3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（人教版）華南師范大學(xué)陳栩林（僅供參考）一、教學(xué)內(nèi)容數(shù)系的三次擴(kuò)充過(guò)程，復(fù)數(shù)的引入過(guò)程，復(fù)數(shù)概念的知識(shí)二、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1、 了解數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程及引入復(fù)數(shù)的需要2、 掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和代數(shù)符號(hào)形式、復(fù)數(shù)的分類方法及復(fù)數(shù)相等的充要條件過(guò)程與方法1、 通過(guò)數(shù)系擴(kuò)充的介紹，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)律2、 通過(guò)具體到抽象的過(guò)程，讓學(xué)生形成復(fù)數(shù)的一般形式情感態(tài)度與價(jià)值觀1、 體會(huì)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程中蘊(yùn)含的創(chuàng)新精神與實(shí)踐精神，感受人類理性思維的作用2、 體會(huì)類比、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法三、教學(xué)重點(diǎn)引入復(fù)數(shù)的必要性與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念、復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)相等的充要條件四、 教學(xué)難點(diǎn)虛數(shù)單位i的引進(jìn)和復(fù)數(shù)的概念五、 學(xué)生分析學(xué)生在本章之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了《推理與證明》的內(nèi)容，有了一定的推理與證明能力，有利于本節(jié)課運(yùn)用類比思想對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充。六、 教學(xué)方法及教學(xué)用具啟發(fā)引導(dǎo)、類比探究并運(yùn)用多媒體課件展示相關(guān)知識(shí)七、 教學(xué)過(guò)程（一）問(wèn)題引入問(wèn)題：若x 歷史重現(xiàn)：€y2二3,xy=3，求（1）x+y的值；（2）求x和 歷史重現(xiàn)：生（獨(dú)立完成）：求出x+y=3或-3師：既然和能夠求出來(lái)，那能不能求出x和y的值呢？生：€=-3<0，由于、二 類比數(shù)系的擴(kuò)充規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生找出解決"實(shí)數(shù)不夠用”這個(gè)問(wèn)題的辦法生：引入新數(shù)，使得平方為負(fù)數(shù)師：我們希望引入的數(shù)的平方為負(fù)數(shù)，但是負(fù)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，我們不肯能一下子引入那么多，只要引入平方為多少就行呢？（引導(dǎo)學(xué)生找到-1，因?yàn)槿魏我粋€(gè)負(fù)數(shù)都可以寫(xiě)成正數(shù)與-1 類比數(shù)系的擴(kuò)充規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生找出解決"實(shí)數(shù)不夠用”這個(gè)問(wèn)題的辦法生：引入新數(shù)，使得平方為負(fù)數(shù)師：我們希望引入的數(shù)的平方為負(fù)數(shù)，但是負(fù)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，我們不肯能一下子引入那么多，只要引入平方為多少就行呢？（引導(dǎo)學(xué)生找到-1，因?yàn)槿魏我粋€(gè)負(fù)數(shù)都可以寫(xiě)成正數(shù)與-1的乘積）在歷史上數(shù)學(xué)家們碰到我們前面這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候一開(kāi)始是解決不了的，導(dǎo)致在此問(wèn)題上徘徊了百年之久，直到18世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家才認(rèn)識(shí)到解決x2=-1的重要性，于是他們就像我們一樣引入新的數(shù)，使得引入的數(shù)的平方等于-1，并把這個(gè)數(shù)記為英文字母i，就是虛構(gòu)、想象的意思。師：事實(shí)上在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)x和y確實(shí)不存在？為什么會(huì)這樣呢？假設(shè)x和y是存在的，那么就肯定是一些不是實(shí)數(shù)的數(shù)，那么，這些數(shù)是什么呢？我們能不能解決這個(gè)問(wèn)題呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入》（二）回顧數(shù)系的擴(kuò)充歷程師：其實(shí)對(duì)于這種“數(shù)不夠用”的情況，我們并不陌生。大家記得嗎？從小學(xué)到現(xiàn)在，我們一直在經(jīng)歷著數(shù)的不斷擴(kuò)充?，F(xiàn)在就讓我們來(lái)回顧一下，看看我們以前是怎么解決“數(shù)不夠用”的問(wèn)題的。原因1原因2規(guī)律自然數(shù)（N）計(jì)數(shù)1、 實(shí)際需要、運(yùn)算矛盾2、 引入新數(shù)解決問(wèn)題，運(yùn)算保持，運(yùn)算律不變整數(shù)（Z）具有相反意義的量減法在N不能完全運(yùn)算有理數(shù)（Q）測(cè)量，分配除法在Z不能完全運(yùn)算實(shí)數(shù)（R）單位正方形對(duì)角線長(zhǎng)開(kāi)平方在Q不能完全運(yùn)算（三）類比，引入新數(shù)，將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充3、探究復(fù)數(shù)的一般形式:首先，我們有：（1）i2€-1（2）i與實(shí)數(shù)可以做運(yùn)算、并且運(yùn)算律不變師：我們不妨把i添加到實(shí)數(shù)集里面成為一個(gè)新的集合A，根據(jù)i的性質(zhì)，我們拿兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b與i任意的做加法、乘法運(yùn)算，可以得到哪些數(shù)呢？生：ai,bi,a,bi,b,ai,ab,bi,ab,ai。（引導(dǎo)學(xué)生觀察得到以上這些數(shù)都可以看成實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)xi）師：那我們?cè)瓉?lái)的實(shí)數(shù)和i能不能也看成這種形式？生：能?？梢詫?xiě)成實(shí)數(shù)，0xi和+1xi師總結(jié)：所有實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)xi形式的都應(yīng)該在新的數(shù)集里面，并且新的數(shù)集里面的數(shù)都可以寫(xiě)成這種形式，我們不妨把這種形式寫(xiě)成a,bi,a?R,b?R，這就是我們把實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充后得到的數(shù)所具有的一般形式。（四）新的數(shù)集一復(fù)數(shù)集1、形如a，bi（a?R,b?R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，用字母z表示，其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部，i稱為虛數(shù)單位，所有復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記為C，即C={a,biIa?R,b?R）o那么，我們現(xiàn)在就把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集了，而負(fù)數(shù)也就可以開(kāi)平方了，至此，我們有N黛Z黛Q臺(tái)壓。判斷：（2,3i）i是復(fù)數(shù)嗎，它的實(shí)部是什么？虛部是什么？總結(jié)：實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)；通常把一個(gè)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)到實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)xi才可以進(jìn)行判斷o2、復(fù)數(shù)的應(yīng)用：復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)及其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，復(fù)數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。（五）復(fù)數(shù)的分類師：既然實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，那么復(fù)數(shù)z=a+bi在什么條件下退化為實(shí)數(shù)呢？（引出復(fù)數(shù)的分類）i（實(shí)數(shù)b二）復(fù)數(shù)虛數(shù)bH）（當(dāng)a=時(shí)為純虛數(shù)）例1.實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z二m+1+（m-l）i是⑴實(shí)數(shù)？⑵虛數(shù)？⑶純虛數(shù)？分析：因?yàn)閙ER，所以m+1,m-1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)z=a+bi是實(shí)、虛數(shù)、純虛數(shù)與零的條件可以確定實(shí)數(shù)m的值.解（1）當(dāng)m-1二0,即m二1時(shí)，z為實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)m—1…0,即m…1時(shí)，z為虛數(shù)；⑶當(dāng)? 即m=-1時(shí)，z為純虛數(shù).,m—1…0總結(jié)：前提是m為實(shí)數(shù)，否則必須化成實(shí)數(shù)+實(shí)數(shù)xi的形式（六）復(fù)數(shù)相等的充要條件問(wèn)1:a+bi什么時(shí)候等于0?（a=0且b=0，由此得出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件）問(wèn)2:如何根據(jù)第一問(wèn)推導(dǎo)出兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的充要條件？總結(jié):a+bi=c+dioa=c且b=d例2已知（2x—1）+i=y—（3—y）i，其中,x,yeR,求x與y.分析：因?yàn)閤,yER,所以由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義,可列出關(guān)于x,y的方程組,解這個(gè)方程組,可求出x,y的值.解：由復(fù)數(shù)相等可知1二：二）解得x=y=4總結(jié)：復(fù)數(shù)相等的充要條件可以把復(fù)數(shù)相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問(wèn)題,是一種轉(zhuǎn)化的思想。（七） 課堂小結(jié)1、由于實(shí)際的需要,我們總結(jié)數(shù)的三次擴(kuò)充過(guò)程的規(guī)律,運(yùn)用類比的方法,我們引進(jìn)了新的數(shù)i，并將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，認(rèn)識(shí)到了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi,并討論了復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件,并且利用相等的條件把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問(wèn)題2、那么,復(fù)數(shù)究竟是什么東西呢？能不能像實(shí)數(shù)一樣在現(xiàn)實(shí)中找到它的影子呢？別急,我們的探索腳步并不會(huì)停止下去,這是我們下次將要探索的內(nèi)容。（八）課后作業(yè)1、 習(xí)題3.1A組第1、2題2、 課后探究復(fù)數(shù)能不能比較大小，為什么？（可查資料）§數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教案李志文教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能過(guò)程與方法：1.通過(guò)回顧數(shù)系擴(kuò)充的歷史，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的一般性方法.2.類比前幾次數(shù)系的擴(kuò)充，讓學(xué)生了解數(shù)系擴(kuò)充后，實(shí)數(shù)運(yùn)算律均可應(yīng)用于新數(shù)系中，在此基礎(chǔ)上，理解復(fù)數(shù)的基本概念.情感態(tài)度與價(jià)值觀:1、虛數(shù)單位的引入，產(chǎn)生復(fù)數(shù)集，讓學(xué)生體會(huì)在這個(gè)過(guò)程中蘊(yùn)含的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系;2、初步學(xué)會(huì)運(yùn)用矛盾轉(zhuǎn)化，分與合，實(shí)與虛等辯證唯物主義觀點(diǎn)看待和處理問(wèn)題。重點(diǎn)：理解虛數(shù)單位i的引進(jìn)的必要性及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及應(yīng)用．學(xué)法指導(dǎo)】1、回顧以前學(xué)習(xí)數(shù)的范圍擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的必要性及現(xiàn)實(shí)意義；

2、思考數(shù)系擴(kuò)充后需考慮的因素，譬如運(yùn)算法則、運(yùn)算律、符號(hào)表示等問(wèn)題，為本節(jié)學(xué)習(xí)奠定方法基礎(chǔ).【知識(shí)鏈接】人們?cè)卺鳙C、采集果實(shí)等勞動(dòng)中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1,2,3,4等數(shù)以及表示"沒(méi)有”N【知識(shí)鏈接】為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)整，將數(shù)系擴(kuò)充至整數(shù)集乙為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)，將數(shù)系擴(kuò)充至有理數(shù)集Q?用方形的邊長(zhǎng)去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果，無(wú)法用有理數(shù)表示，為了解決這個(gè)矛盾，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù)■有理數(shù)集與無(wú)理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集R,但是，數(shù)集擴(kuò)到實(shí)數(shù)集R以后，像X2=-1這樣的方程還是無(wú)解的，因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，沒(méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于負(fù)數(shù)．聯(lián)系從自然數(shù)到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，你能設(shè)想一種方法，使這個(gè)方程有解嗎？問(wèn)題探究】探究一、復(fù)數(shù)的引入引導(dǎo)1:由于解方程的需要，人們引入了一個(gè)新數(shù)i，并規(guī)定:(1)i2€-1;(2)實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算：實(shí)數(shù)a與數(shù)i相加記為：a,i；實(shí)數(shù)b與數(shù)i相乘記為：bi；實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加記為：a+bi；(3)實(shí)數(shù)與i進(jìn)行加法和乘法時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立。引導(dǎo)2:復(fù)數(shù)的有關(guān)概念：(1)我們把形如a+bi(a,b…R?的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，全體復(fù)數(shù)所組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，常用大寫(xiě)字母c表示。(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用小寫(xiě)字母z表示，即z€a+biC,b…R?，這一表示形2式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是3；中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，￡叫做復(fù)數(shù)z的虛部。I -J5的實(shí)部是-虛部是0；點(diǎn)撥：當(dāng)我們遇部是使用虛部知識(shí)解決不了的問(wèn)題時(shí)，可以適當(dāng)?shù)匾胍恍┬碌囊?guī)定，譬如這里的們引入的數(shù)虛部是入數(shù)?后實(shí)數(shù)與i進(jìn)行加法和乘法時(shí)的運(yùn)算律，但是切記引入的規(guī)定要合理，要有一定的依據(jù)基礎(chǔ). 例1請(qǐng)說(shuō)出復(fù)數(shù)2+3i,-盡-1i的實(shí)部和虛部。引導(dǎo):復(fù)數(shù)z€a,bi(a,b…R?，a叫實(shí)部，b叫虛部.解：變式再練：請(qǐng)說(shuō)出復(fù)數(shù)-4i+8,6,0,土3，iQ2-1)的實(shí)部和虛部。解:(1)—4i+8的實(shí)部是8,虛部是-4； (2)0的實(shí)部是0,虛部是0；(3)6的實(shí)部是6,虛部是0；⑷)的實(shí)部是丄，虛部是上^;222(5)i(J2—1)的實(shí)部是0,虛部是*2—1.探究二、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系對(duì)于復(fù)數(shù)z，a+bi(a,b?R)：當(dāng)且僅當(dāng)b，0時(shí)，復(fù)數(shù)z表示實(shí)數(shù)當(dāng)b…0時(shí)，復(fù)數(shù)z叫做虛數(shù)當(dāng)a,0,b…0時(shí)，復(fù)數(shù)z叫做純虛數(shù)你能用圖表的形式將復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的關(guān)系形象的表示出來(lái)嗎？例2指出下列各數(shù)中，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？22*7，0.618行i，0，i，i2實(shí)數(shù):2+、「7,0.618,0,i22i,i,5i+8,3-9空2in虛數(shù)：/2..1,I7純虛數(shù)：例3實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z，m+1+(m-1)i是⑴實(shí)數(shù)？⑵虛數(shù)？⑶純虛數(shù)？引導(dǎo)：因?yàn)閙?R，所以m+1，m-1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)z，a+bi(a,b?R)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件可以確定實(shí)數(shù)m的值.解(1)動(dòng)實(shí)數(shù)，則m-1=0即1(2)z為虛數(shù)，則血—1豐0即m豐1(3)z為純虛數(shù)，貝9m+1=0且m_1豐°，艮卩m=一1變式再練1:當(dāng)應(yīng)取何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z,m2€1+(m一1)i是：TOC\o"1-5"\h\z(1)實(shí)數(shù)(2)虛數(shù) (3)純虛數(shù) (4)零解：(1)z為實(shí)數(shù)，則m-1，0即m，1(2)z為虛數(shù)，則m-1工0即m豐1z為純虛數(shù)，則卩2€1=0?|m=±1?m，-1…m—1豐0 …m豐1//\%cmu[m2一1，0[m，±1 1z為0則{ ?{ ?m，1…m—1，0 …m，1變式再練2:若復(fù)數(shù)(72，5m+6)+(n2，3m)為純虛數(shù)，試求實(shí)數(shù)m的值.解：由題意：:<m2一5m+6?0提示：由復(fù)數(shù)z