第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—運動學基本概念

運動學正問題：已知各關節(jié)位移變量的值，要求末端手爪在空間的位置和姿態(tài)。

運動學逆問題：指定末端手爪的空間位置和姿態(tài)，要求出各關節(jié)位移變量的相應值，實際上是求解運動學方程的過程。1第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—運動學基本概念運第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—自由度機器人的自由度：表示機構運動時獨立的位置變量數(shù)，通常與機械手的關節(jié)數(shù)相同。

期望機器人能夠把它的端部執(zhí)行裝置移動到給定點。如果機器人用途預先不知道，它應當具有六個自由度。為什么？2第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—自由度機器人的自由第二章機器人正運動學方程

§基礎熱身—坐標變換1、旋轉變換設坐標系{B}和{A}有共同的原點，但是兩者的方位不同。同一點P在兩個坐標系{A}和{B}中的描述和具有以下變換關系，稱為坐標系旋轉方程。用旋轉矩陣表示坐標系{B}相對于{A}的方位。同樣，用描述坐標系{A}相對于{B}的方位。二者都是正交矩陣，兩者互逆。3第二章機器人正運動學方程

§基礎熱身—坐標變換1、第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—旋轉矩陣旋轉矩陣稱為旋轉矩陣，上標A代表參考系{A}，下標B代表被描述的坐標系{B}。4第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—旋轉矩陣旋轉矩陣4第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—坐標變換

2、齊次變換復合變換式對于點而言是非齊次的，但是可以將其表示成等價的齊次變換形式：其中，4×1的列向量表示三維空間的點，稱為點的齊次坐標，仍然記為或。上式可以寫成矩陣形式：齊次變換矩陣也代表坐標平移與坐標旋轉的復合,可將其分解成兩個矩陣相乘的形式：5第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—坐標變換2、

例:坐標系{B}繞坐標系{A}的Z軸旋轉30度,沿平移10個單位,沿平移5個單位.知道P點在{B}中的坐標表示為，求P點在{A}中的坐標表示

結果：第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—運動方程的表示6例:坐標系{B}繞坐標系{A}的Z軸旋轉第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—運動方程的表示

可以把機械手看作一系列關節(jié)連接起來的連桿構成的，為每個連桿建立一個坐標系，并用齊次變換描述這些坐標系間的相對位置和姿態(tài)對于六連桿機械手：7第三章機器人正運動學方程

§基礎熱身—運動方程的表示第三章機器人正運動學方程

§3.1概述（D-H方法）

D-H方法1955年，Denavit和Hartenberg在“ASMEJournalofAppliedMechanics”發(fā)表一篇論文，其內容成為機器人運動建模的標準方法。D-H方法是對機器人連桿和關節(jié)建模的一種簡單方法，也可用于直角坐標、圓柱坐標、球坐標、歐拉角坐標、RPY坐標等的變換。8第三章機器人正運動學方程

§3.1概述（D-H方法）開鏈（OpenChain）機器人

又稱串接桿件機器人，由若干剛性桿件首尾相連而成，桿件間的連接物稱為關節(jié)。

第三章機器人正運動學方程

§3.1概述（D-H方法）9開鏈（OpenChain）機器人第三章機器人正運動學開鏈（OpenChain）機器人

例：Puma560機器人由6個連桿和6個關節(jié)組成，具有6個自由度。操作臂的末端抓手與連桿6固連成一體。這樣構成單鏈開放式結構，即開鏈機器人。

第三章機器人正運動學方程

§3.1概述（D-H方法）10開鏈（OpenChain）機器人第三章機器人正運動學

1.Linkdescription

Alinkisconsideredonlyasarigidbody.Jointaxesaredefinedbylinesinspace.Thelinksarenumberedstartingfromtheimmobilebaseofthearm,link0,andsoontothefreeend,linkn.第三章機器人正運動學方程

§3.2連桿描述111.Linkdescription第三章第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐標（D-H方法）

1、連桿坐標1）找出連桿的關節(jié)和軸線2）Zi軸的確定：坐標系{i}的Zi軸與關節(jié)軸i重合，坐標系{i}的原點位于公垂線與關節(jié)軸i交點處。3）Xi軸的確定：Xi軸沿著公垂線方向由當前關節(jié)i指向下一個關節(jié)i+1。當公垂線為0時，Xi垂直于Zi和Zi+1所在平面。4）Yi軸的確定：右手定則確定。首末連桿當?shù)谝粋€關節(jié)變量為0時，規(guī)定坐標系{0}和{1}重合。對于坐標系{N}，其原點和X的方向可以任取。但在選取時，通常盡量使連桿參數(shù)為0。12第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐標（D-H方法）

2、連桿參數(shù)連桿的功能在于保持其兩端的關節(jié)軸線具有固定的幾何關系，連桿的特征也是由這兩條軸線規(guī)定的。1）連桿長度2）連桿扭角3）連桿間距4）關節(jié)角度連桿長度和扭角完全地定義了連桿的特征。連桿間距和關節(jié)角度描述了兩連桿之間的聯(lián)系。13第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐標（D-H方法）

例：XHK5140自動換刀數(shù)控立式銑鏜床的連桿機械手的連桿如圖所示，關節(jié)1的軸線與正方體的對角線重合，關節(jié)2的軸線與正方體的一棱邊重合，正方體的邊長為L，求此連桿長度和扭角。14第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐標（D-H方法）

3、填寫DH表連桿坐標系相對于的變換稱為連桿變換。顯然與四個連桿參數(shù)有關。因此，可以把連桿變換分解為四個基本的子變換問題，其中每個子變換依賴于一個連桿參數(shù)。1)繞軸轉角；2)沿軸移動；3)繞軸轉角；4)沿軸移動。填寫DH表15第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐標（D-H方法）

4、總結建立步驟1、找出各關節(jié)軸，標出延長線。2、找出關節(jié)軸i和i+1之間的公垂線或關節(jié)軸i和i+1的交點，以關節(jié)軸的i和i+1的交點或公垂線與關節(jié)軸的交點作為連桿坐標系{i}的原點。3、規(guī)定軸沿關節(jié)軸i的指向。4、規(guī)定軸沿公垂線的指向如果關節(jié)軸i和i+1相交，則規(guī)定垂直于關節(jié)軸i和i+1所在平面5、按照右手定則確定6、當?shù)谝粋€關節(jié)變量為0時，規(guī)定坐標系{0}和{1}重合。對于坐標系{N}，其原點和X的方向可以任取。但在選取時，通常盡量使連桿參數(shù)為0.7、確定連桿參數(shù)8、根據(jù)連桿參數(shù)建立法則確定連桿參數(shù)，填入DH表16第三章機器人正運動學方程

§3.3運動學方程—連桿坐

練習:Athree-linkplanararm.Allthreejointsarerevolute,called3Rmechanism.Figure(b)isaschematicrepresentationofthesamemanipulator.Thedoublehashmarksindicatedoneachofthethreeaxes,whichindicatethattheseaxesareparallel.AssignlinkframestothemechanismandgivetheDenavit-Hartenbergparameters.

第三章機器人正運動學方程

§3.4練習（D-H方法）17練習:Athree-linkplanara練習118練習118Example:Arobothavingthreedegreesoffreedomandoneprismaticjoint,canbecalledRPRmechanisminanotationthatspecifiesthetypeandorderofthejoints.Itisacylindricalrobotwhosefirsttwojointsareanalogoustopolarcoordinateswhenviewedfromabove.Thelastjointprovidesrollforthehand.Figure(b)showsthesamemanipulatorinschematicform.Notethesymbolusedtorepresentprismaticjoints,andnotethata“dot”isusedtoindicatethepointatwhichtwoadjacentaxesintersect.Also,thefactthataxes1and2areorthogonalhasbeenindicated.第三章機器人正運動學方程

§3.4練習（D-H方法）19Example:Arobothaving練習220練習220第三章機器人正運動學方程

§3.4練習（D-H方法）Example:Athree-link,3Rmanipulatorforwhichjointaxes1and2intersectandaxes2and3areparallel.Figure(b)showsthekinematicschematicofthemanipulator.Notethattheschematicincludesannotationsindicatingthatthefirsttwoaxesareorthogonalandthelasttwoareparallel..

21第三章機器人正運動學方程

§3.4練習（D-H方法）練習3坐標系的建立和DH參數(shù)并不唯一，下面的例子可以充分說明這點。22練習3坐標系的建立和DH參數(shù)并不唯一，下面的例子可以充分說明第三章機器人正運動學方程

§3.4練習（D-H方法）一般情況下,當與相交時,有兩種選擇。在本例中，由于關節(jié)軸1和關節(jié)軸2相交，因此的方向有兩種選擇。下圖所示是選擇另一個方向時，另外兩種可能的坐標系布局形式。實際上，當方向向下時，相應于前面的四種選擇還有四種可能的坐標系布局形式。.23第三章機器人正運動學方程

§3.4練習（D-H方法）第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂運動學

1、連桿變換矩陣連桿坐標系相對于的變換稱為連桿變換。顯然與四個連桿參數(shù)有關。因此，可以把連桿變換分解為四個基本的子變換問題，其中每個子變換依賴于一個連桿參數(shù)。1)繞軸轉角；2)沿軸移動；3)繞軸轉角；4)沿軸移動。24第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂運動學25第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂例：以上節(jié)練習2中的機械臂為例，計算各個連桿的變換矩陣。

練習426例：以上節(jié)練習2中的機械臂為例，計算各個連桿的變換矩陣。練習

練習427練習427

當推導出這些連桿變量矩陣時，會發(fā)現(xiàn)可用它來檢查這個變換的正確性。例如每個變換矩陣的第四列元素表示了相鄰更高一級坐標系原點的坐標。練習428練習428第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂運動學

2、運動學方程連桿變換依賴于四個參數(shù)，其中只有一個是變化的。對于轉動關節(jié),是的函數(shù)；對于移動關節(jié),是的函數(shù)。以下用表示第i個關節(jié)變量，對于轉動關節(jié)，；對于移動關,。將各個連桿變換相乘，得：稱為手臂變換矩陣。它是n個關節(jié)變量的函數(shù)，表示末端連桿坐標系相對于基坐標系的描述:據(jù)各關節(jié)位置傳感器的輸出，得到各關節(jié)變量的值，即可求出運動學方程。29第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂運動學

3、D-H方法不足1）所有的運動都是關于x和z軸的，無法表示y軸的運動，因此只要有關于y軸的運動，該方法將不適用。2）D-H方法建立的桿坐標系為傳動軸坐標系，對于樹形結構或含閉鏈的機器人，有的桿上會存在多于一個傳動軸，此時桿坐標系會產(chǎn)生歧義。1986年，Khalil，Kleinfinger提出一種修改的D-H方法，即建立桿坐標系為驅動軸坐標系。

30第三章機器人正運動學方程

§3.5運動學方程—操作臂

驅動器空間、關節(jié)空間、笛卡爾空間第三章機器人正運動學方程

§3.6運動學方程—驅動、關節(jié)和笛卡爾空間31驅動器空間、關節(jié)空間、笛卡爾空間第三章

例子:

TheUnimation560機器人

第三章機器人正運動學方程

§3.6運動學方程—驅動、關節(jié)和笛卡爾空間32例子:TheUnimation560機器人

Puma560是一個六自由度機器人，所有關節(jié)都是轉動關節(jié)（即這是一個6R機構），這臺機器人與許多工業(yè)機器人一樣，關節(jié)4、5、6的軸線相交于一點，并且與坐標系{4},{5},和{6}的原點相重合，并且關節(jié)軸4、5、6相互垂直.

第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例33Puma560是一個六自由度機器人，

坐標系定義和連桿參數(shù)定義如下：第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例34坐標系定義和連桿參數(shù)定義如下：第三章

求出每一個連桿變換矩陣:

第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例35求出每一個連桿變換矩陣:第三章機器人正運動學

將各個連桿矩陣相乘得到得到的結果有助于求解后面的運動學逆問題.從和相乘開始:第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例36將各個連桿矩陣相乘得到

Then:

第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例37第三章機器人正運動學方程

§3.

因為關節(jié)2和關節(jié)3是平行的，所以和的乘積用二角和公式將得到一個簡化的表達式，只要兩個旋轉關節(jié)軸平行就可以這樣處理，因此得到:得：第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例38因為關節(jié)2和關節(jié)3是平行的，所

最后，得到六個連桿坐標變換陣的乘積:

Theyspecifyhowtocomputethepositionandorientationofframe{6}relativetoframe{0}oftherobot.第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例39最后，得到六個連桿坐標變換陣的乘積:第三章機器

當機器人不是一個簡單的開環(huán)運動鏈時：有時候，兩個驅動器一同工作共同驅動一個關節(jié)。有時候，將兩個線性驅動器通過四桿機構將連桿耦合連接，通過鏈傳動，利用不同位置上的驅動器驅動關節(jié)。

第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例40當機器人不是一個簡單的開環(huán)運動鏈時：第三章機器人正

例子:平行連接(閉環(huán)運動鏈).Placingbothactuatorsatthebaselinkmakestherobotarmlighter.Alargerend-effecterloadcanbebornwiththetwoseriallinkagearmssharingtheload.第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例41例子:平行連接(閉環(huán)運動鏈).第三章機器

Example:TheYasukawaMotomanL-3isapopularindustrialmanipulatorwith5DOF.第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例42Example:TheYasukawaMot第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例根據(jù)驅動器的位置計算關節(jié)角度根據(jù)關節(jié)角度計算末端連桿笛卡爾位姿，此時將系統(tǒng)看做一個簡單的5R開環(huán)運動鏈來討論.如圖：驅動器2連接到機器人連桿2和3上，驅動器是線性驅動器，直接控制DC長度。三角形ABC不變，因此BD不變。常量：變量:43第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例Actuator3isalinearonethatdirectlycontrolsthelengthofthesegmentHG.TriangleEFGisfixed,asisthelengthFH.Joint3pivotsaboutpointJ,andtheactuatorpivotsslightlyaboutpointGasthelinkagemoves.常量:變量:44第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉

1.由驅動器矢量計算關節(jié)矢量一組驅動器參數(shù)()等效映射成一組關節(jié)參數(shù)()的方程,在這種情況下，這些方程可以由平面幾何方法直接得出。對于每一個驅動器，這些方程中會出現(xiàn)比例常數(shù)()和偏距常數(shù)().第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例451.由驅動器矢量計算關節(jié)矢量第三章機器人正運

2.由關節(jié)矢量計算腕部坐標系的位姿第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例462.由關節(jié)矢量計算腕部坐標系的位姿第三章機器第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例47第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉例

如果只要求計算笛卡爾坐標系中的位置而不需要計算關節(jié)角度，那么可以推導由驅動器空間直接向笛卡爾空間映射的方程。48第三章機器人正運動學方程

§3.7典型機器人運動學舉

1.標準命名

Asamatterofconvention,itwillbehelpfulifassignspecificnamesandlocationstocertain“standard”framesassociatedwitharobotanditsworkspace.Thefiveframesaresooftenreferedtothatwewilldefinenamesforthem.第三章機器人正運動學方程

§3.8坐標系的標準命名491.標準命名第三章機

1)基坐標系{B}:islocatedatthebaseofthemanipulator.Itisaffixedtoanonmovingpartoftherobot.

2)工具臺坐標系{S}:islocatedinatask-relevantlocation.{S}istheuniverseframe,andallactionsoftherobotareperformedrelativetoit.

3)腕部坐標系{W}:isaffixedtothelastlink,andhasitsoriginfixedatapointcalledthewristofthemanipulator.

4)工具坐標系{T}:isaffixedtotheendofanytooltherobothappenstoholding,isdefinedwithitsoriginatthetipofapinofthetool.Whenthehandisempty,{T}islocatedwithitsoriginbetweenthefingertipsoftherobot.

5)目標坐標系{G}:isade