2022-2023學年遼寧省大連市第五十九中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過拋物線x2=4y的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，分別過A，B作拋物線的切線l1，l2，則l1與l2的交點P的軌跡方程是（）A．y=﹣1B．y=﹣2C．y=x﹣1D．y=﹣x﹣1

參考答案：A考點:軌跡方程．專題:導數(shù)的綜合應用；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析:由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，由斜截式寫出過焦點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點橫坐標的積，再利用導數(shù)寫出過A，B兩點的切線方程，然后整體運算可求得兩切線的交點的縱坐標為定值﹣1，從而得到兩切線焦點的軌跡方程．解：由拋物線x2=4y得其焦點坐標為F（0，1）．設A（），B（），直線l：y=kx+1，聯(lián)立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又拋物線方程為：，求導得，∴拋物線過點A的切線的斜率為，切線方程為…②拋物線過點B的切線的斜率為，切線方程為…③由①②③得：y=﹣1．∴l(xiāng)1與l2的交點P的軌跡方程是y=﹣1．故選：A．點評:本題考查了軌跡方程，訓練了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了整體運算思想方法，是中檔題．

2.執(zhí)行右圖所給的程序框圖，輸出的S的值等于(

)A.17

B.25

C.26

D.37參考答案：C略3.曲線y=x3上一點B處的切線l交x軸于點A,△OAB(O是原點)是以A為頂點的等腰三角形,則切線l的傾斜角為

（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°參考答案：C4.在花園小區(qū)內(nèi)有一塊三邊長分別為3米、4米、5米的三角形綠化地，有一只小狗在其內(nèi)部玩耍，若不考慮小狗的大小，則在任意指定的某時刻，小狗與三角形三個頂點的距離均超過1米的概率是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略5.一個棱長為的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）

A．

B．C．

D．參考答案：D試題分析：由三視圖可知，此幾何體是在正方體的兩端分別截取兩個三棱錐，每個三棱錐的體積為，因此此幾何體的體積；考點：幾何體的三視圖6.函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－1零點的個數(shù)為()A．0

B．1C．2

D．3參考答案：B7.若復數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）

（A）－2

（B）4

（C）－6

（D）6參考答案：C8.已知集合A＝{(x，y)|=1，x，yR}，B={(x，y)|y=ax+2，x，yR}，若AB＝，則a的值為（

）。A．a(chǎn)＝1或a＝

B．ａ＝１或a＝

C．a(chǎn)＝2或a＝3

D．以上都不對參考答案：B9.某實心鋼質工件的三視圖如圖所示，其中側視圖為等腰三角形，俯視圖是一個半徑為3的半圓，現(xiàn)將該工件切削加工成一個球體，則該球體的最大體積為（）A． B． C．π D．參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知幾何體為半個圓錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)求底面面積與高，求出其軸截面的內(nèi)切球的半徑，代入公式計算即可．【解答】解：由題目所給三視圖可得，該幾何體為圓錐的一半，圓錐的底面半徑為3，高為4，所以母線長為5，設其軸截面的內(nèi)切球的半徑為r，則，∴r=1，∴該球體的最大體積為，故選A．10.

將平面上的每個點都以紅，藍兩色之一著色．證明：存在這樣兩個相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個三角形的三個頂點同色．參考答案：證明：首先證明平面上一定存在三個頂點同色的直角三角形．任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點同色．設此兩點為P、Q，不妨設P、Q同著紅色．過P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點著紅色，則存在紅色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均無紅色點，則在l1上任取異于P的兩點R、S，則R、S必著藍色，過R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍色．△RST即為三頂點同色的直角三角形．設直角三角形ABC三頂點同色(∠B為直角)．把△ABC補成矩形ABCD(如圖)．把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n>1，本題中取n=1995)．連結對邊相應分點，把矩形ABCD分成n2個小矩形．AB邊上的分點共有n+1個，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個相鄰的分點同色，(否則任兩個相鄰分點異色，則可得A、B異色)，不妨設相鄰分點E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另兩個頂點E￠、F￠，若E￠、F￠異色，則△EFE￠或△DFF￠為三個頂點同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二點為頂點而在其左邊的小矩形，…．這樣依次考察過去，不妨設這一行小矩形的每條豎邊的兩個頂點都同色．同樣，BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色，設為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色，則存在三頂點同色的小直角三角形．否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色．現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，△MNH為頂點同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比為1995，且這兩個直角三角形的頂點分別同色．證明2：首先證明：設a為任意正實數(shù)，存在距離為2a的同色兩點．任取一點O(設為紅色點)，以O為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個紅點，則存在距離為2a的兩個紅點，若圓上沒有紅點，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個頂點均為藍色，但此六邊形邊長為2a．故存在距離為2a的兩個藍色點．下面證明：存在邊長為a，a，2a的直角三角形，其三個頂點同色．如上證，存在距離為2a的同色兩點A、B(設為紅點)，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形．若C、D、E、F為藍色，則存在滿足要求的藍色三角形．下面再證明本題：由上證知，存在邊長為a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的兩個同色三角形，滿足要求．證明3：以任一點O為圓心，a及1995a為半徑作兩個同心圓，在小圓上任取9點，必有5點同色，設為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，則此五點中必存在三點同色，設為A￠、B￠、C￠．則DABC與DA￠B￠C￠為滿足要求的三角形．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù)f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，記g(x)＝，若函數(shù)g(x)至少存在一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_____參考答案：12.．假設關于某設備的使用年限和所支出的維修費（萬元）有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0由資料可知y和x呈線性相關關系，由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的

據(jù)此估計，使用年限為10年時的維修費用是

萬元.參考答案：13.運行右面的算法偽代碼，輸出的結果為S=

．參考答案：；14.運行右圖所示框圖的相應程序,若輸入的值分別為和,則輸出M的值是______參考答案：2

略15.定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在(0,2]上的圖象如圖所示，則不等式f(x)>x的解集為_．參考答案：16.若，則=__________。參考答案：17.命題“存在”的否定是

。參考答案：對任意的略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（0）＝0，當x＞0時，。（I）求函數(shù)f（x）的解析式；（II）解不等式f（）＞－2。參考答案：（Ⅰ）當時，，則， ……2分∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴，

……4分∴函數(shù)是偶函數(shù)的解析式為

……6分（Ⅱ）∵，

……7分∵是偶函數(shù)，∴不等式可化為，……………9分又∵函數(shù)在上是減函數(shù)，∴，解得：，即不等式的解集為

……12分19.（本小題滿分12分）某班50名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；（2）設表示該班某兩位同學的百米測試成績，且已知參考答案：若時，有6種情況┉7分若分別在和內(nèi)時，共有12種情況.┉┉┉9分

20.[選修4-5：不等式選講]已知a≠b，求證：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）參考答案：【考點】不等式的證明．【分析】利用作差，再因式分解，即可得到結論．【解答】證明：∵a≠b，∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0，∴原不等式成立．21.某制造商11月生產(chǎn)了一批乒乓球,隨機抽樣100個進行檢查，測得每個球的直徑(單位,保留兩位小數(shù))，將數(shù)據(jù)分組如下表（1）請在上表中補充完成頻率分布表,并在右圖中畫出頻率分布直方圖;（2）若以上述頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為40，試求這批球的直徑誤差不超過的概率；（3）統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是40.00）作為代表.據(jù)此,估計這批乒乓球直徑的平均值.參考答案：略22.節(jié)能燈的質量通過其正常使用時間來衡量，使用時間越長，表明質量越好，且使用時間大于或等于6千小時的產(chǎn)品為優(yōu)質品.現(xiàn)用兩種不同型號的節(jié)能燈做實驗，各隨機抽取部分產(chǎn)品作為樣本，得到實驗結果的頻率直方