2022-2023學(xué)年福建省莆田市高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處切線的斜率，進而即可得切線方程.【詳解】因為，所以，所以，即在處切線方程的斜率為，又因為，所以切線方程為，整理得，故選：B2．為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過觀察散點圖并結(jié)合選項函數(shù)的類型得出結(jié)果.【詳解】觀察散點圖，可知是一個單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.故選：C.3．樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為1，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差分別為（

）A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運算求解.【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；因為樣本數(shù)據(jù)的方差為1，所以樣本數(shù)據(jù)的方差為.故選：A4．已知的展開式中的系數(shù)是10，則實數(shù)a的值是（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項公式運算求解.【詳解】因為的二項展開式通項為，令，解得，可得，由題意可得：，解得.故選：B.5．已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是（

）A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解.【詳解】從某地市場上購買一個電子產(chǎn)品，設(shè)買到的電子產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品為事件,設(shè)買到的電子產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品為事件,則由題可知從甲廠電子產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的電子產(chǎn)品是合格產(chǎn)品事件,從乙廠電子產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的電子產(chǎn)品是合格產(chǎn)品事件,則由題可知由題意可知互相獨立，故從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是.故選：B.6．甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游，準(zhǔn)備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠三百山5個景點中隨機選擇其中一個，記事件A：甲和乙選擇的景點不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，，所以，故選：B.7．從裝有6個白球，2個紅球的密閉容器中逐個不放回地隨機摸取小球．若每取出1個紅球得2分，每取出1個白球得1分，按照規(guī)則從容器中任意抽取2個球，所得分?jǐn)?shù)為3分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意所得分?jǐn)?shù)為分表示取出個紅球和個白球，利用組合數(shù)及古典概型的概率公式計算可得.【詳解】依題意所得分?jǐn)?shù)為分表示取出個紅球和個白球，所以所得分?jǐn)?shù)為分的概率.故選：D8．為提高教學(xué)質(zhì)量，教育廳派6位教研員，平均分成3組，去某地3所重點高中調(diào)研，且甲、乙兩位教研員不去同一所高中，則不同的調(diào)研安排方案有（

）種．A．66 B．72 C．85 D．96【答案】B【分析】首先不考慮甲、乙兩位教研員利用平均分組分配問題的方法求出總安排數(shù)，再減去甲、乙兩位教研員去同一所高中的情況.【詳解】依題意若不考慮甲、乙兩位教研員則有種安排方法，若甲、乙兩位教研員去同一所高中則有種安排方法，綜上可得不同的調(diào)研安排方案有種.故選：B二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．由變量和的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程，則其圖形一定經(jīng)過點B．在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好C．線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱D．甲、乙兩個模型的分別約為和，則模型乙的擬合效果更好【答案】AB【分析】利用回歸直線過樣本中心點可判斷A選項；利用模型的擬合效果與殘差平方和的關(guān)系可判斷B選項；利用線性相關(guān)系數(shù)與變量的線性相關(guān)關(guān)系可判斷C選項；利用模型的擬合效果與的關(guān)系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，A對；對于B選項，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，B對；對于C選項，線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱，C錯；對于D選項，對于回歸模型而言，模型的越大，則模型的擬合效果越好，甲、乙兩個模型的分別約為和，所以，甲模型的擬合效果更好，D錯.故選：AB.10．有甲、乙兩個班級共計人進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于分為優(yōu)秀，分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀甲班10乙班30已知在全部人中隨機抽取人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（

）附：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．列聯(lián)表中的值為的值為B．列聯(lián)表中的值為的值為C．若算得，依據(jù)的獨立性檢驗，認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”D．若算得，依據(jù)的獨立性檢驗，認(rèn)為“成績與班級沒有關(guān)系”【答案】BC【分析】由成績優(yōu)秀的概率求出成績優(yōu)秀的人數(shù)和非優(yōu)秀人數(shù)，即可得出的值，根據(jù)與附表中的數(shù)據(jù)對比，即可得解.【詳解】因為在人中隨機抽取人，成績優(yōu)秀的概率為，所以成績優(yōu)秀的人數(shù)為，非優(yōu)秀人數(shù)為，所以，，A錯，B正確；因為，所以依據(jù)的獨立性檢驗，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”.C正確，D錯誤.故選：BC11．已知袋子中有質(zhì)地大小均相同的個紅球和個藍球，現(xiàn)從袋子中隨機摸球，則下列說法正確的是（

）A．每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的概率為B．每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為C．每次摸出個球，摸出的球觀察顏色后放回，連續(xù)摸次后，摸到紅球的次數(shù)的方差為D．從中不放回摸個球，摸到紅球的個數(shù)的概率是【答案】AD【分析】利用全概率公式可判斷A選項；利用條件概率公式可判斷B選項；利用二項分布的方差公式可判斷C選項；利用超幾何分布的概率公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，記事件第一次摸到紅球，事件第一次摸到藍球，事件第二次摸到紅球，則，，，所以，，A對；對于B選項，每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，記事件第一次摸到紅球，事件第二次摸到紅球，則，，由條件概率公式可得，B錯；對于C選項，每次摸出個球，摸出的球觀察顏色后放回，連續(xù)摸次后，摸到紅球的次數(shù)為，則，由二項分布的方差公式可得，C錯；對于D選項，從中不放回摸個球，摸到紅球的個數(shù)的概率是，D對.故選：AD.12．中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，其中“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁．而同楊輝三角齊名的世界著名的“萊布尼茨三角形”如下圖所示（其中是行數(shù)，是列數(shù)，）下面關(guān)于萊布尼茨三角形的性質(zhì)描述正確的是（

）

A．每一行的對稱性與增減性與楊輝三角一致B．C．第10行從左邊數(shù)第三個數(shù)為D．【答案】BC【分析】對于A，分析“萊布尼茨三角形”與“楊輝三角”每一行數(shù)的特性即可判斷；對于C，利用“萊布尼茨三角形”數(shù)的特性計算判斷；對于B，D，進行組合計算判斷作答.【詳解】對于A：“楊輝三角”每行數(shù)左右對稱，由開始逐漸變大，而“萊布尼茨三角形”每行數(shù)左右對稱，從第行開始，由行數(shù)的倒數(shù)開始逐漸變小，故A不正確；對于B：因為，所以，則，故B正確；對于C：“萊布尼茨三角形”的一個數(shù)是它腳下兩數(shù)的和，則第9行的第二個數(shù)為，第行的第二個數(shù)為，于是得第行的第三個數(shù)為，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：BC三、填空題13．，若，則．【答案】-4【分析】由空間向量共線定理求解.【詳解】解：因為，且，所以，解得，故答案為：-414．某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為．【答案】1200【分析】根據(jù)總體密度函數(shù)可知，結(jié)合對稱性求解即可.【詳解】因為總體密度函數(shù)為：，則，由得,所以超過100分人數(shù)大約為：人，故答案為：1200.15．已知，則．【答案】【分析】設(shè)，利用賦值法可得出的值.【詳解】令，則，，因此，.故答案為：.16．為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部、進行體育比賽，由部、部爭奪最后的冠軍．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若部、部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天部、部各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨立．則比賽進行局且部獲得最終冠軍的概率為．【答案】【分析】依題意部、部前兩天的比分為和或者和再加附加賽時部獲勝，按照互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算可得.【詳解】當(dāng)前兩天部、部的比分為和時，先從兩天中選出一天，比賽比分為，三場比賽前兩場，部一勝一負(fù)，第三場比賽獲勝，另外一天比賽比分為，故概率為，當(dāng)前兩天部、部的比分為和，附加賽部獲勝時，兩天中選出一天，比賽比分為，故概率為，故比賽進行局且部獲得最終冠軍的概率為.故答案為：四、解答題17．某市為爭創(chuàng)“文明城市”，現(xiàn)對城市的主要路口進行“文明騎車”的道路監(jiān)管，為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同地區(qū)隨機抽取了名市民對該項目進行評分，繪制如下頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)用頻率作為概率的估計值，現(xiàn)從該城市市民中隨機抽取人進一步了解請況，用表示抽到的評分在分以上的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列答案見解析，【分析】（1）在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為，即可求得實數(shù)的值；（2）分析可知，利用二項分布可得出隨機變量的分布列，利用二項分布的期望公式可求得的值.【詳解】（1）解：在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為，則，解得.（2）解：因為評分在分以上的學(xué)生所占的頻率為，由題意可知，，所以，，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，.18．如圖，在三棱柱中，平面，分別為，，，的中點，，.

(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理判定即可；（2）根據(jù)兩兩垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，再用向量法求點到直線的距離.【詳解】（1）在三棱柱中，因為平面，所以四邊形為矩形．又因為分別為，的中點，，所以.

又因為，所以.由于，所以平面.（2）由（1）知，，．又平面，所以平面．因為平面，所以．如圖建立空間直角坐稱系．由題意得，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，所以，從而，令，則，，所以平面的法向量.所以點到平面的距離．

19．從2015-2022年某地區(qū)區(qū)域發(fā)展總指數(shù)與年份的關(guān)系如下圖所示．

若年份（2015年記為年記為，以此類推）與發(fā)展總指數(shù)存在線性關(guān)系．(1)求年份與發(fā)展總指數(shù)的經(jīng)驗回歸方程；(2)根據(jù)（1）中的經(jīng)驗回歸方程計算的各年發(fā)展總指數(shù)值（預(yù)測值）與實際發(fā)展總指數(shù)值（觀測值）差的絕對值，并記為，稱為和諧度．若，則稱該年為和諧發(fā)展年．經(jīng)計算得2019、2020、2021這三年的和諧度分別為0.575、1.675、1.475．①請計算2022年的和諧度；②若從2019~2022這四年中任選兩年，記事件：兩年中至少有一年為和諧發(fā)展年，求事件發(fā)生的概率．參考公式：回歸方程，其中，，，，.【答案】(1)(2)①0.675；②【分析】（1）根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，求得，再根據(jù)，求得即可；（2）①由回歸方程，將代入求得，再利用和諧度的定義求解；②利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）解：因為，，所以，又因為，所以，所以年份與發(fā)展總指數(shù)的經(jīng)驗回歸方程是；（2）①由回歸方程是，將代入得，所以2022年的和諧度；②從2019~2022這四年中任選兩年有種選法，兩年中至少有一年為和諧發(fā)展年的有種選法，所以事件發(fā)生的概率.20．如圖，在四棱雉中，平面，，，，．為的中點，點在上，且，點在上，且．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出、、共面，再由平面，即可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為點在上，且，即，即，所以，，因為，，，則，因為，，所以，，所以，、、共面，又因為平面，所以，平面.（2）解：因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、，因為點在上，且，則，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，.因此，平面與平面的夾角的余弦值為.21．函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，分別討論和兩種情況的正負(fù)，即可求得的單調(diào)區(qū)間.（2）所求轉(zhuǎn)化為求在恒成立問題，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，并求得的最大值，可得關(guān)于m的不等式，即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以在為增函數(shù)，當(dāng)時，令，解得；當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，綜上：當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因為在恒成立，所以在恒成立，設(shè)，則.設(shè)所以在單調(diào)遞增，又，因此存在唯一，使得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在遞增，在遞減，在遞增因此，由得，則.所以，因為，則，所以，因為，所以當(dāng)時，，所以，解得所以的取值范圍是【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求極（最）值的方法，并靈活應(yīng)用，在得到解析式，并且不能直接判斷其正負(fù)時，可令，再次求導(dǎo)，根據(jù)的單調(diào)性，求得的值域，進而