08立體圖形上的最短路徑問題第8講：立體圖形上的最短路徑問題一、方法技巧解決立體圖形上最短路徑問題的基本思路是將立體圖形平面化，即將“曲線”變成“直線”。平面化的基本方法有三種：1.通過平移來轉(zhuǎn)化，例如將樓梯“拉直”來求A、B兩點(diǎn)的最短距離。2.通過旋轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)化，例如將長(zhǎng)方體表面展開，利用勾股定理求A、C'兩點(diǎn)的最短距離，或?qū)A錐側(cè)面展開求小螞蟻在圓錐底面上點(diǎn)A處繞圓錐一周回到A點(diǎn)的最短距離。3.通過軸對(duì)稱來轉(zhuǎn)化，例如將圓柱形杯子側(cè)面展開，作點(diǎn)A關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)A'，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知A'B即為最短距離。在解題前需要掌握兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理，并準(zhǔn)確畫出立體圖形的平面展開圖。二、應(yīng)用舉例類型一：通過平移來轉(zhuǎn)化例題1：如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm、3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想要到B點(diǎn)去吃可口的食物。這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？解析：將臺(tái)階展開得到一個(gè)矩形，螞蟻要從B點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案，最短路線為13cm。類型二：通過旋轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)化例題2：如下圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm，側(cè)棱長(zhǎng)為8cm，一只螞蟻欲從正四棱柱底面上的A點(diǎn)沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C’處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是多少？解析：將四棱柱展開為平面圖形，連接AC’，使E點(diǎn)在AC’上，再利用勾股定理計(jì)算AC’的長(zhǎng)度即可得出最短路徑長(zhǎng)為241cm。（注：已刪除明顯有問題的段落，如有遺漏，請(qǐng)見諒。）題分析：該題需要根據(jù)幾何圖形的對(duì)稱性質(zhì)來解決，將圓柱形杯子展開為矩形后，利用軸對(duì)稱性質(zhì)將點(diǎn)A關(guān)于杯口對(duì)稱得到點(diǎn)A'，則小蟲至少要爬的距離就是線段BA'的長(zhǎng)度。根據(jù)勾股定理求得線段BA'的長(zhǎng)度即可得到答案。題解：如圖所示，將圓柱形杯子展開為矩形，設(shè)底邊長(zhǎng)為x，則底面周長(zhǎng)為18，可得x=6。則矩形的長(zhǎng)為12，寬為6。設(shè)點(diǎn)A到杯口的距離為h，則根據(jù)勾股定理可得：h^2+3^2=12^2解得h=9。因?yàn)辄c(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)A'到杯口的距離也為h=9。根據(jù)勾股定理可得：BA'^2=9^2+12^2解得BA'=15。因此，小蟲至少要爬15厘米才能到達(dá)蜜糖所在位置。根據(jù)已知，可以將圖②展開成平面圖，然后根據(jù)最短距離的定義，求出螞蟻從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)B的最短距離。需要注意的是，展開后的平面圖需要計(jì)算每個(gè)面的面積，以便求出沿著表面爬行的距離。試題解析：解：如圖，展開后的平面圖如圖③所示：其中，面積為9的三角形共有4個(gè)，面積為18的矩形共有2個(gè)，面積為36的正方形共有1個(gè)。設(shè)螞蟻從A點(diǎn)到B點(diǎn)經(jīng)過了x個(gè)面積為9的三角形，y個(gè)面積為18的矩形，z個(gè)面積為36的正方形，則有以下方程：3x+2y+z=AB9x+18y+36z=面積和解得：x=4，y=2，z=1∴AB=3x+2y+z=14+4+1=19所以螞蟻從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為：AB的表面距離=AB×6=19×6=114cm減去AB兩個(gè)頂點(diǎn)的長(zhǎng)度6cm×2=12cm，得到沿著表面爬行的最短距離：32+36cm故選：32+36cm【難度】較難處的直線運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問昆蟲乙從頂點(diǎn)A出發(fā)，在盒子內(nèi)部沿壁爬行，能否在昆蟲甲到達(dá)C1的同時(shí)到達(dá)B處？若能，請(qǐng)說明最短路徑，并計(jì)算其所需時(shí)間；若不能，請(qǐng)說明原因（1）解析：首先，將長(zhǎng)方體盒子展開成平面圖，如下圖所示：昆蟲乙從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿著盒子內(nèi)壁爬行到達(dá)昆蟲甲所在的頂點(diǎn)C1，可以將路徑分成兩段：一段是從A到C，沿著長(zhǎng)方體的側(cè)面爬行；另一段是從C到C1，沿著長(zhǎng)方體的底面爬行。由于長(zhǎng)方體的底面是一個(gè)矩形，所以從C到C1的最短路徑就是直線段CC1，長(zhǎng)度為3cm。而從A到C的最短路徑可以通過勾股定理求得，如下所示：AC√425cm因此，昆蟲乙沿著盒子內(nèi)壁爬行到達(dá)昆蟲甲所在的頂點(diǎn)C1的最短路程為5+3=8cm。（2）解析：同樣地，將長(zhǎng)方體盒子展開成平面圖，如下圖所示：昆蟲乙從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿著盒子內(nèi)壁爬行到達(dá)昆蟲甲所在的頂點(diǎn)C1，需要走過兩段路徑：一段是從A到B，沿著長(zhǎng)方體的側(cè)面爬行；另一段是從B到C1，沿著長(zhǎng)方體的底面爬行。昆蟲甲從C1到C的距離為3cm，速度為1cm/s，因此昆蟲乙需要在3秒內(nèi)到達(dá)B點(diǎn)，才能在昆蟲甲到達(dá)C1的同時(shí)到達(dá)B處。而從A到B的最短路徑可以通過勾股定理求得，如下所示：AB√3693√13cm因此，昆蟲乙從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿著盒子內(nèi)壁爬行到達(dá)昆蟲甲所在的頂點(diǎn)C1的最短路徑為沿著長(zhǎng)方體的側(cè)面爬行到達(dá)B點(diǎn)，然后沿著長(zhǎng)方體的底面爬行到達(dá)C1。最短路徑長(zhǎng)度為3√13+3=3(√13+1)cm，所需時(shí)間為3秒。因此，昆蟲乙可以在昆蟲甲到達(dá)C1的同時(shí)到達(dá)B處。C向下爬行，與此同時(shí)昆蟲乙從盒子內(nèi)頂點(diǎn)A開始，以3厘米/秒的速度在盒子壁的側(cè)面上爬行。問昆蟲乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能抓住昆蟲甲？答案：昆蟲乙需要5秒鐘。解析：首先，我們可以將盒子的上表面展開，使得頂點(diǎn)A、A1、D1三點(diǎn)共線，得到AA1+A1D1=5+3=8，再根據(jù)勾股定理得到AC1=80。接著，我們將盒子的右側(cè)面展開，使得頂點(diǎn)A、B、B1三點(diǎn)共線，得到AB+BB1=4+5=9，再根據(jù)勾股定理得到AC1=90。最后，我們將盒子的右側(cè)面展開，使得頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線，得到AB+BC=4+3=7，再根據(jù)勾股定理得到AC1=74。因此，最短路徑為74cm，可以通過連接AE和EC1來得到。另外，在圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)ABE∽ACC1，因此可以得到BE=20，連接AE和EC1就是最短路徑。11.如圖，A是高為10cm的圓柱底面圓上的一點(diǎn)，一只蝸牛從A點(diǎn)出發(fā)，沿30°角繞圓柱側(cè)面爬行，當(dāng)它爬到頂端時(shí)，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離是多少？答案：蝸牛沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離是20cm。解析：我們可以將圓柱側(cè)面展開，連接AB，并根據(jù)三角函數(shù)求出AB的長(zhǎng)度。根據(jù)題意，BC=10cm，∠BAC=30°。因此，AB=BC/sin30°=10/（1/2）=20。因此，蝸牛沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離是20cm?！敬鸢浮?.7【解析】試題分析：題目給出了一個(gè)圓柱形容器，需要求解壁虎捕捉蚊子的最短距離。因?yàn)槿萜魇菆A柱形，所以可以將其展開為矩形，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理求解。試題解析：解：如圖，將圓柱形容器展開為矩形，連接A、B兩點(diǎn)，得到線段AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB為圓柱側(cè)面展開后的弦長(zhǎng)，即AB=√(1.2^2+0.7^2)=1.4因?yàn)楸诨⒃谌萜魍獗?，所以還需要加上容器的厚度，即1.4+0.3=1.7所以壁虎捕捉蚊子的最短距離為1.7米?！倦y度】較易一只螞蟻要從圓柱形桶外的點(diǎn)A爬到桶內(nèi)的點(diǎn)B處尋找食物。已知點(diǎn)A到桶口的距離AC為12cm，點(diǎn)B到桶口的距離BD為8cm，CD的長(zhǎng)為15cm。螞蟻爬行的最短路