文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.第四章特瓦爾特定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】斯特瓦爾特定理設(shè)P為AABC的BC邊上任一點（P€B，P€C），則有AB2-PC,AC2-BP=AP2-BC,BP-PC-BC ①或AP2=AB2?竺+AC2?竺—BC2?竺?巴. ②BCBCBCBC證明如圖4-1,不失一般性，不妨設(shè)ZAPC…90。，則由余弦定理，有AC2=AP2,PC2—2AP?PC?cosZAPC,=AP2,BP2,2AP?BP?cosZAPC.對上述兩式分別乘以BP,PC后相加整理，得①式或②式.斯特瓦爾特定理的逆定理設(shè)B，P，C依次分別為從A點引出的三條射線AB，AP，AC上的點,若AB2?PC,AC?BP=AP2?BC,BP?PC?BC，或AP2=AB2?竺+AC2?竺—BC2?竺?竺，BC BC BCBC則B，P，C三點共線.證明令ZBPA=6，ZAPC=6，對厶ABP和厶APC分別應(yīng)用余弦定理，有12AB2AB2=AP2,PB2一2AP?PB?cos6，1AC2=AP2,PC2—2AP?PC?cos6.2將上述兩式分別乘以PC，BP后相加，再與已知條件式相比較得—2AP?BP?PC?(cos6,cos6)=0，由此推出6=180?！?，即證.1212斯特瓦爾特定理的推廣（1）設(shè)P為AABC的BC邊延長線上任一點，則AP2=—AB2PC,AC2?竺,BCAP2=—AB2BC BC BCBC（2）設(shè)P為AABC的BC邊反向延長線上任一點，則AP2=AB2PC—AC2?竺,BC2?AP2=AB2注若用有向線段表示，則②，③，④式是一致的.推論1設(shè)P為等腰AABC的底邊BC上任一點，則AP2=AB2—BP?PC.注此推論也可視為以A為圓心，AB為半徑的圓中的圓幕定理.推論2設(shè)AP為AABC的BC邊上的中線，貝9AP2=1AB2+1AC2—1BC2.224推論3設(shè)AP為AABC的A的內(nèi)角平分線，則AP2=AB?AC—BP?PC.推論4設(shè)AP為AABC的A的外角平分線，則AP2=—AB?AC,BP?PC.

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.推論5在AABC中，若P分線段BC滿足竺=€，貝VBCAP2=€(€—1)BC2+(1—€)AB2+€?AC2.BP 1 k k注若——=k,則AP2=——?AB2+一AC2—-?BC2.PC 1+- 1+- (1+-)2【典型例題與基本方法】1.選擇恰當(dāng)?shù)娜切渭耙贿吷系囊稽c，是應(yīng)用斯特瓦爾特定理的關(guān)鍵.例1如圖4-2,凸四邊形ABCD中，ZABC=60。,ZBAD=ZBCD=90。,AB=2,CD=1,對角線AC,BD交于點O.求sinZAOB. (1996年北京中學(xué)生競賽題)解延長BA,CD相交于P,設(shè)BC=x,則PB=2x,PC仝x,對厶PBC及PB邊上的點A,應(yīng)用斯特瓦爾特定理有=x2—2x+4.由Rt△ADPsRt△CBP,有PD?PC二PA?PB,即C'3x一1).運(yùn)x=(2x-2)?2x,求得BC=x=4-73.于是，CA2=15—6打.又在Rt△BCD中,BD2=x2+1=20于是，CA2=15—6打.”4…5—2“3)飛3…5—2*3)=10石—12.而S=S+S =(2<3，2)+-(4—*3)=痘，ABCD △ABD △BCD ■故1…10朽—12).sinZAOB=亟3,即sinZAOB=15+6'3為所求.2226例2如圖4-3,在AABC中，ZA=60o,AB>AC,點O是外心，兩條高BE,CF交于H點，點M,N分別在線段BH,HF上,且滿足BM=CN,求汕+N的值.OH(2002年全國高中聯(lián)賽題)解延長BE交O于L,由三角形垂心性質(zhì)，知L為H關(guān)于AC的對稱點，則LC=CH.設(shè)O的半徑為R,OH=d,CH=x,BH=y,由ZCLBZA=60。，知LH=LC=CH=x.延長OH兩端交O于TS,如圖4-3,由相交弦寇理有T?HS=BH?HL,即(R+d)(r-d)=x?y,即R2=d2+x/?在厶BCL及邊BL上的點H,應(yīng)用斯特瓦爾特定理，并注意到BC=2R?sinZA=,可得BC2?LH+LC2?BH=LH?BH?BL+CH2?BL,即(3r)?x+x2?y=x?y?(x+y)+x2?(x+y),亦即R2=(亦即R2=(x23+xy+y2于是+xy+y2)=d2+xy亦即d亦即d2而當(dāng)AB?AC時，MH+NH=BH—BM+CN—CH=BH—CH=y—x=|x—y|，OH|xOH|x一 為所求.例3211例3211B，交EF于C?證明：說=PA…莎（2001年湖南中學(xué)生夏令營試題）2．注意斯特瓦爾特定理的推論的應(yīng)用如圖4-4,自O(shè)外一點引圓的兩條切線PE，PF，E，F(xiàn)為切點，過P點任意引圓的割線交O證明由相交弦定理，有EC-CF=AC-CB.證明由于PE=PF，對等腰厶PEF及底邊EF上的點C，應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推論1,有PC2=PE2，EC-CF，即有=PA-PC+PB-PC—PA-PB.而PE2=PA-PB，從而2PA-PB=PA-PC+PB-PC.211=… ?PCPAPB此例結(jié)論表示線段PC是線段PA，PB的調(diào)和平均.這個結(jié)論亦即為點P、C調(diào)和分割弦AB?4如圖4-5，設(shè)在AABC中，AB?AC，AE平分ZA，且交BC于E，在BC上有一點S，使1979年江蘇省競賽題）BS=EC.求證：AS2-AE2=€AB-AC)21979年江蘇省競賽題）證明對厶ABC及邊BC上的點S，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有TOC\o"1-5"\h\zSC BSAS2=AB2——+AC2 BS-SC.BC BC由AE平分ZA，對AABC及邊BC上的點F，應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推論3，有AE2=AB-AC-BE-EC，從而SC BSAS2-AE2=AB2——+AC2 AB-AC+BE-EC-BS-SC.BC BC因BS=EC，有BE=SC，即BE-EC=BS-SC.由角平分線的性質(zhì)，有BEABECACABBCBCBSECAC由角平分線的性質(zhì)，有BEABECACABBCBCBSECACBC~BC~AB+AC"BC~BC從而，由①式，有AS2-AE2=€AB-AC匕.例5凸多邊形ABCD外切于O,兩組對邊所在的直線分別交于點E、F，對角線交于點G?求證:DG丄EF. （《中等數(shù)學(xué)》奧林匹克題高中251題）證明如圖4-6,設(shè)O與邊AB、BC、CD、DA分別切于點M、N、R、S，則由牛頓定理知，AC、BD、MR、NS四線共點于G.由切線長定理，知EM=ER.O由推論1,有EG2=FS2-MG-GR?同理，F(xiàn)G2=FS2—SG-GN.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.聯(lián)結(jié)MO、EO、SO，令O的半徑為r，貝UEM2€OE-r2,FS2=OF2-r2. ③又由相交弦定理，有MG，GR€SG，GN. ④于是，由①、②、③、④有EG2-ED2€FG2-FO2.由定差幕線定理，知OG丄EF.注（1）牛頓定理圓外切四邊形的兩條對角線、兩對邊切點的連線，這4條直線共點.（2）定差幕線定理設(shè)MN、PQ是兩條線段，則MN丄PQ的充要條件為PM2-PN2=QM2-QN-此定理可用勾股定理及逆定理證明.這個定理放到空間也是成立的.運(yùn)用向量法可給出平面、空間的統(tǒng)一證明如下：由PM2+QN2-PN2-QM2€PM2+QN2-PN2-QM2€2PM，PQ-2PN，PQ€2?PM-PN….PQ二2NM，PQ.矢口NM丄PQoNM，PQ€0.故MN丄PQoPM2-PN2€OM2-QN2.例6已知E、F分剔是AABC的邊AB、AC的中點，CM、BN是邊AB、AC上的高，聯(lián)結(jié)EF、MN交于點P.又設(shè)Q、H分別是AABC的外心、垂心，聯(lián)結(jié)AP、OH.求證：AP丄OH.（2005年國家隊集訓(xùn)題）證明如圖牛7,聯(lián)結(jié)AO、AH.設(shè)O、H分別為AO、AH的中點，則HN=1AH，HM=1AM，111212即知點H在線段MN的中重線上，應(yīng)用推論1，有1HP2€HM2-MP，PN.11注意到EF為AABC中位線，O在BC的中垂線上，由此知O也在EF的中垂線上，應(yīng)用推論1，有1OP2€OE2一EP，PF.11再注意到ZANM€ZABC€ZAEF，知M、E、N、F四點共圓，并由直角三角形性質(zhì)，有MP，PF€EP，PF. ③及OE€OA、HM€HA. ④1111由①、②、③、④得HA2-HP2€OA2-OP2.由定差幕線定理，OH丄AP.111111而OH〃OH，故AP丄OH.1注此例的其他證法可參見第九章例16、第十章例15.例7設(shè)D是AABC的邊BC上一點，滿足ACDA cab，O經(jīng)過B、D兩點，并分別與AB、AD交于E、F兩點，BF、DE交于點G，聯(lián)結(jié)AO、AG，取AG的中點M.求證：CM丄AO.證明如圖牛8，在AG的延長線上取點P，使得AG，AP€AF，AD（即G、P、D、F四點共圓），則由AE，AB€AF，AD知E、B、P、G也四點共圓.于是ZBPA二180°-ZBED二180°-ZBFD二ZBFA，知B、P、F、A四點共圓，即有FG?GB=AG?GP=AF?AD—AG2.聯(lián)結(jié)OD、OF、OE,并令O半徑為R，則對△ODE、△ODF分別應(yīng)用推論1,有TOC\o"1-5"\h\zOG2=OD2-EG?GD=R2—皆?GB. ①OA2=OD2+AF?AD=R2+FG?GB+AG2. ②聯(lián)結(jié)OM，由三角形中線長公式，并注意①、②，有MO2-MA2=丄(2OA2+2OG2-AG2)—-AG2=R2. ③44聯(lián)結(jié)OB、OC，對AOBD應(yīng)用推論1，有CO2=OB2+CD?CB=R2+CD?CB.又由ACDAs\cAB，有CA2=CD?CB，即有CO2—CA2=R2. ④注P即為完全四邊形的密克爾點，由③、④有MO2，MA2=CO2，CA2.由定差幕線定理，知CM丄AO.3.注意斯特瓦爾特定理等價于托勒密定理斯特瓦爾特定理可推導(dǎo)出托勒密定理.證明如圖4-9，在AABC中，點P在BC上，由斯特瓦爾特定理，有AP2?BC=AB2?PC+AC2?BP—BP?PC?BC.延長AP交AABC的外接圓于E，連BE，EC，由AABP CEP和AACP bep，有AB?AP=CE?AP，AC?BP=AP?BE.又由相交弦定理，有BP?PC=AP?PE.于是，得AP2?BC=AB?CE?AP+AC?AP?BE—AP?PE?BC，即BC?AP+PE)=AB?CE+AC?BE，亦即AB?CE+AC?BE=BC?AE.即為托勒密定理.由托勒密定理也可推導(dǎo)斯特瓦爾特定理.證明如圖4-10，設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABEC的對角線AE，BC交于P.由托勒密定理，有AB?EC+AC?BE=BC?AE.即AB?EC+AC?BE=?BP+PC)?AE.由厶ABPs△CEP和厶ACPs△BEP，有EC=AB'PC，BE=AC°BP.由相交弦定理，有AP APPE=BP-PC.將這些式子代入前述式子即得斯特瓦爾特定理.AP因此，在應(yīng)用中，兩個定理的應(yīng)用范圍相同，所顯示的功能也一樣，即凡能用托勒密定理處理的問題也能用斯特瓦爾特定理處理．反之亦然．例8若AABC的三邊為連續(xù)整數(shù)，且最大角ZB是最小角ZA的兩倍，求三角形的三邊長.(IMO-10試題)解法1作ZABC的平分線BD(圖略)，則BD=AD，令A(yù)D=y，AB=x，貝VAC=x+1，BC=x一1，CD=x+1，y.文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.由斯特瓦爾特定理的推論3,有y2，x€x-1）-y€x?1-y），即y，又BC,CD，即右，x(x+1)2x-1故由， ，求得x，5（舍去x，0），即AB，5，BC，4，AC，6.x?12x-1解法2作厶ABC的外接圓O，取AC的中點D，連AD,BD,CD，則ABCD為梯形，其中CD〃BA.令A(yù)B，x，貝yAC，x+1，BC，x—1，且CD，BC，x—1，BD，AC，x+1.對四邊形ABCD應(yīng)用托勒密定理，有（x?1）2，x（x一1）+（x-1）2，求得x，5.（下略）【解題思維策略分析】1．獲得線段倍分關(guān)系的一條途徑例9如圖4-11，已知AABC的外接圓k的圓心為O，半徑為R，內(nèi)切圓的圓心為I,半徑為r，另一個圓k與邊CA，CB分別切于點D，E，且與圓k內(nèi)切?求證：內(nèi)心I是線段DE的中點.0證明,CO，（IMO證明,CO，設(shè)圓k的圓心為O,半徑為…，于是O,I，C三點共線，且CI，011則IO1-r且OE，于是，zcIO…-r r\o"CurrentDocument"則IO1-r且OE，于是，zcIO…-r r\o"CurrentDocument" L， ，1 ?CO … …1連OC,OI,OO,對厶COO，及邊OC上的點I,應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有111OO2?CI+OC2?IO，OI2?CO+CI?IO?CO11111注意到歐拉公式，OI2，R2—2Rr,及OO，R—p,OC，R，并將其代入①式，得到1，(R2—2Rr)——…——+ r——11

sinZCsinZC22p—rsinZC2sin2zc化簡得sin2|zc 1-…從而COr=sin22zc=1co1丿即IO-CO，p2，OE2?111因為OE因為OE丄CE,CO丄DE且平分DE,11令DE的中點為I'，由射影定理，有IO-CO，OE2?111文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.比較③式和②式，知I€與I重合，即得I為DE的中點.例10如圖4-12，兩個大圓A, B相等且相交；兩個小圓C,D不相等但相交，且交點為P,Q.若C，D既同時與A內(nèi)切，又同時與B外切.試證：直線PQ平分線段AB.《中等數(shù)學(xué)》奧林匹克問題高中58題)證明由于C，D半徑不相等，此兩圓交點所在直線PQ必與線段AB相交，設(shè)交點為M.連AC，MC，BC，AD，MD，BD，PC，PD，CD，顯然PQ丄CD，設(shè)垂足為N，又設(shè)A，B的半徑均是P，OC,OD的半徑分別為R，r(R,r)，則易得AC=p?R，BC=p+R，AD=p?r，BD=p+r， OO因為PQ丄CD，或(MP丄CD，垂足為N，貝9=PC2?PD2=R2?r2．設(shè)AM=x，MB=y，對厶CAB及邊AB上的點M，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有=(x+y)?MC2+x-MB2+y-AM2. ①對厶DAB及邊AB上的點M，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有x-BD2+y-AD2=(x+y)?MD2+x-MB2+y-AM2. ②①-②，得x-6c2—BD2)+yCLC2—AD2)=(x+y)(MC2—MD2)=(x+y)(R2—r2),x-[(p+R)2一(p…r)2]+y-亦即 2p.(x—y)?(R—r)=0.因p,0，R,r，從而x—y=0，即x=y.故AM=MB，即直線PQ平分線段AB.求解三角形問題的一種工具斯特瓦爾特定理在求解三角形中有關(guān)線段的問題有著重要作用，這可從習(xí)題A中的第6題，習(xí)題B中的第7題等可以看出.在求解三角形的其他問題中，它也有著重要作用.例11設(shè)AABC的三邊為a，b，c，其面積為S，則a2+b2+c2三4^3s，當(dāng)且僅當(dāng)AABC為正三角形時，等式成立. (IMO-3試題)證明取BC的中點D，對AABC及BC邊上的點D，應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推論2，AD2=AD2=2AC2…1AB2—4BC2=—b2+ c2221——a243 ■ 3從而有a2…b2…C2=2AD2…a2上2護(hù)AD2?a=2朽-AD-a設(shè)AABC的BC邊上的高為h，則AD2h，于是2爲(wèi)-AD-a三2叮3-2丄a-h=4朽5.2故a2+b2+c2三4.3s，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)2AD2=3a2且AD=h時成立，也即AD丄BC且AD=乜a,22此時△ABC恰為正三角形.例12如圖4-13，在AABC中，D，E分別為AC和AB同方向延長線上的點，BD與CE相交于P,且BD=CE.當(dāng)P在BC邊的中線上時，則AB=AC.證明設(shè)AP交BC于Q.分別對△BPQ及點A和△CPQ及點A應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推廣結(jié)論，

有AQ APBA2€-BP2，-Q+BQ2——+AP，AQ，PQ PQCA2€-CP2， +CQ2， +AP，AQ.PQPQ鯉+鯉+（BQ2—CQ2PQAPPQ由于BD€CE,對厶PBC及點A應(yīng)用塞瓦定理，有QBECDP1即PDQC €1,即卩€.QCEPDB PEQB當(dāng)P點在BC邊上的中線上時，有BQ€QC.從而PD€PE，由此知PC€PB,故AB€AC.例13如圖4-14,若D是AABC的邊BC延長線上一點，則AD平分ZA的外角的充分必要條件是AD2€BD，CD—AB，AC.證明必要性：若AD平分ZA的外角，則由推論4即有AD2€BD，CD—AB，AC.或者按證明斯特瓦爾特定理的方法來推導(dǎo).充分性：設(shè)直線AD交厶ABC的外接圓于E，連BE、CE.由割線定理有BD，CD€AD，ED，并將其代入條件式AD2=BD，CD—AB，AC可得AD?ED—AD）€AB，AC.由此可知E必在DA的延長線上（因ED—AD>0）.TOC\o"1-5"\h\z于是AD，AE€AB，AC. ①由△ACDs△BCD，有AC，BD€AD，BE. ②由①x②得AE，BD€AB，BE. ③又由△ECDs△BAD，有EC，AD=CD，AB. ④由①-④得，AE，CD€AC，CE. ⑤由③—⑤得，AE，BC€AB，BE—AC，CE.對四邊形EBCA應(yīng)用托勒密定理，有AE，BC€AB，CE—AC，BE.于是AB，CE—AC，BE=AB，BE—AC，CE.即?AB+AC）（CE—BE）=0，從而CE=BE.因此ZCAD€ZEBC€ZECB=ZEAB.故AD平分ZA的外角.例14如圖4-15,設(shè)正AABC的內(nèi)切圓圓心為I,半徑為r，在I內(nèi)任取一點P，設(shè)點P到BC,CA，AB的距離分別為d,d,d.求證：以pd，丫d, 為邊可以構(gòu)成一個三角形，且其面積為1 2 3 1 1 1 2 3 03"2—PI2. （《數(shù)學(xué)通報》問題1356題）4證明設(shè)正三角形ABC的邊長為1,則

d€d€d=-1232，IA=IB=IC=2r=弓連d€d€d=-1232，IA=IB=IC=2r=弓連AP并延長交BC于D，則由題設(shè)知BDS=—△APB= 3，DCSd△APC 2S△BPC PAS—S△BAC △BPCDP由于BI=IC，BA=AC，對厶BIC及邊BC上的點D，對厶ABC及邊BC上的點D，均應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推論1，有ID2=IB2—BD…DC,AD2=AB2—BD…DC.BDd d d又由=^，知BD= 3…BC= 3—DCd d€d d€d\o"CurrentDocument"2 2 3 2 3dDC= 2-d€d21于是ID2=—-3 (d€d23dd dd23 ， AD2=1— ^3(d€d)223又對△AID及邊AD上的點P應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有PA DPIP2=ID2… +IA2… 一DP…PA.AD ADDPd由= 1—PAd€d23PAd€dDPd，知廿 =23， = 1-ADd€d€dADd€d€d1 2 3 1 2 3PA將上述各式及①式代入②式，并注意意1=弓，d€d€d123=亙，2朽—4d=4d€4d，有2 1 2 3= (dd€dd€dd).TOC\o"1-5"\h\z3 3 12 13 23即IP2=「1—4(dd€dd€dd)].3 12 13 23于t是， -d2 -d2-d2 +2(dd +dd +dd)1 2 3 12 13 23由于P由于P點在I內(nèi)部,【模擬實戰(zhàn)】習(xí)題A在厶ABC中，AB=AC=2,BC邊有100個不同的點P,P，…，P，記m=AP2,BP?PC（i=1,1 2 100 i 2 ii…,100），求m,m,…,m的值.12100在AABC中，ZC的平分線交AB于D.證明：CDJCA?CB.（匈牙利中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）在AABC中，D是BC邊上的點，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC.在AABC中，AB=2邁，AC二-邁，BC=2，設(shè)P為BC邊上任一點，則（ ）A.PA2?PB?PC B.PA2=PB?PCC.PA2…PB?PC D.PA2與PB?PC的大小關(guān)系不確定D是AABC的邊AC上的一點，且AD：