§6.5同構(gòu)及同態(tài)

6.5.1同

態(tài)

映

射

6.5.2同

構(gòu)

映

射

6.5.3同

態(tài)

核

§6.5同構(gòu)及同態(tài)6.5.1同態(tài)映射16.5.1同態(tài)映射定義.設(shè)G是一個群，其運(yùn)算是*；K是一個乘法系統(tǒng)，其運(yùn)算為?，稱G到K的一個映射σ是一個同態(tài)映射，如果對G中任意元素a，b，有

σ(a*b)=σ(a)?σ(b)注意：這個映射既不一定是單射也不一定是滿射。6.5.1同態(tài)映射定義.設(shè)G是一個群，其運(yùn)算2例.設(shè)(G，*)，(K，+)是兩個群，令

σ：xe，x∈G，其中e是K的單位元。則σ是G到K內(nèi)的映射，且對任意a,b∈G，有

σ(a*b)=e=e+e=σ(a)+σ(b)。即，σ是G到K的同態(tài)映射。σ(G)={e}是K的一個子群,記G～σ(G)。例.設(shè)(G，*)，(K，+)是兩個群，令3例.設(shè)G1是整數(shù)加法群，G2是模n的整數(shù)加法群，G2上的運(yùn)算⊕如下：

a⊕b=

令σ：xx(modn)，x∈G1，則σ是G1到G2的滿射，且對任意a,b∈G1，有

σ(a+b)=a+b(modn)

=a(modn)⊕b(modn)=σ(a)⊕σ(b)。σ是G1到G2的滿同態(tài)映射。例.設(shè)G1是整數(shù)加法群，G2是模n的整數(shù)加4例.設(shè)G為整數(shù)加群，G’為實(shí)數(shù)加群，令σ：x-x，x∈G，則σ是G到G’內(nèi)的映射，且對任意x1,x2

∈G，有σ(x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=σ(x1)+σ(x2)，所以σ是G到G’的同態(tài)映射，顯然是單射但不是滿射，σ(G)=Z是G’的子群。例.設(shè)G為整數(shù)加群，G’為實(shí)數(shù)加群，5設(shè)G是一個群，K是一個乘法系統(tǒng)，σ是G到K中的一個同態(tài)映射，G’=σ(G)，則G’是一個群，G’的單位元1’就是G的單位元1的映像σ(1)，即，1’=σ(1)；對任意a∈G，（σ(a)）-1=σ(a-1)。稱G和G′同態(tài)，記為G～G′。定理6.5.1設(shè)G是一個群，K是一個乘法系統(tǒng)，σ是G定理6.5.16例.對群(Z，+)和(C*，·)，若令

σ：nin，n∈Z，其中i是C的虛數(shù)單位。則σ是Z到C*內(nèi)的一個映射，且對m,n∈Z，有

σ(m+n)=im+n=im·in=σ(m)·σ(n)。即，σ是(Z，+)到(C*，·)的同態(tài)映射，Z～σ(Z)。σ(Z)={1，-1，i，-i}是C*的一個子群。

例.對群(Z，+)和(C*，·)，若令7例.群（R，+）和(R+,·)是同態(tài)的，因?yàn)槿袅瞀遥簒ex，x∈R

，則σ是R到R+的1-1映射，且對任意x1,x2

∈R

，有σ(x1+x2)=ex1+x2=ex1·ex2=σ(x1)·σ(x2)，σ是（R，+）到(R+,·)的滿同態(tài)映射。例.群（R，+）和(R+,·)是同態(tài)的，8證明(1)因?yàn)槿篏非空，至少1∈G，故至少σ(1)∈G′，即G′非空。(2)任取a’∈G′，b’∈G′，往證a’b’∈G′。因有a,b∈G,使得a’=σ(a),b’=σ(b)，故按σ的同態(tài)性，a’b’=σ(a)σ(b)=σ(ab)，而ab∈G,因而a’b’=σ(ab)∈σ(G),即a’b’∈G′。證明(1)因?yàn)槿篏非空，至少1∈G，故至少9(3)往證G’中有結(jié)合律成立：任取a’,b’,c’∈G’，往證a’(b’c’)=(a’b’)c’。因有a,b,c∈G,使得a’=σ(a),b’=σ(b),c’=σ(c)，故按σ的同態(tài)性，

a’(b’c’)=σ(a)(σ(b)σ(c))=σ(a(bc))

(a’b’)c’=(σ(a)σ(b))σ(c)=σ((ab)c)因群G中有結(jié)合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是σ(a(bc))=σ((ab)c)。因此，a’(b’c’)=(a’b’)c’。(3)往證G’中有結(jié)合律成立：10(4)往證G′有左壹而且就是σ(1)，即證對于任意的a’∈G’，有σ(1)a’=a’。因有a∈G,使得a’=σ(a)，按σ的同態(tài)性σ(1)a’=σ(1)σ(a)=σ(1a)=σ(a)=a’。(5)往證G’中任意元素σ(a)有左逆且就是σ(a-1)。由a∈G，且G是群，知a-1∈G，故σ(a-1)∈G’。由σ的同態(tài)性σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ(1)。綜上，G’做成一個群，G’的壹1’=σ(1)，G’中σ(a)的逆是σ(a-1)。

(4)往證G′有左壹而且就是σ(1)，116.5.2

同

構(gòu)

映

射

定義.

設(shè)G是一個群，K是一個乘法系統(tǒng)，σ是G到K內(nèi)的一個同態(tài)映射，如果σ是G到σ(G)上的1-1映射，則稱σ是同構(gòu)映射。稱G與σ(G)同構(gòu)，記成G

σ(G)。

6.5.2同構(gòu)映射12例.

群（R+，·）和（R，+）是同構(gòu)的。因?yàn)槿袅?/p>

σ：xlogx，x∈R+，則σ是R+到R上的1-1映射，且對任意a,b∈R+，σ(a·b)=log(a·b)=loga+logb=σ(a)+σ(b)。故σ是（R+，·）到（R，+）上的同構(gòu)映射。Logx是以e為底的x的對數(shù)，若取σ(x)=log2x，或若取σ(x)=log10x，則得到R+到R上的不同的同構(gòu)映射。由此可見，群間可存在好多個甚至是無限多個同構(gòu)映射。例.群（R+，·）和（R，+）是同構(gòu)的。因?yàn)槿袅?3例.

（R*，·）與（R，+）不可能同構(gòu)。證明：用反證法。假設(shè)（R*，·）與（R，+）同構(gòu)，可設(shè)映射σ為R*到R上的一個同構(gòu)映射，于是必有σ：10，-1a，a≠

0。從而，σ(1)=σ((-1)·(-1))

=σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。則有2a=0，a=0，與a≠0矛盾。故，原假設(shè)不對，（R*，·）與（R，+）不可能同構(gòu)。

例.（R*，·）與（R，+）不可能同構(gòu)。14例.

無限循環(huán)群同構(gòu)于整數(shù)加法群。證明：

設(shè)G=（g）是無限循環(huán)群，Z為整數(shù)加法群，則對a∈G，n∈Z，使得a=gn，令f：an。不難驗(yàn)證f是G到Z上的1-1映射；任取a,b∈G，則存在i,j∈Z，使得a=gi，b=gj，f(gigj)=f(gi+j)=i+j=f(gi)+f(gj),因此，f是G到Z上的同構(gòu)映射，即G

Z。

例.無限循環(huán)群同構(gòu)于整數(shù)加法群。15自同構(gòu)映射定義.設(shè)G是一個群，若σ是G到G上的同構(gòu)映射，則稱σ為自同構(gòu)映射。例.恒等映射，稱為恒等自同構(gòu)映射。例.設(shè)（Z，+）是整數(shù)加法群，令σ：n-n，n∈Z，則σ是Z的一個自同構(gòu)映射。例.設(shè)G是一個Abel群，將G的每個元素都映到其逆元素的映射σ：aa-1(

a∈G）是G的一個自同構(gòu)映射:σ(ab)=(ab)-1=b-1a-1=a-1b-1=σ(a)σ(b)

自同構(gòu)映射定義.設(shè)G是一個群，若σ是G到G上的同構(gòu)映射，166.5.3同

態(tài)

核

定義.設(shè)σ是G到G′上的一個同態(tài)映射，命N為G中所有變成G′中1′的元素g的集合，記為σ-1(1′)，即N=σ-1(

1′)={g∣g∈G,σ(g)=1′}則稱N為σ的核。例.設(shè)G是整數(shù)加法群，G′是模3的加法群：{0，1，2}，σ：xx（mod3），x∈G，則σ是G到G′上的同態(tài)映射。σ的核為3G。

6.5.3同態(tài)核定義.設(shè)σ是G到G′上的一個17群的第一同態(tài)定理定理6.5.2設(shè)σ是群G到Gˊ上的一個同態(tài)映射，于是，σ的核N是G的一個正規(guī)子群，對于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(

aˊ)={x|x∈G,σ(x)=aˊ}是N在G中的一個陪集，因此，Gˊ的元素和N在G中的陪集一一對應(yīng)。

群的第一同態(tài)定理定理6.5.2設(shè)σ是群G到Gˊ上的一個18證明先證N是G的子群。1）證N非空。因?yàn)棣?1)=1ˊ，所以1∈N。2）若a∈N，b∈N，往證ab-1∈N。由σ（a）=1′，σ（b）=1′，可得σ(ab-1)=σ(a)σ(b-1)=σ(a)(σ(b))-1

=1’(1’)-1=1’，故ab-1∈N。

證明先證N是G的子群。19

再證N是G的正規(guī)子群，即證對于任意的g∈G，gNg-1

N。事實(shí)上，σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1)=σ(g)1’σ(g)-1=σ(g)σ(g)-1=1’。故gNg-1

N。

（任取x∈gNg-1,

則有n∈N，使得x=gng-1,故σ(x)=σ(gng-1)=σ(g)σ(n)σ(g-1))=σ(g)1’σ(g-1)=σ(g)(σ(g))-1=1’，因此，x∈N。再證N是G的正規(guī)子群，即證對于任意的g∈G，gNg-20最后證明：若a′∈G′而σ(a)=a′,往證σ-1(a’)=Na。事實(shí)上，對任意的b∈G，b∈σ-1(a’)iffσ（b）=a′

iffσ(b)(a′)-1=1′iffσ(b)(σ(a))-1=σ(b)σ(a-1

)

=σ(ba-1)=1’iffba-1∈Niffb∈Na最后證明：若a′∈G′而σ(a)=a′,21引理1設(shè)N是群G的正規(guī)子群。若A，B是N的陪集，則AB也是N的陪集。證明：因?yàn)镹是正規(guī)子群，故Nb=bN，今設(shè)A=aN，B=bN，則AB=aNbN=abNN=abN，所以AB也是N的陪集。引理1設(shè)N是群G的正規(guī)子群。若A，B是N的陪集，則AB也是N22群的第二同態(tài)定理定理6.5.3

設(shè)N是群G的正規(guī)子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一個群。命σ：a→aN，a∈G,則σ是G到上的一個同態(tài)映射，且σ的核就是N。稱為G對于N的商群，記為G∕N。若G是有限群，則商群中元素個數(shù)等于N在G中的指數(shù)，即等于陪集的個數(shù)。

群的第二同態(tài)定理定理6.5.3設(shè)N是群G的正規(guī)子群，于是23證明首先證明G～。1)顯然，σ是G到上的映射。2）任取a,b∈G，σ(a)σ(b)=aNbN=abN=σ(ab)，故σ是G到上的同態(tài)映射.因此，是一個群。其次證明σ的核是N。因單位元就是N本身，所以，核σ={g∣σ(g)=N,g∈G}={g∣gN=N,g∈G}={g∣g∈N}=N。

證明首先證明G～。24例.設(shè)R是整數(shù)環(huán)，N=5I={…,-10,-5,0,5,10,…}，則N是G的正規(guī)子群。令為G中N的所有陪集作成的集合：{，，，，}，={…,-10,-5,0,5,10,…}=N=0+N，={…,-9,-4,1,6,11,…}=1+N，

……用⊕表示陪集間的加法，則⊕

=(1+N)⊕(4+N)=(1+4)+N=N=，在陪集加法下是一個群，若命σ：a→a+N，則σ是G到上的同態(tài)映射,且σ的核就是N。

例.設(shè)R是整數(shù)環(huán)，25群的第三同態(tài)定理

定理6.5.4設(shè)σ是群G到G′上的一個同態(tài)映射，若σ的核為N，則G′G/N。例.設(shè)G是整數(shù)加法群，σ：x→x（mod5），x∈G，則

G′=σ（G）={0，1，2，3，4}是模5的加法群，σ是G到G′上的同態(tài)映射。σ的核為N=5G，G/N={,,,,}，則G′

G/N。

群的第三同態(tài)定理定理6.5.4設(shè)σ是群G到G′上的一個同26證明

因?yàn)镚′的元素和G/N的元素一一對應(yīng)，設(shè)在這個一一對應(yīng)之下，G′的元素a′和b′分別對應(yīng)G/N的元素aN和bN：a′aN，b′bN。于是a′=σ（a），b′=σ（b），而且a′b′=σ（ab），可見G′的元素a′b′所對應(yīng)的G/N的元素是abN=aNbN：a′b′aNbN。所以G′和G/N同構(gòu)。證明因?yàn)镚′的元素和G/N的元素一一對應(yīng)，設(shè)在這個一一對27證法二：建立映射τ：a’→σ-1(a’),a’∈G’。往證τ是G’到G/N上的同構(gòu)映射。證τ是G’到G/N內(nèi)的映射。任取a’∈G’,則有a∈G,使a’=σ(a)。由定理6.5.2，知σ-1(a’)=aN。由τ定義，τ(a’)=σ-1(a’)=aN∈G/N。證τ是滿映射。任取aN∈G/N，設(shè)σ(a)=a’，則a’∈G’，由定理6.5.2，知τ(a’)=σ-1(a’)=aN。證法二：建立映射28證τ是單射。任取a’,b’∈G’,若a’≠b’，證τ(a’)≠τ(b’)。若不然,τ(a’)=τ(b’)。設(shè)a’=σ(a),b’=σ(b),a,b∈G,于是，σ-1(a’)=σ-1(b’)，即aN=bN。又a=a1∈aN,故a∈bN，即有n∈N，使a=bn。因此，σ(a)=σ(bn)=σ(b)σ(n)=σ(b)，與a’≠b’矛盾。證τ是單射。29證τ是G’到G/N的同態(tài)映射。任取a’,b’∈G’,設(shè)a’=σ(a),b’=σ(b),a,b∈G,則τ(a’b’)=τ(σ(a)σ(b))=τ(σ(ab))=σ-1(σ(ab))

=abN=aNbN=σ-1(a’)σ-1(b’)=τ(a’)τ(b’).綜上，τ是G’到G/N上的同構(gòu)映射，即G′G/N。證τ是G’到G/N的同態(tài)映射。30G中子群與G′中子群的關(guān)系

設(shè)σ為群G到G′上的同態(tài)映射。結(jié)論1.

若H為G之子群，則H′=σ(H)亦為G′之子群。

證明：由H為G之子群，知H為群，再由σ為群G到G′上的同態(tài)映射知，σ為群H到H′上的同態(tài)映射,由定理6.5.1知，H′亦為群，而

H′=σ(H)G′，故為G′之子群。G中子群與G′中子群的關(guān)系設(shè)σ為群G到G′上的同態(tài)映射。31結(jié)論2.

若H′為G′之子群，則H=σ-1（H′）亦必為G之子群，其中σ-1（H′）={x|x∈G,σ(x)∈H′}。證明：σ-1（H′）非空，因σ(1)=1′∈H′,所以1∈σ-1（H′）；若a，b∈σ-1(

H′)，即σ(a),σ(b)∈H′，因H′為子群，故σ(ab-1)=σ(a)σ(b-1)=σ(a)σ(b)-1∈H′，因之a(chǎn)b-1∈σ-1（H′）。

結(jié)論2.若H′為G′之子群，則32思考題σ(σ-1(H′))等于H′嗎？σ-1(σ(H))等于H嗎？思考題σ(σ-1(H′))等于H′嗎？33例.G是模12的整數(shù)加法群，G={0,1,…,11},G’是模4的整數(shù)加法群，G’={0,1,2,3},令σ：xx(mod4)，x∈G，則σ為G到G’上的同態(tài)映射，σ的核為N={0,4,8}。取G的子群H={0,6}，則H’=σ(H)={0,2}是G’的子群，而

σ-1(σ(H))=σ-1({0,2})={0,4,8,2,6,10}=H+N={0,6}+{0,4,8}若取H’={0,2}，σ-1(H’)={0,4,8,2,6,10},σ(σ-1(H’))={0,2}=H’。例.G是模12的整數(shù)加法群，G={0,1,…,11},34結(jié)論3.

σ-1(σ(H))=HN證明：(1)任取a∈HN，則有h∈H,n∈N，使得a=hn。故σ(a)=σ(hn)=σ(h)σ(n)=σ(h)∈σ(H)，因此，a∈σ-1(σ(H)),HNσ-1（σ（H））；(2)任取a∈σ-1（σ（H）），往證a∈HN。因σ(a)=h′∈σ(H)，又σ(H)為H之映像，故必有h∈H使σ(h)=h′=σ(a)，即σ(h-1a)=σ(h)-1σ(a)=σ(1)，故，h-1a∈N，即有n∈N，使得h-1a=n，故a=hn∈HN,σ-1（σ（H））HN

；總之,σ-1（σ（H））=HN。結(jié)論3.σ-1(σ(H))=HN35結(jié)論4.若NH，則HN=H,即σ-1(σ(H))=H。證明：

（1）因1∈N，故H=H{1}HN。（2）若NH，則HNHH=H。因此，HN=H。結(jié)論4.若NH，則HN=H,即36定理6.5.5G與N之間的子群和G′的子群一一對應(yīng)，大群對應(yīng)大群，小群對應(yīng)小群，正規(guī)子群對應(yīng)正規(guī)子群。證明：一一對應(yīng)已證:若NH，則σ-1(σ(H))=H。σ(σ-1(H′))=H′。只需證明大群對應(yīng)大群，小群對應(yīng)小群，正規(guī)子群對應(yīng)正規(guī)子群。定理6.5.5G與N之間的子群和G′的子群一一對應(yīng)，37設(shè)H1，H2是群G的子群，且H1H2，往證σ(H1)

σ(H2)。任取h2’σ(H2)，則有h2H2，使得σ(h2)=h2’.由H1H2，知h2H1，故σ