利用初等幾何變換解決問題利用初等幾何變換解決問題1

合同變換軸對稱平移旋轉(zhuǎn)相似變換位似初等幾何變換合同變換相似變換合同變換軸對稱平移旋轉(zhuǎn)相似變換位似初等幾何變換合同變換相2

計(jì)算證明求軌跡解作圖題初等幾何變換的應(yīng)用初等幾何變換的應(yīng)用3

出現(xiàn)角平分線的題目

求最小值的題目軸對稱：軸對稱：4平移變換可以將原圖中的某些線段和角平移到一個新的位置，從而把比較分散的已知條件集中到一起，使問題得以解決。線段的平移圖形的平移平移變換平移變換可以將原圖中的某些線段和角平移到一個新的位置，5

旋轉(zhuǎn)變換：旋轉(zhuǎn)變換用于題中出現(xiàn)相等的線段，如等腰三角形、等邊三角形、正方形、一個線段被中點(diǎn)分成兩個相等部分等。在解題中一般旋轉(zhuǎn)60°、90°、120°.旋轉(zhuǎn)變換：旋轉(zhuǎn)變換用于題中出現(xiàn)相等的線段，如等腰三角形、等6相似變換用于題設(shè)條件中出現(xiàn)壁紙或乘積時，要聯(lián)想并尋找相似三角形。相似變換相似變換用于題設(shè)條件中出現(xiàn)壁紙或乘積時，要聯(lián)想并尋找相7例1：設(shè)AD為⊿ABC中角A的平分線，P為AD上任意一點(diǎn)，若AB>AC,求證AB-AC>PB-PC例1：設(shè)AD為⊿ABC中角A的平分線，P為AD上任意一點(diǎn)，若8例2、在⊿ABC中，BC>AB,BD平分∠B,交AC于D,求證：CD>DA例2、在⊿ABC中，BC>AB,BD平分∠B,交AC于9例3、在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a,∠BAD=120°,點(diǎn)P在BD上，則PC+PE的最小值是多少。例3、在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=10

例4、AB是⊙O的直徑，AB=2，OC是⊙O的半徑OC⊥AB,點(diǎn)D在弧AC上，弧AD=2弧DC，點(diǎn)P是半徑OC上一個動點(diǎn)，那么AP+PD的最小值是多少。例4、AB是⊙O的直徑，AB=2，OC是⊙O的半徑O11例5、∠AOB=45°,PO=10，在角兩邊OA、OB上分別有兩點(diǎn)Q、R，則⊿PQR周長的最小值是多少？例5、∠AOB=45°,PO=10，在角兩邊OA、OB上分12例1、四邊形ABCD中，AD∥BC,∠B與∠C互余，點(diǎn)M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，試證明MN=?(BC-AD)例1、四邊形ABCD中，AD∥BC,∠B與∠C互余，點(diǎn)M13例2、六變形ABCDEF中，AB∥DE、BC∥EF、CD∥AF，對邊之差BC-EF=ED-AB=AF-CD>0，求證該六邊形的各角均相等。例2、六變形ABCDEF中，AB∥DE、14例3、如圖，在⊿ABC中，D、E是BC邊上的兩點(diǎn)，BD=CE,試說明AB+AC>AD+AE初等幾何變換變換課件15例5、在等腰三角形ABC的一腰AB上取一點(diǎn)D，在另一腰AC延長線上取一點(diǎn)E,使CE=BD,連接的，則DE>BC例5、在等腰三角形ABC的一腰AB上取一點(diǎn)D，在另一腰A16例7、任意四邊形中一雙對邊中點(diǎn)的連線不大于另一雙對邊和的一半。例7、任意四邊形中一雙對邊中點(diǎn)的連線不大于另一雙對邊17初等幾何變換變換課件18初等幾何變換變換課件19例1、P是等邊三角形ABC所在平面上的一點(diǎn)，試說明PA≤PB+PC例1、P是等邊三角形ABC所在平面上的一點(diǎn)，20初等幾何變換變換課件21例2、在四邊形ABCD中，∠ABC=30°∠ADC=60°AD=DC證明：BD2=AB2+BC2例2、在四邊形ABCD中，∠ABC=30°∠ADC=60°22(費(fèi)馬問題)費(fèi)馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使其到三個頂點(diǎn)的距離和是最小。（P稱為費(fèi)馬點(diǎn)）

費(fèi)馬問題(費(fèi)馬問題)費(fèi)馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形23初等幾何變換變換課件24費(fèi)馬點(diǎn)怎么找呢？費(fèi)馬點(diǎn)怎么找呢？25三內(nèi)角皆小于120°的三角形。三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).

三內(nèi)角皆小于120°的三角形。26在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對角線AC、BD交點(diǎn)P。在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D（P）。四邊形的費(fèi)馬點(diǎn)在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對角線AC、BD交點(diǎn)P。四邊27例3、五邊形ABCDE中，∠B=∠AED=90°AB=CD=AE=BC+DE=1，求這個五邊形的面積。例3、五邊形ABCDE中，∠B=∠AED=90°AB=28例3，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=a,PB=2a，PC=3a(a>0)（1）∠APB的度數(shù)（2）正方形的邊長（結(jié)果保留根號）例3，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=a,PB=2a，29例4、⊿ABC是等腰直角三角形，AB=AC、D是BC邊上的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求（1）⊿BDE和⊿DCF的面積之和。（2）求⊿DEF的面積例4、⊿ABC是等腰直角三角形，AB=AC、D是BC邊上的中30證明：因?yàn)锳C=AG,AE=AB,∠GAB=∠CAE,所以

△CAE≡△GAB(有兩邊及其夾角對應(yīng)相等)，所以∠ACE=∠AGB又因?yàn)椤螧PC=∠APG所以∠GAC=∠CQP=90°故BG⊥CE又BG∥MKHM∥EC所以MH⊥MK例4：在△ABC兩邊AB和AC上向外做正方形ABDE和ACFG，設(shè)H、K、M各為BE、CG、BC的中點(diǎn)。證明MH⊥MK。分析：因H、M是BE、BC的中點(diǎn)，故MH∥CE。同理MK∥BG。所以問題歸結(jié)證CE⊥BG。證明：因?yàn)锳C=AG,AE=AB,∠GAB31例5、在凸四邊形的每一邊上向外做正方形，求證兩雙對邊上正方形中心的連線相等且垂直。例5、在凸四邊形的每一邊上向外做正方形，求證兩雙對邊上正方形32例6、兩個正方形ABCD、AKLM有一個公共點(diǎn)A，求證這兩個正方形的中心以及線段BM、DK的中點(diǎn)是某正方形的頂點(diǎn)。例6、兩個正方形ABCD、AKLM有一個公共點(diǎn)A，求證這兩個33例7、設(shè)⊿ABC是正三角形，如圖，在BC、CA、AB上各取一點(diǎn)A′、B′、B′，使AA′=CB′=AC′設(shè)AA′、BB′、CC′構(gòu)成⊿A″B″C″。求證⊿A′B′C′和⊿A′′B″C″也都是正三角形，并且有相同的重心。例7、設(shè)⊿ABC是正三角形，如圖，在BC、CA、AB34(托雷密定理)圓內(nèi)接四邊形中兩對角線之積等于兩雙對邊乘積之和。假設(shè)ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC、BD為其對角線。求證AC·BD=AB·CD+AD·BC(托雷密定理)圓內(nèi)接四邊形中兩對角線之積等于兩35定理：四邊行內(nèi)接于一圓的充要條件是兩對角線之積等于兩雙對邊乘積之和。定理：四邊行內(nèi)接于一圓的充要條件是兩對角線之積等于兩36由于圖形的變換不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位置.因此,我們在遇到一些比較難解決幾何問題中,如果能夠充分利用圖形變換,把圖形位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖?從而達(dá)到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步整合圖形信息的目的，就會使得復(fù)雜的問題得以創(chuàng)造性地解決．圖形變換的作用由于圖形的變換不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位37謝謝大家謝謝大家38例2、O是銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)。求證：PA+PB+PC≥OA+OB+OC例2、O是銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠CO39例5、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值。例5、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、40對一般四邊形ABCD,有AB·CD+AD·BC≥AC·BD對一般四邊形ABCD,有AB·CD+AD·BC≥AC41設(shè)P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，將△APC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使C轉(zhuǎn)到BA延長線上的C′點(diǎn)，P轉(zhuǎn)到P′．這時的旋轉(zhuǎn)角度為18O°-A≤60°，所以PP′≤AP．于是PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C≥BC′=AB+AC．上式等號當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時成立．這就是說，當(dāng)A≥120°時，極值點(diǎn)P是頂點(diǎn)A．綜上可知，當(dāng)△ABC的每一內(nèi)角均小于120°時，使PA+PB+PC最小的極值點(diǎn)是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角≥120°時，極值點(diǎn)是最大角的頂點(diǎn)．設(shè)P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，將△APC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使C轉(zhuǎn)到42例6、在⊿ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AD≤?(AB+AC）例6、在⊿ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，43變換的作用：借助變換,可以使問題中的條件相對集中,從而起到化難為易,出奇制勝的效果，同時變換還是引出輔助線的重要思想方法。變換的作用：借助變換,可以使問題中的條件相對集中,44證明：由于∠AOB=∠BOC=∠COA=120°故將△AOB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°得△A’O’B,△BOO’為正三角形∴COO’A’四點(diǎn)共線，即將CO,BO,AO轉(zhuǎn)化為一直線段CA’,要證明PA+PB+PC≥OA+OB+OC只需證PA+PB+PC≥CA’在上述旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P’,△PBP’也是正三角形，且△A’P’B≌△APB故PA