專題強化練9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、選擇題1.(2020山東濟寧實驗中學(xué)高二上期中,)已知點(2,1)是直線l被橢圓x212+yA.2x+3y-7=0 B.2x-3y-1=0C.4x+3y-11=0 D.4x-3y-5=02.()已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線x-2y+4=0與C交于A,B兩點,則sin∠AFB=()A.45 B.35 C.33.(2020山東淄博一中高二上期中,)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過點F的直線交l于點A,與拋物線的一個交點為B,且FA=-2FB,則|AB|=()4.(2020河北唐山一中高二上期中,)直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.32-2 D.2-1二、填空題5.()過雙曲線x2a2-y26.(2020黑龍江牡丹江第一高級中學(xué)期末,)如圖,已知拋物線的方程為x2=2py(p>0),過點A(0,-1)作直線,與拋物線相交于P,Q兩點,點B的坐標(biāo)為(0,1),連接BP,BQ,設(shè)QB,BP的延長線與x軸分別相交于M,N兩點.如果QB的斜率與PB的斜率的乘積為-3,則∠MBN的大小等于.

三、解答題7.(2020廣東惠州高二上期末,)已知橢圓與拋物線y2=42x有一個相同的焦點,且該橢圓的離心率為22.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若AP=2PB,求△AOB的面積.8.()已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右焦點分別為F1,F2,過F1(1)求橢圓C的方程;(2)若橢圓上存在一點M,使得2OM=OA+3OB

9.(2020吉林長春市實驗中學(xué)高二上期中,)如圖所示,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,與拋物線交于A,B兩點,M為拋物線弧AB上的動點.(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;(2)求S△ABM的最大值.

10.()已知動點P在y軸的右側(cè),且點P到y(tǒng)軸的距離比它到點F(1,0)的距離小1.(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為-1且不過點M(1,2)的直線交C于A,B兩點,直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.

11.()如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點為A(2,0),左、右焦點分別為F1,F2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點P的直線與橢圓交于M,N兩點(M,N不與A,B重合),若S△PAM=6S△PBN,求直線MN的方程.

12.()在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,點A(-2,0),過動點P作直線x=-4的垂線,垂足為M,且AM·AP=-4.記動點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過點A的直線l交曲線E于不同的兩點B,C.①若B為線段AC的中點,求直線l的方程;②設(shè)B關(guān)于x軸的對稱點為D,求△ACD面積S的取值范圍.答案全解全析一、選擇題1.A設(shè)直線l與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,由x1212+y124=1,x2212+y2又x1+x2=4,y1+y2=2,∴4+3kAB×2=0,解得kAB=-23因此直線l的方程為y-1=-23即2x+3y-7=0,故選A.2.B由拋物線方程可知焦點F的坐標(biāo)為(0,1),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,得x-2y+4=0,x2=4y,解得x=-2,y=1或x=4,y=4,不妨令A(yù)(-2,1),B(4,4),∴|AB|=36+9=353.B如圖所示,設(shè)E為準(zhǔn)線與x軸的交點,過B作BB1⊥l于B1.由FA=-2FB得,|AF||AB|又|EF|=2,∴|BB1|=3,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB).∵|BB1|=x+p2=xB+1=3,∴xB=2,結(jié)合圖象得B(2,22∴|AB|=|xA-xB|·1+kBF24.A在x-3y+3=0中,令y=0,得x=-3,∴F(-3,0).令x=0,得y=1,∴C(0,1),設(shè)A(x1,y1),則FC=(3,1),CA=(x1,y1-1),由FC=2CA得2x1由A在橢圓上,得2a=274+94+∴e=ca=2c2a=二、填空題5.答案(5,10)解析由x2a2-y結(jié)合圖形(圖略)知,2<ba<3?2a<b<3a?4a2<c2-a2<9a2?5a2<c2<10a2?5<e2<10?5<e<10故雙曲線離心率的取值范圍是(5,10).6.答案π解析設(shè)直線PQ的方程為y=kx-1(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=kx-則x1+x2=2pk,x1x2=2p.因為kBP=y1-1x1所以kBP+kBQ=2kx1又kBP·kBQ=-3,所以kBP=3,kBQ=-3,所以∠BNM=π3,∠BMN=π故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=π3三、解答題7.解析(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b因為橢圓的離心率e=ca=2又b2=a2-c2=2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AP=(-x1,1-y1),PB=(x2,y2-1).由AP=2PB,得-驗證易知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入橢圓方程,整理得(2k2+1)x2+4kx-2=0,所以x1+x2=-4k2k2+1,x將x1=-2x2代入上式,可得4k2k2+12=所以△AOB的面積S=12|OP|·|x1-x2|=(x1+x2)8.解析(1)∵過F1的直線l:x+my+3=0,∴令y=0,解得x=-3,∴c=3,∵e=ca=32,∴a=2,∴b2=a2-c2=4-3=1,∴橢圓C的方程為x2(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),由2OM=OA+3OB,得x3=12x1+32x2,y3=12y1+32y2∴1414x12+y12+34∴x1x2+4y1y2=0,聯(lián)立方程,得x+my+3=0,x∴y1+y2=-23mm2+4,y∴x1x2+4y1y2=(my1+3)(my2+3)+4y1y2=(m2+4)y1y2+3m(y1+y2)+3=(m2+4)·-1m2+4+即m2=2,解得m=±2.故所求直線l的方程為x±2y+3=0.9.解析(1)由條件知lAB:y=x-p2,與y2=2px聯(lián)立,消去y,得x2-3px+14p2=0,則x1+x2=3p.由拋物線的定義得|AB|=x1+x又因為|AB|=8,所以p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.(2)解法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-p2,設(shè)My則M到AB的距離d=y0因為點M在直線AB的上方,所以y022p-y則d=y02=-y02當(dāng)y0=p時,dmax=22故S△ABM的最大值為12×4p×22p=2p解法二:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-p2設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+mm≠代入拋物線方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.令Δ=4(m-p)2-4m2=0,得m=p2所以與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+p2兩平行直線間的距離d=p2+p22=22p,故S△ABM的最大值為1210.解析解法一:(1)依題意知動點P的軌跡是拋物線(除原點),其焦點為F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1,設(shè)其方程為y2=2px(p>0),則p2所以動點P的軌跡C的方程是y2=4x(x>0).(2)設(shè)直線AB:y=-x+b(b≠3),A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=所以y1+y2=-4,又Δ=16+16b>0,所以b>-1,因為x1=y124,x2所以k2+k1=y2-=4(y=4y2+2+4因此k1+k2=0.解法二:(1)同解法一.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是直線與C的交點,易知x1=y124,x2所以kAB=y2-y又直線的斜率為-1,所以4y1+y2所以k2+k1=y2-2y22=4y2+2+4因此k1+k2=0.11.解析(1)由題意,得BF1⊥x軸,|BF1||所以a=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)因為a∶c=2∶1,所以|PA|=2|PB|.所以S△PAMS△PBN所以|PM||PN|由題意知P(0,-1),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則PM=(x1,y1+1),PN=(x2,y2+1),所以x1=-3x2.①當(dāng)直線MN的斜率不存在時,直線MN的方程為x=0,此時,|PM||PN|=3+13-1②當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y=kx-1.由y=kx-1,由根與系數(shù)的關(guān)系,可得x將x1=-3x2代入,可得-所以3-4k4所以k2=32,解得k=±6所以直線MN的方程為y=62x-1或y=-612.解析(1)設(shè)P(x,y),則M(-4,y).因為A(-2,0),所以AM=(-2,y),AP=(x+2,y),因為AM·AP=-4,所以-2x-4+y2=-4,即y2=2x.所以曲線E的方程為y2=2x.(2)①若直線l的斜率不存在,則l與曲線E無公共點,因此l的斜率存在;若l的斜率為0,則l與曲線E只有一個公共點,因此l的斜率不為0.設(shè)l:y=k(x+2),k≠0,由y=k(x+2),y2=2x得y2設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=2k,y1y2因為B為線段AC的中點,所以y2=2y1.又y1+y2=2k,所以y