第2課時圓錐曲線中的定點(或定值)問題高考解答題專項五考情分析縱觀歷年高考真題,定點、定值問題是一類綜合性強、能力要求高的問題,也是近幾年高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內容.這類問題以直線和圓錐曲線的位置關系為載體,以參數處理為核心,需要綜合運用函數與方程、不等式、平面向量等諸多知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解.對考生的代數恒等變形能力、計算能力等有較高的要求.增素能精準突破突破點一

圓錐曲線中的定點問題(一題多解)例1.已知拋物線y2=4x,過定點(-4,0)作直線交拋物線于A,B兩點,過B作x軸的垂線,交拋物線于C點,求證:直線AC過定點.設A(x1,y1),B(x2,y2),則C(x2,-y2),因為直線AB與拋物線相交于點A,B,由上述結論得y1y2=-4×(-4)=16,又直線AC與拋物線相交于點A,C,所以y1(-y2)=-4t'=-16,所以t'=4,所以直線AC過定點(4,0).突破步驟證明直線或曲線過定點的解題步驟

第一步引進參數引進的參數一般為點的坐標、直線的斜率、直線的夾角等第二步列關系式根據題設條件表示出對應的動態(tài)直線或曲線方程第三步探求定點若是動直線,將方程轉化為y-y0=k(x-x0)的形式,則k∈R時直線恒過定點(x0,y0)若是動曲線,將動態(tài)的曲線方程轉化為形如f(x,y)+λg(x,y)=0,則λ∈R時曲線恒過的定點是f(x,y)=0與g(x,y)=0的交點(1)求橢圓C的標準方程;(2)過F2的直線交橢圓C于A,B兩點,其中A點關于x軸的對稱點為A'(異于點B),證明:A'B所在直線恒過定點.(2)證明:由(1)知,F2(1,0),直線A'B的斜率不可能為0,因此設直線A'B為x=my+t(m≠0),與橢圓C聯(lián)立,得關于y的一元二次方程(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,設A'(x1,y1),B(x2,y2),則A(x1,-y1),將①式代入,得2m(3t2-12)-(t-1)6mt=0,化簡得t=4,直線A'B為x=my+4,因此直線A'B恒過定點(4,0).點為C,PB與E的另一交點為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點.解法2

設C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,設直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3<n<3.(通過直線方程y=kx+m消元后得2kx1x2-9kx1-mx1+3mx2-3kx2-12m=0,不好用韋達定理消元,可以用曲線消元)突破技巧1.圓錐曲線中定點問題的常見解法(1)要證明直線或曲線過定點,可以根據已知條件直接求直線或曲線的方程,方程一旦求出,即能找到直線或曲線過的定點,也就證明了過定點;(2)對于直線或曲線是否過定點問題,一般先假定過定點,并假設出定點坐標,根據題意選擇參數,建立一個直線系或曲線系方程,而該方程與參數無關,故得到一個關于定點坐標的方程組,以這個方程組的解為坐標的點即所求定點;(3)從特殊位置入手,找出定點,再證明該點符合題意.對點訓練2(2021廣東佛山一模)已知橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F(1,0),且過點A(-2,0).(1)求橢圓C的方程;(2)點P,Q分別在橢圓C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點,求證:直線OM與直線QF的交點在某定曲線上.(1)解:依題意知A(-2,0)為橢圓C的左頂點,故a=2,又F(1,0)為C的右焦點,所以a2-b2=1,于是b2=3,突破點二

圓錐曲線中的定值問題(一題多解)例3.(2021山東濰坊一模)在平面直角坐標系中,A1,A2兩點的坐標分別為(-2,0),(2,0),直線A1M,A2M相交于點M且它們的斜率之積是-,記動點M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過點F(1,0)作直線l交曲線E于P,Q兩點,且點P位于x軸上方,記直線A1Q,A2P的斜率分別為k1,k2.②設點Q關于x軸的對稱點為Q1,求△PFQ1面積的最大值.若直線l斜率存在,設直線l為y=k(x-1)=kx-k(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0),即直線PQ1恒過點D(4,0),突破技巧1.求或證明某個量為定值的常見方法(1)從特殊入手,先根據特殊位置和數值求出定值,再證明這個值與變量無關;(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.對點訓練3(2021江蘇鹽城一模)設F為橢圓C:

+y2=1的右焦點,過點(2,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點.(1)若點B為橢圓C的上頂點,求直線AF的方程;(1)解:若B為橢圓的上頂點,則B(0,1).又AB過點(2,0),故直線AB:x+2y-2=0,又F(1,0),故直線AF:y=x-1,即x-y-1=0.(2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),解法1

設直線AB:x=ty+2,代入橢圓方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,解法2

設直線AB:x=ty+2,代入橢圓方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,解法3

設直線AB:x=ty+2,代入橢圓方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,(1)求橢圓C的方程;(2)設直線l:y=kx+t(t≠0)與橢圓C相交于A,B兩點,若以OA,OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點P在橢圓C上,求證:平行四邊形OAPB的面積為定值.突破技巧定值問題的求法很多定值問題就是求某個變量的值,通常由條件列出的獨立方程個數少于變量的個數,但由于其形式的特殊性,通過消元恰好能求出某個(或多個)變量的值.常見的能出現定值的幾種形式:(1)消去:t=5