近世代數(shù)第三章環(huán)與域§1環(huán)的定義與性質(zhì)

8/8/2023近世代數(shù)第三章環(huán)與域8/1/2023一、環(huán)的定義定義1設(shè)是一個(gè)非空集合.上定義了兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算“+”與“.”關(guān)于加法構(gòu)成一個(gè)交換群（加群）；(3)乘法對(duì)加法兩個(gè)分配律成立：則稱為環(huán),或簡(jiǎn)稱為環(huán).(分別稱為加法與乘法),并且滿足如果在(1)(2)乘法結(jié)合律成立：

8/8/2023一、環(huán)的定義定義1設(shè)是一個(gè)非空集合.上定義了兩個(gè)代數(shù)運(yùn)說(shuō)明：

是一個(gè)交換群.其加法單位元常用0表示,稱為環(huán)的零元.

設(shè)的加法逆元稱為的負(fù)元.的零元與的每個(gè)元素的負(fù)元都是,記作唯一的.

8/8/2023說(shuō)明：是一個(gè)交換群.其加法單位元常用0表示,稱為環(huán)的零元.定義2如果環(huán)的乘法還滿足交換律,為交換環(huán).中存在元素,使得則稱為有單位元的環(huán),并稱為的定義3

如果環(huán)單位元.則稱

8/8/2023定義2如果環(huán)的乘法還滿足交換律,為交換環(huán).中存在元素,使例1整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán).這個(gè)環(huán)的零元是數(shù)0,單位元是數(shù)1.這個(gè)環(huán)稱為整數(shù)環(huán).同樣,有理數(shù)集,實(shí)數(shù)集,復(fù)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán)

8/8/2023例1整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán).這個(gè)環(huán)的定理1設(shè)是一個(gè)環(huán),如果有單位元,則單位元是唯一的.的單位元常記作.

8/8/2023定理1設(shè)是一個(gè)環(huán),如果有單位元,則單位元是唯一的.的單位元常二、環(huán)的性質(zhì)性質(zhì)1.規(guī)定減法:，則有移項(xiàng)法則:

8/8/2023二、環(huán)的性質(zhì)性質(zhì)1.規(guī)定減法:，則有移項(xiàng)法則:8/1/性質(zhì)2.規(guī)定倍數(shù):設(shè),規(guī)定則有倍數(shù)法則:對(duì)任意

8/8/2023性質(zhì)2.規(guī)定倍數(shù):設(shè),規(guī)定則有倍數(shù)法則:對(duì)任意性質(zhì)3.設(shè)為環(huán),則對(duì),有

8/8/2023性質(zhì)3.設(shè)為環(huán),則對(duì),有8/1/2023性質(zhì)4.規(guī)定方冪:設(shè),規(guī)定,則有下列指數(shù)法則:注意:如果環(huán)不是交換環(huán),則等式一般不成立.

8/8/2023性質(zhì)4.規(guī)定方冪:設(shè),規(guī)定,則有下列指數(shù)法則:注意性質(zhì)5.廣義分配律:設(shè),則

8/8/2023性質(zhì)5.廣義分配律:設(shè),則8/1/2023三、子環(huán)定義4若環(huán)的非空子集關(guān)于環(huán)的加法與乘法也做成環(huán)，稱為的子環(huán)定理2

，記作例2

8/8/2023三、子環(huán)定義4若環(huán)的非空子集關(guān)于環(huán)的加法與乘法也做成環(huán)，例3數(shù)域上的全體階方陣的集合關(guān)于矩陣的加法與乘法上的它的零元為零矩陣,單位元為單位矩陣.構(gòu)成環(huán).這個(gè)環(huán)稱為數(shù)域階全陣環(huán).當(dāng)時(shí),這是一個(gè)非交換環(huán),

8/8/2023例3數(shù)域上的全體階方陣的集合關(guān)于矩陣的加法與乘法上的它的零例4證明數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán).為非平方整數(shù),則關(guān)于數(shù)的加法與乘法都構(gòu)成有單位元的交換環(huán).這個(gè)環(huán)稱為高斯整環(huán).類似地可證,如果

8/8/2023例4證明數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán).為非四、特殊類型的環(huán)1.無(wú)零因子環(huán)為環(huán),為的非零元素.，使，則稱的一個(gè)左零因子；，使，則稱的一個(gè)右零因子.定義5設(shè)如果存在非零元為如果存在非零元為左零因子與右零因子統(tǒng)稱為零因子.不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正則元.

8/8/2023四、特殊類型的環(huán)1.無(wú)零因子環(huán)為環(huán),為的非零元素.，使，則例5設(shè)都是的非零元,而,所以分別為的左右零因子.

8/8/2023例5設(shè)都是的非零元,而,所以分別為的左右零因子.8/1/2定義6一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)稱為無(wú)零因子環(huán).定理3無(wú)零因子環(huán)中,關(guān)于乘法,如果或,則兩個(gè)消去律成立.即設(shè)

8/8/2023定義6一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)稱為無(wú)零因子環(huán).定理32.整環(huán)定義7一個(gè)交換的,有單位元且的無(wú)零因子環(huán)稱為整環(huán).例6整數(shù)環(huán),高斯整環(huán)而偶數(shù)環(huán)為都是整環(huán),無(wú)零因子環(huán).

8/8/20232.整環(huán)定義7一個(gè)交換的,有單位元且的無(wú)零因子環(huán)稱為整3.除環(huán)和域定義8設(shè)為有單位元的環(huán),,如果存在,使得,則稱為的可逆元,并稱為的逆元.可逆,則的逆元唯一,且的逆元也可逆.可逆元的唯一的,且若逆元記作

8/8/20233.除環(huán)和域定義8設(shè)為有單位元的環(huán),,如果存在,使得,例7的可逆元僅有1,-1;由于沒(méi)有單位元,所以它沒(méi)有可逆元.可逆當(dāng)且僅當(dāng)例9試求高斯整環(huán)

例8解的可逆元.

8/8/2023例7的可逆元僅有1,-1;由于沒(méi)有單位元,所以它沒(méi)有可逆定義9設(shè)是有單位元的環(huán),且.如果中每個(gè)非零元都可逆,則稱為除環(huán).交換的除環(huán)稱為域.例10都是域.

8/8/2023定義9設(shè)是有單位元的環(huán),且.如果中每個(gè)非零元都可逆,則稱為除例11為域.是有單位元的交換環(huán).的每個(gè)非零元都可逆.證明證明可證下證,

8/8/2023例11為域.是有單位元的交換環(huán).的每個(gè)非零元都可逆.證明域的除法設(shè)為域,則對(duì)任意的,有，記作由此可定義域的"除法":設(shè),規(guī)定,稱為以除的商.

8/8/2023域的除法設(shè)為域,則對(duì)任