推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明數(shù)學歸納法間接證明類比推理歸納推理分析法綜合法反證法知識結(jié)構推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明數(shù)學歸納法間接證明復習:

從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.1.什么叫推理?2.合情推理的主要形式有

和

.歸納類比復習:從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過2歸納推理由部分到整體、特殊到一般的推理;以觀察分析為基礎,推測新的結(jié)論;具有發(fā)現(xiàn)的功能;結(jié)論不一定成立.歸納推理由部分到整體、特殊到一般的推理;以觀察分析為基礎,推3例.黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案:則第n個圖案中有白色地磚

塊.第1個第2個第3個2(2n+1)例.黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案:則4(06廣東,14)在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2,3,4,…堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)=

;

f(n)=

（答案用n表示）.…10(06廣東,14)在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商5設第n堆由上到下,第n層有an個乒乓球,則設第n堆由上到下,第n層有an個乒乓球,則6【評析】通過歸納推理得出的結(jié)論可能正確，也可能不正確，它的正確性需通過嚴格的證明，猜想所得結(jié)論即可用演繹推理給出證明.雖然由歸納推理所得出的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般、由具體到抽象的認識過程，對于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、科學的發(fā)明是十分有用的.通過觀察實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)學研究的基本方法之一，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）.【評析】通過歸納推理得出的結(jié)論可能正確，也可能不正確，它的正類比推理由特殊到特殊的推理;以舊的知識為基礎,推測新的結(jié)果；結(jié)論不一定成立.具有發(fā)現(xiàn)的功能;類比推理由特殊到特殊的推理;以舊的知識為基礎,推測新的結(jié)果；8類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；⑶檢驗猜想。即

觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特9(06廣東,10)對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d)，規(guī)定：(a,b)=(c,d),當且僅當a=c,b=d；運算“”為：運算“”為：設p,q∈R，若，則()A.(4，0)B.(2，0)C.(0，2)D.(0，-4)由得B(06廣東,10)對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d)10【評析】根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理（簡稱類比）.類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的，也可能是假的，所以類比推理屬于合情推理.雖然類比推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，但是它由特殊到特殊的認識功能，對于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實卻十分有用.類比推理應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比、歸納、提出猜想.平面圖形中的面積與空間圖形中的體積常常是類比的兩類對象.類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性;（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）.【評析】根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似（或在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19,n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應地:在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有等式

成立.在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…+12

b1b2…bn=b1b2…b17-n(n＜17,n∈N*)(由題設可知，如果am=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a2m-1-n(n＜2m-1,n∈N*)成立，如果m+n=p+q，其中m，n,p,q是自然數(shù)，對于等差數(shù)列，則有am+an=ap+aq，而對于等比數(shù)列，則有bmbn=bpbq，所以可以得到結(jié)論，若bm=1，則有等式b1b2…bn=b1b2…b2m-1-n(n＜2m-1,n∈N*)成立，在本題中m=9.)b1b2…bn=b1b2…b17-n(n＜113歸納推理：類比推理：實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新的結(jié)論簡言之：歸納:特殊一般類比:特殊特殊簡言之：合情推理歸納推理：類比推理：實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論觀察、14歸納推理和類比推理的共同點

從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想歸納推理和類比推理的共同點從具體問題出發(fā)觀察、分析、15從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．注：１．演繹推理是由一般到特殊的推理；２．“三段論”是演繹推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情況；⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演16三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）S—P（S是P）（大前提）（小前提）（結(jié)論）三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）S—P（S是17演繹推理（練習）演繹推理（練習）18在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足.求證：AB的中點M到D,E的距離相等.考點演繹推理【分析】解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)作為大前提.在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足.19【證明】（1）因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形——大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°——小前提所以△ABD是直角三角形——結(jié)論（2）因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半——大前提而M是Rt△ABD斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線——小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.【證明】（1）因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角20【評析】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理.三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.三段論的公式中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況;這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個判斷結(jié)論.演繹推理是一種必然性推理,演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊涵關系.因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但錯誤的前提可能導致錯誤的結(jié)論.【評析】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前21直接證明分析法解題方向比較明確，利于尋找解題思路；

綜合法條理清晰，易于表述。通常以分析法尋求思路，再用綜合法有條理地表述解題過程分析法綜合法概念直接證明分析法解題方向比較明確，通常以分析法尋求分析法概22直接證明綜合法和分析法的推證過程如下：綜合法已知條件結(jié)論分析法結(jié)論已知條件直接證明綜合法和分析法的推證過程如下：綜合法已知條件結(jié)論分析23綜合法利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論或所要解決的問題的結(jié)果。條件結(jié)論推理論證條件定理公理定義PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…(順推證法、由因?qū)Ч?綜合法利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理24證為數(shù)為數(shù)證一.綜合法證為數(shù)為數(shù)證一.綜合法25證為數(shù)為數(shù)證證為數(shù)為數(shù)證26【評析】（1）在用綜合法證明不等式時，常利用不等式的基本性質(zhì)，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在運用這些性質(zhì)時，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件.簡言之，綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法.（2）一般問題都是用綜合法解決的，要保證前提條件正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證結(jié)論的正確性.【評析】（1）在用綜合法證明不等式時，常利用不在銳角三角形ABC中,求證：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.＊對應演練＊在銳角三角形ABC中,求證：＊對應演練＊28證明:∵銳角三角形ABC中，A+B＞,∴A＞-B.∴0＜-B＜A＜.又∵在（0,）內(nèi)正弦函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),∴sinA＞sin（-B）=cosB.即sinA＞cosB.①同理，sinB＞cosC,②sinC＞cosA.③由①+②+③得sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.證明:∵銳角三角形ABC中，A+B＞,29一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）。QP1P1P2P2P3得到一個明顯成立的條件…分析法(逆推證法、執(zhí)果索因法)用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求QP1P130【分析法】要證只需證只需證顯然成立所以結(jié)論成立格式【分析法】要證格式31【證明】要證只要證∵a>0,故只要證考點分析法證明已知a>0,求證:【分析】所給條件簡單,所證結(jié)論復雜,一般采用分析法.【證明】要證32從而只要證只要證即,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.即即33【評析】分析法是數(shù)學中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設)的邏輯推理方法.具體地說,即先假設所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等）或要證命題的已知條件時命題得證.【評析】分析法是數(shù)學中常用到的一種直接證明方法反證法證明過程否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，即分三個步驟：反設—歸謬—存真用反證法證明命題的過程用框圖表示為：

肯定條件否定結(jié)論導致邏輯矛盾反設不成立結(jié)論成立反證法證明過程否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，35【分