基本不等式經(jīng)典例題精講新課標人教A版高中數(shù)學必修五典題精講（3.4基本不等式）典題精講例1(1)已知x<1/3，求函數(shù)y=x+1/x的最大值；(2)求函數(shù)y=x(1-3x)/3的最大值和值域。思路分析：(1)由極值定理，可知需構造某個和為定值，可考慮把括號內外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；(2)中，未指出x的取值范圍，因而不能直接使用基本不等式，需分x>1/3與x<1/3討論。解法一：(1)由基本不等式，得y=x+1/x≥2，當且僅當x=1/√2時，等號成立。(2)由基本不等式，得y=x(1-3x)/3≤1/3√3，當且僅當3x=1-3x，即x=1/6時，等號成立。綜上，可知函數(shù)y=x+1/x的最大值為2，函數(shù)y=x(1-3x)/3的最大值為1/3√3，值域為(-∞,1/3√3]∪[1/3,+∞)。解法二：(1)由基本不等式，得y=x+1/x≥2，當且僅當x=1/√2時，等號成立。(2)由基本不等式，得y=x(1-3x)/3≤1/3√3，當且僅當x=-1/√3時，等號成立。綜上，可知函數(shù)y=x+1/x的最大值為2，函數(shù)y=x(1-3x)/3的最大值為1/3√3，值域為(-∞,1/3√3]∪[1/3,+∞)。(1)解法一：由基本不等式，得y=x+1/x≥2，當且僅當x=1/√2時，等號成立。(2)解：當x>1/3時，由基本不等式，得y=x(1-3x)/3≥2/3√3，當且僅當3x=1-3x，即x=1/6時，等號成立；當x<1/3時，由基本不等式，得y=x(1-3x)/3≤1/3√3，當且僅當3x=1-3x，即x=-1/√3時，等號成立。綜上，可知函數(shù)y=x+1/x的最大值為2，函數(shù)y=x(1-3x)/3的最大值為1/3√3，值域為(-∞,1/3√3]∪[1/3,+∞)。變式訓練1當x>-1時，求f(x)=x+1/(x+1)的最小值。解：由x>-1，得x+1>0。令t=x+1，則t≥0，且x=t-1?！鄁(x)=x+1/(x+1)=t-1+1/t=(t^2-t+1)/t=[(t-1/2)^2+3/4]/t≥3/2，當且僅當t=1/2，即x=1/2-1時，等號成立?！鄁(x)的最小值為3/2。變式訓練2求函數(shù)y=x^2/(x^2+1)的最小值。思路分析：從函數(shù)解析式的結構來看，它與基本不等式結構相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展開。解：令t=x^2+1，則t≥1且x^2=t-1?！鄖=x^2/(x^2+1)=(t-1)/t=1-1/t≥1/2，當且僅當t=2，即x=±√(t-1)時，等號成立?！鄖的最小值為1/2。1x4+3x2+3(t-1)2+3(t-1)+3t2+t+1=t+1.∴y=(t+1)/(tx2+1)由于t≥1，所以t+≥2t/t+1≥2/(t+1)=2/(t+1)，當且僅當t=1時，等號成立.因此，當x=0時，函數(shù)取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且19/x+y=1，求x+y的最小值.解法一：利用“1的代換”，由19/x+y=1，得y/(9x+y)=10/(x+y).因為y/(9x+y)≥2/(x+y)，所以x+y≥16/(y-9)，當且僅當y=12時，取得等號.此時x=4，所以最小值為16.解法二：由19/x+y=1，得x=y(9-x)/y，即x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2√[(x-1)(y-9)]=16，當且僅當x-1=y-9時取得等號.又因為19/x+y=1，所以x=4，y=12，最小值為16.解法三：由19/x+y=1，得y+9x=xy，所以(x-1)(y-9)=9，即x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2(x-1)(y-9)=16，當且僅當x-1=y-9時取得等號.又因為19/x+y=1，所以x=4，y=12，最小值為16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學會觀察，學會變形。另外解法二，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影響.黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯誤：由19/x+y≥2，即x+y≥12，因為等號成立的條件是x=y，所以這個結果是不正確的。3-2x8/3-2x8/3-2x8/1≥4，當且僅當x=-時取等號。化簡得y≤-4+35/55/22，故函數(shù)有最大值為-4+35/55/22。例4：如圖3-4-1，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。（1）現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最?。克悸贩治觯涸O每間虎籠長為xm，寬為ym，則（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而（2）則是在xy=24的前提下來求4x+6y的最小值。解：（1）設每間虎籠長為xm，寬為ym，則由條件，知4x+6y=36，即2x+3y=18。設每間虎籠的面積為S，則S=xy。方法一：由于2x+3y≥2√6xy，∴2√6xy≤18，得xy≤27/2，即S≤27/2。當且僅當2x=3y時等號成立。由解得x=4.5，y=3。故每間虎籠長為4.5m，寬為3m時，可使面積最大。方法二：由2x+3y=18，得x=9-3y/2。因為x>0，所以0<y<6。S=xy=(9-3y/2)y=(6-y)y/2。因為0<y<6，所以6-y>0?！郤≤3(6-y)+y/2=27/2-5/2y。當且僅當6-y=y，即y=3時，等號成立，此時x=4.5。故每間虎籠長4.5m，寬3m時，可使面積最大。（2）由條件知S=xy=24。設鋼筋網(wǎng)總長為l，則l=4x+6y。方法一：因為2x+3y≥2√6xy=2√6×24，∴2x+3y≥16√6，即4x+6y≥32√6。當且僅當2x=3y時，等號成立。解得x=6，y=4。故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小。方法二：由xy=24，得x=24/y?！鄉(xiāng)=4x+6y=96/y+6y。因為y>0，所以l≥2√96×6=48√6。當且僅當y=4時，等號成立，此時x=6。故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋總長最小。綠色通道的使用需要注意三個條件：x和y都是正數(shù)，積xy（或x+y）為定值，x和y必須能夠相等。在特殊情況下，需要根據(jù)條件構造滿足這三個條件的結論。某工廠要建造一個面積為200平方米的三級污水處理池，平面圖為矩形，長和寬都不能超過16米。池外周壁建造單價為每米400元，中間兩道隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元。設計污水處理池的長和寬，使總造價最低。根據(jù)均值不等式求最值時，需要考慮等號成立的條件。如果等號不能成立，通常需要用函數(shù)的單調性進行求解。在本題中，設污水處理池的長為x米，則寬為200/x米?？梢缘玫娇傇靸rQ(x)的表達式為Q(x)=400(2x+400/x)+248(2(200/x)+2x)+80×200。通過計算可以得出，當污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低造價為45,000元。某人想要買房，但隨著樓層的升高，上下樓的不滿意度會增加。假設住在第n層樓，上下樓造成的不滿意度為n。但是，高樓層的環(huán)境會更加清新、安靜，嘈雜音也會更小，因此環(huán)境不滿意度會降低。設住在第n層樓時，環(huán)境不滿意程度為8-n。那么，這個人應該選擇住在哪一層樓才能達到最佳滿意度呢？本問題實際上是求在哪一層樓停留不會感到不滿意，因此需要列出一個關于樓層的函數(shù)式，并使用基本不等式求解。設此人應選第n層樓，此時的不滿意程度為y。根據(jù)題意可知y=n+8/n。由于n+8/n≥2n，當且僅當n=8時取等號。但考慮到n∈N*，因此n≈2×1.414=2.828≈3，即此人應選3樓，此時不滿意度最低。例5中需要解關于x的不等式a(x-1)/(x-2)>1(a≠1)。將原不等式化為＞的形式，當a＞1時，原不等式與(x-1)(x-2)＞0同解。由于a-1/a-2=1-(1/a-1)<1<2，因此解集為(-∞,(a-2)/(a-1))∪((a-1)