二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分第二章二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當x

在取得增量時,變到邊長由其一、微分的概念引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,的微分,定義:若函數(shù)在點的增量可表示為(A定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點可導,且在點可微的充要條件是在點處可導,且即定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點可微,則定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導,且即“充分性”已知即在點可導,則定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當故當說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當故微分的幾何意義當很小時,則有從而導數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分,記作記微分的幾何意義當很小時,則有從而導數(shù)也叫作微商切例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,二、微分運算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)二、微分運算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,例1.求解:例1.求解:例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意:例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.注數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如三、微分在近似計算中的應(yīng)用當很小時,使用原則:得近似等式:三、微分在近似計算中的應(yīng)用當很小時,使用原則:得近似等式:特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得的近似值.解:

設(shè)取則例4.求的近似值.解:設(shè)取則例4.求的近似值.解:例5.計算的近似值.解:例5.計算例6.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可微可導2.微分運算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計算估計誤差內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可微可導2.思考與練習1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標出的點處的及并說明其正負.思考與練習1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標出的點處的及并2.2.5.

設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當時由上式得求5.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當時由上式得求作業(yè)P1231;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);