方法的基本思想將時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量場，用有限離散點上數(shù)值的集合來代替，并通過求解離散點物理量組成的代數(shù)方程來求解，所得的解稱為數(shù)值解。126345數(shù)值計算方法的優(yōu)點：多維變物性復(fù)雜幾何形狀復(fù)雜邊界第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題傳熱學(xué)HeatTransferStep-1:控制方程及邊界條件第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題傳熱學(xué)HeatTransferStep-2:計算域離散化xynm(m,n)MN基本概念：網(wǎng)格線節(jié)點（內(nèi)節(jié)點、邊界節(jié)點）控制容積界面線步長均勻/非均勻網(wǎng)格第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題傳熱學(xué)HeatTransferStep-3:建立節(jié)點離散（代數(shù)）方程基本方法：Taylor（泰勒）級數(shù)展開法控制容積平衡法(熱平衡法)內(nèi)節(jié)點邊界節(jié)點平直邊界節(jié)點邊界內(nèi)節(jié)點邊界外節(jié)點第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer內(nèi)節(jié)點離散方程的推導(dǎo)（泰勒級數(shù)展開法）1.對相鄰節(jié)點寫出溫度t對內(nèi)節(jié)點(m,n)的泰勒級數(shù)展開式x:(m,n)的相鄰節(jié)點為(m+1,n),(m-1,n)y:(m,n)的相鄰節(jié)點為(m,n+1),(m,n-1)X方向第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer內(nèi)節(jié)點離散方程的推導(dǎo)（泰勒級數(shù)展開法）2.整理得到二階導(dǎo)數(shù)的中心差分截斷誤差：級數(shù)余項中的Δx的最低階數(shù)為2即中心差分格式具有二階精度。3.由控制方程得到內(nèi)節(jié)點(m,n)的離散代數(shù)方程中心差分第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer內(nèi)節(jié)點離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入控制體的總熱量＝0第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer內(nèi)節(jié)點離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)對控制體每個界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransferStep-3:建立節(jié)點離散（代數(shù)）方程基本方法：Taylor（泰勒）級數(shù)展開法控制容積平衡法(熱平衡法)內(nèi)節(jié)點邊界節(jié)點平直邊界節(jié)點邊界內(nèi)節(jié)點邊界外節(jié)點為什么要建立邊界節(jié)點的離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用Φ表示內(nèi)熱源。第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界節(jié)點離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：傳熱學(xué)HeatTransfer二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直邊界節(jié)點第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界節(jié)點離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：傳熱學(xué)HeatTransfer二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界外角點第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界節(jié)點離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：傳熱學(xué)HeatTransfer二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界內(nèi)角點第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界節(jié)點離散方程的兩個具體問題：傳熱學(xué)HeatTransfer邊界熱流密度的具體處理方法絕熱邊界第二類邊界第三類邊界不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實際坐標(biāo)變換：保角變換第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月建立節(jié)點離散方程的泰勒級數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過程簡捷；泰勒級數(shù)法對于建立邊界節(jié)點的離散方程較困難；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時，泰勒級數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理。傳熱學(xué)HeatTransferStep-4:設(shè)置溫度場的迭代初值第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月n個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：Step-5:節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解傳熱學(xué)HeatTransfer直接解法迭代解法直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等缺點：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等先對要計算的場作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。Step-5:節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解傳熱學(xué)HeatTransferGauss-Seidel迭代法：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月在計算后面的節(jié)點溫度時應(yīng)采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值：傳熱學(xué)HeatTransferStep-5:節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransferStep-5:節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε

為允許的偏差，一般取10-3～10-6為k次迭代得到的計算域溫度最大值計算域溫度存在近于0的值時采用第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransferStep-5:節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個檢驗標(biāo)準(zhǔn)：實驗驗證、精確分析解驗證、特定問題的基準(zhǔn)解驗證數(shù)值計算中偏差ε

總是存在的，增加節(jié)點數(shù)目可以減小誤差。計算網(wǎng)格獨立性。如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對角占優(yōu)原則：每個迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和(參考教材例題4-1)Step-6:解的分析第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項穩(wěn)態(tài)項（擴(kuò)散項）源項由于非穩(wěn)態(tài)項的存在，除了對空間坐標(biāo)離散外，還需要對時間坐標(biāo)進(jìn)行離散處理。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfertfhtfhxt0平板加熱問題第三類邊界條件一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程及定解條件：邊界條件初始條件4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法向前差分格式向后差分格式中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：泰勒級數(shù)展開法Δx為空間步長Δτ為時間步長偏微分方程離散化代數(shù)方程非穩(wěn)態(tài)項向前差分?jǐn)U散項中心差分點（n,i）第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＝控制體內(nèi)能的增量內(nèi)節(jié)點n第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法左邊對稱絕熱邊界第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法右邊第三類邊界第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法顯示格式存在穩(wěn)定性問題：如果節(jié)點tn(i)

前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。顯示格式2顯示格式：格式右邊全部為第i時間層的溫度值，只要i時間層溫度已知，即可計算得到i+1時間層的溫度。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點離散方程的兩種格式：即：空間步長?x和時間步長?τ的選取有限制顯示格式的穩(wěn)定性條件：第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法隱式格式非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點離散方程的兩種格式：隱式格式：空間離散采用（i+1）時層的值。隱式格式不存在穩(wěn)定性問題，對時間步長和空間步長沒有限制，但是計算量較大。第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月傳熱學(xué)HeatTransfer導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算上機(jī)實踐例題4-6無限大平板的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題數(shù)值計算（1）自主編程，編程語言自定，最后提交源程序（2）提交電子報告（word格式），包括：（a）給出空間離散示意圖（網(wǎng)格劃分）（b）節(jié)點離散方程（顯示、隱式皆可）（c）圖示溫度分布（可以利用origin或matlab）（d）分析空間步長和時間步長對計算結(jié)果的影響例題4-5二維肋片穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算（1）自主編程，編程語言自定，最后提交源程序（2）提交電子報告（word格式），包括：（a）給出空間離散示意圖（網(wǎng)格劃分）（b）節(jié)點離散方程（c）圖示溫度