2023/7/30

主講人：劉珍珍中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第一講

幾何最值問題解題策略

2023/7/24主講人：劉珍珍中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)2023/7/30第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題,在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的頻率。主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題.近五年的中考真題，以安徽省為例，在2016、2017、2019年中出現(xiàn)了3次，考頻比較高。但是考生得分率普遍不高,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注,預(yù)計(jì)2020年全國(guó)中考會(huì)出現(xiàn)幾何最值問題的選擇題或解答題.2023/7/24第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一、幾何法通過轉(zhuǎn)化思想，將線段等值變換（常用方法：翻折（對(duì)稱）、平移、旋轉(zhuǎn)）

①[定點(diǎn)到定點(diǎn)]：兩點(diǎn)之間，線段最短；②[定點(diǎn)到定線]：點(diǎn)線之間，垂線段最短。由此派生：③[定點(diǎn)到定點(diǎn)]：三角形兩邊之和大于第三邊；④[定線到定線]：平行線之間，垂線段最短；2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問題.當(dāng)PM⊥AB時(shí),PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.對(duì)于直線y=

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀1、【翻折變換類】典型問題：“將軍飲馬”

秘籍12、【平移變換類】典型問題：“造橋選址”2023/7/24第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例1（2019安徽）如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F將對(duì)角線AC三等分,且AC=12,點(diǎn)P在正方形的邊上,則滿足PE+PF=9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A.0B.4C.6D.8注意轉(zhuǎn)化到我們的最小值問題上，能否找到PE+PF的最小值，這個(gè)最小值和題目要求的9又存在什么關(guān)系？2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀（2019銅陵）如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC=6，連接DE，DF，BE，BF.(3)若P是菱形ABCD的邊上的點(diǎn),則滿足PE+PF=的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是___個(gè)2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀模型三：2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀（2017泰安）如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為(C)【解析】設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P',連接BD,P'D.∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P'處時(shí),PD+PE最小.∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀模型三：2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀模型四：2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點(diǎn),F在AD邊上,M,N分別是CD,BC邊上的動(dòng)點(diǎn),若AB=AF=2,AD=3,則四邊形EFMN周長(zhǎng)的最小值是()2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例62023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀5.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,點(diǎn)M,N分別在邊OA,OB上,且OM=1,ON=3,點(diǎn)P,Q分別在邊OB,OA上,則MP+PQ+QN的最小值是

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【解析】如圖,作點(diǎn)M關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)M‘,點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N’,連接M‘N’分別交ON,OA于點(diǎn)P,Q,此時(shí)MP+PQ+QN的值最小.由對(duì)稱性質(zhì)知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.連接ON‘,OM’,則∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀3、【旋轉(zhuǎn)變換類】OA與OB共用頂點(diǎn)O，固定OA將OB繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中的，會(huì)出現(xiàn)的最大值與最小值，如圖：秘籍2：2023/7/24第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀

例7如圖所示，是等邊三角形，在中，，問：當(dāng)為何值時(shí)，C、D兩點(diǎn)的距離最大？最大值是多少？2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30，，第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀秘籍3：旋轉(zhuǎn)最值模型：（1）單軌跡圓模型：如圖，點(diǎn)B在圓E上，求BD的最值。（2）雙軌跡圓模型：如圖，點(diǎn)D在圓A上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求PB的最值。2023/7/24，，第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專2023/7/30，，第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀圓中最值：（線段最值問題基本可以卡在圓的圖形內(nèi)考查，在這我們不做重復(fù)介紹）1、過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，直徑最長(zhǎng)，垂直于直徑的弦最短2、“隱圓”中的最值問題“隱圓”問題綜合性強(qiáng)（常常會(huì)牽扯到三角形、四邊形），隱蔽性強(qiáng)，計(jì)算量大，近年來在全國(guó)各地的中考經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)(2014、2015、2016連續(xù)三年陜西中考，2016年安徽中考的壓軸題的最后一問都牽扯到了隱圓）此類題目出現(xiàn)的位置一般是在填空的最后一題或是壓軸題，基本都是難題?！彪[圓“問題將作為第二講內(nèi)容單獨(dú)呈現(xiàn)，敬請(qǐng)期待！秘籍4：2023/7/24，，第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專2023/7/30如圖,AB是O的一條弦,點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn),且∠ACB=30°，點(diǎn)E.F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與O交于G、H兩點(diǎn)。若O的半徑為5，則GE+FH的最大值為___.第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例1.如圖,AB是O的一條弦,點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn),且∠ACB=30°，點(diǎn)E.F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與O交于G、H兩點(diǎn)。若O的半徑為5，則GE+FH的最大值為___.2023/7/24如圖,AB是O的一條弦,點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn),2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例2.(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是

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2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算.由于FP的長(zhǎng)度是不變的,于是P點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),由此可確定點(diǎn)P在什么位置時(shí)到邊AB的距離最小.如圖,當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PF的長(zhǎng)固定不變,即PF=CF=2.∴點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)F作FH⊥AB交☉F于P,垂足為H,此時(shí)PH最短,此時(shí)△AFH∽△ABC,∴

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀（2019通遼）如圖，在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM=AD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長(zhǎng)度的最小值是

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例4（2016安徽）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀

（2017威海）如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為___.2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例3（2015安徽）在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在☉O上,且OP⊥PQ.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí),求PQ長(zhǎng)的最大值.【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識(shí).(1)連接OQ,在Rt△OPB中求出OP的長(zhǎng),在Rt△OPQ中求出PQ的長(zhǎng)即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的長(zhǎng)為定值,則OP最小時(shí),PQ最大,此時(shí)OP⊥BC,即可求解.2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（1）理論基礎(chǔ)①列關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，利用關(guān)系式及X的取值范圍求最值如二次函數(shù)中斜三角形面積的最大值求法方法一:如圖1,利用S=ah(a為水平距離,h為鉛垂高)列出函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（1）理論基礎(chǔ)②應(yīng)用一元二次方程根的判別式求最值如二次函數(shù)中斜三角形面積的最大值求法方法二:如圖,可轉(zhuǎn)化為求在第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)到直線AB距離的最大值根據(jù)直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn),通過根的判別式來求出最大值

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（2）考法①線段的最值如圖,在第一象限內(nèi)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D,當(dāng)PD(或PH)最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（2）考法②面積的最值.如圖,在第一象限內(nèi),拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)三角形ABP面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（2）考法③周長(zhǎng)的最值如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上,頂點(diǎn)C,D在拋物線上,當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí),求點(diǎn)A的坐析

2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀（2018大慶）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4)．（2）點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PE+EF的最大值；2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀（2018遂寧）已知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.(2)如圖1,若點(diǎn)P是拋物線上B.C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B.C重合)，是否存在點(diǎn)P，使三角形PBC的面積最大?若存在，寫出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法2、純幾何圖，通過將圖形中的線段關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)或者函數(shù)問題解決最值問題

?？贾苯侨切沃星笞钪祮栴}（1）根據(jù)勾股定理求各邊長(zhǎng)（2）利用三角函數(shù)求各邊長(zhǎng)（3）直角三角形中斜邊的中線是斜邊的一半（中線長(zhǎng)定理）（4）利用中位線定理求值（5）含角的直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例1(2016合肥)如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E、F、G分別是邊ADABBC上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形，若AB=6，BC=10，則正方形EFGH的面積最小值2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀如圖，正方形ABCD面積60，EFGH四點(diǎn)分別在各邊上，且圍城的四邊形為正方形，則EFGH面積的最小值A(chǔ)BCDEFGH2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例22023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀如圖,直線l與半徑為4的☉O相切于點(diǎn)A,P是☉O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)P作PB⊥l,垂足為B,連接PA.設(shè)PA=x,PB=y,則(x-y)的最大值是

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【解析】如圖,作直徑AC,連接CP,則∠CPA=90°,∵AB是切線,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,∴△APC∽△PBA,2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例32023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題2023/7/30一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀2023/7/24一第二部分幾何最值問題解題策略考情