第1章行列式

行列式是線性代數(shù)的一個重要組成部分.它是研究矩陣、線性方程組、特征多項式的重要工具.本章介紹了n階行列式的定義、性質(zhì)及計算方法，最后給出了它的一個簡單應(yīng)用——克萊姆法則.第1章行列式行列式是線性代數(shù)的一個重要組1第1章行列式n階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開克萊姆法則—行列式的一個簡單應(yīng)用數(shù)學(xué)實驗2第1章行列式n階行列式的定義2第1.1節(jié)n階行列式的定義

本節(jié)從二、三階行列式出發(fā)，給出n階行列式的概念.基本內(nèi)容：二階與三階行列式排列及其逆序數(shù)n階行列式定義轉(zhuǎn)置行列式返回3第1.1節(jié)n階行列式的定義本節(jié)從二、三階行列式即

稱其為二階行列式.記號：它表示數(shù)：左上角到右下角表示主對角線，4即稱其為二階行列式.記號：它表示數(shù)：左上角到右下角表示主例１

例２

設(shè)(1)當(dāng)為何值時，(2)當(dāng)為何值時解

或右上角到左下角表示次對角線，例１例２設(shè)(1)當(dāng)為何值時，(2)當(dāng)為何值時5例3

求二階行列式

例3求二階行列式6(2)三階行列式記號

即

稱為三階行列式.

它表示數(shù)7(2)三階行列式記號即稱為三階行列式.它表示數(shù)7

可以用對角線法則來記憶如下.8可以用對角線法則來記憶如下.8主對角線法9主對角線法9例4

計算三階行列式解:由主對角線法，有10例4計算三階行列式解:由主對角線法，有10例5例511例6滿足什么條件時有解由題可得，即使即時，給定的行列式為零．例6滿足什么條件時有解由題可得，即使即時，給定的行列式為零．12例7的充分必要條件是什么？解或或例7的充分必要條件是什么？解或或13練習(xí)：計算下列行列式解練習(xí)：計算下列行列式解141.排列及其逆序數(shù)(1)排列由自然數(shù)1,2,…,n,組成的一個有序數(shù)組i1i2…in稱為一個n級排列.如：由1,2,3可組成的三級排列有3！=6個：123132213231312321（總數(shù)為n!個）注意:上述排列中只有第一個為自然順序(小大),其他則或多或少地破壞了自然順序(元素大小與位置相反)——構(gòu)成逆序.§1.2n階行列式151.排列及其逆序數(shù)(1)排列由自然數(shù)1,2,…,n,組成的(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個n

級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(t>s),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N(i1i2…in).=3=2例1

N(2413)N(312)16(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個n級排列i1i2…in中(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個n

級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(t>s),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)，稱它為奇（偶）排列.=3=2例1

N(2413)N(312)17(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個n級排列i1i2…in中逆序數(shù)的計算方法

即例2

N(n(n-1)…321)

N(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)逆序數(shù)的計算方法即例2N(n(n-1)…32118證明：對換：

對換在一個排列i1…is…it…in中，若其中某兩數(shù)is和it互換位置,其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1…it…is…in,這種變換稱為一個對換,記為(isit).例3定理1.1：任一排列經(jīng)過一個對換后奇偶性改變。19證明：對換：對換在一個排對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生，即設(shè)排列…jk…(1)經(jīng)j,k對換變成…kj…(2)

此時，排列(1)、(2)中j,k與其他數(shù)是否構(gòu)成逆序的情形未發(fā)生變化；而j與k兩數(shù)構(gòu)成逆序的情形有變化：若(1)中jk構(gòu)成逆序,則(2)中不構(gòu)成逆序(逆序數(shù)減少1)

若(1)中jk不構(gòu)成逆序,則(2)中構(gòu)成逆序(逆序數(shù)增加1)一般情形設(shè)排列…ji1…isk…(3)經(jīng)j,k對換變成…ki1…isj…(4)

易知，(4)可由(3)經(jīng)一系列相鄰對換得到：

k經(jīng)s+1次相鄰對換成為…kji1…is

…j經(jīng)s次相鄰對換成為…ki1…isj…即經(jīng)2s+1次相鄰對換后(3)成為(4).相鄰對換改變排列的奇偶性，奇數(shù)次這樣的對換后排列的奇偶性改變.||20對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生，即20定理1.2．

定理1.2．21思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)詳解）方法1

在排列x1x2…xn中，任取兩數(shù)xs和xt(s<t),則它們必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中構(gòu)成逆序，且只能在其中的一個排列中構(gòu)成逆序.又在排列x1x2…xn中取兩數(shù)的方法共有

依題意，有故排列x1x2…xn與xnxn-1…x1中逆序之和為此即22思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)詳解）方法1在排列x1x方法2n個數(shù)中比i大的數(shù)有n-i個(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中對i構(gòu)成的逆序為li個,則在xnxn-1…x1中對i構(gòu)成的逆序為(n-i)-li,于是兩排列中對i構(gòu)成的逆序之和為li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即23方法2n個數(shù)中比i大的數(shù)有n-i個(i（二）n階行列式定義分析：(i)每一項均是由取自不同行、不同列的三個元素的乘積構(gòu)成，除符號外可寫為(ii)符號為“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)項數(shù)為3！=624（二）n階行列式定義分析：(i)每一項均是由取自不同行、不同推廣之，有如下n階行列式定義推廣之，有如下n階行列式定義25定義：

是所有取自不同行、不同列n個元素的乘積并冠以符號的項的和.(i)是取自不同行、不同列的n個元素的乘積；(ii)行標(biāo)按自然順序排列，列標(biāo)排列的奇偶性決定每一項的符號；(iii)表示對所有的構(gòu)成的n！個排列求和.26定義：是所有取自不同行、不同列n個元素的乘積并冠以符號例1

證明下三角行列式證：由定義和式中,只有當(dāng)所以下三角行列式的值等于其主對角線上各元素的乘積.27例1證明下三角行列式證：由定義和式中,只有當(dāng)所以下三角線性代數(shù)-行列式課件28例2計算解由行列式定義,和式中僅當(dāng)29例2計算解由行列式定義,和式中僅當(dāng)29注：注：30例3用行列式的定義來計算行列式解設(shè)練習(xí)：例3用行列式的定義來計算行列式解設(shè)練習(xí)：31例4

應(yīng)為何值，符號是什么？此時該項的解此時或(1)若則取負(fù)號．(2)若則取正號．若是五階行列式的一項，則例4應(yīng)為何值，符號是什么？此時該項的解此時或(1)若則取負(fù)32例5用行列式定義計算解：例5用行列式定義計算解：33

由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項中n個元素的順序可以任意交換.一般，可以證明定理1.3:n階行列式D=Det(aij)的項可以寫為其中i1i2…in和j1j2…jn都是n級排列.或另一定義形式另一定義形式推論:n階行列式D=Det(aij)的值為34由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項中n4.轉(zhuǎn)置行列式定義：如果將行列式D的行換為同序數(shù)的列，得到的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT.即若354.轉(zhuǎn)置行列式定義：如果將行列式D的行換為同序數(shù)的列，得35

用定義計算思考練習(xí)（n階行列式定義）答案36用定義計算思考練習(xí)（n階行列式定義）答案36§1.3

行列式的性質(zhì)

對多“0”的或是階數(shù)較低(二、三階)的行列式利用定義計算較為容易,但對一般的、高階的（n4）行列式而言,直接利用定義計算很困難或幾乎是不可能的.因而需要討論行列式的性質(zhì)，用以簡化計算.返回37§1.3行列式的性質(zhì)對多“0”的或是階數(shù)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）證：事實上,若記DT=Det(bij),則解例1

計算行列式38性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）證：事實上性質(zhì)2

互換行列式的兩行(rirj)或列(cicj)，行列式的值變號.推論若行列式D的兩行（列）完全相同,則D=0.性質(zhì)3推論(1)D中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符號的外面，

(2)D的兩行(列)對應(yīng)元素成比例，則D=0.39性質(zhì)2互換行列式的兩行(rirj)或列(cicj)性質(zhì)4若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個數(shù)

的和,則此行列式等于兩個行列式的和.這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同.即證40性質(zhì)4若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個數(shù)

的和性質(zhì)5

行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上,行列式的值不變,即41性質(zhì)5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k加到另8/9/20238/2/202342例2

計算行列式解43例2計算行列式解43解44解44解45解458/9/20238/2/2023468/9/20238/2/202347即8/9/2023即8/2/2023488/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院498/9/20238/2/2023508/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院51例6

計算n階行列式解(2)解(3)解(1)52例6計算n階行列式解(2)解(3)解(1)52解(1)

注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回53解(1)注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回54解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返54解

(3)返回箭形行列式55解(3)返箭形行列式558/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院568/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院578/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院582023/8/9阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2023/8/2阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院598/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院60例9

證明證

61例9證明證61證62證622.證明1.計算行列式思考練習(xí)（行列式的性質(zhì)）632.證明1.計算行列式思考練習(xí)（行列式的性質(zhì)）63思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）

64思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）64=右邊思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）

65=右邊思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）65第1.3

節(jié)

行列式按行（列）展開1.行列式按一行（列）展開余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.返回返回66第1.3節(jié)行列式按行（列）展開1.行列式按一行（列例1

求出行列式解67例1求出行列式解67引例：8/9/2023引例：8/2/2023688/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院69定理1.4行列式按一行（列）展開定理n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即70定理1.4行列式按一行（列）展開定理n階行列式等于它的任意證(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;71證(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即而(ii)當(dāng)D的第i行只有元素aij0時，即

將D中第i行依次與前i-1行對調(diào),調(diào)換i-1次后位于第1行

D中第j列依次與前j-1列對調(diào),調(diào)換j-1次后位于第1列經(jīng)(i-1)+(j-1)=i+j-2次對調(diào)后,aij位于第1行、第1列,即(iii)一般地由(i)72(ii)當(dāng)D的第i行只有元素aij0時，即將D中第i行依由(ii)73由(ii)73定理1.5n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即74定理1.5n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行證考慮輔助行列式0=t列j列75證考慮輔助行列式0=t列j列75例2

計算行列式解法1法2選取“0”多的行或列76例2計算行列式解法1法2選取“0”多768/9/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院8/2/2023阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院77注：8/9/2023注：8/2/202378例4

討論當(dāng)為何值時，解所以當(dāng)論，79例4討論當(dāng)為何值時，解所以當(dāng)論例5求證證明：首先從第1行起，每行減去下一行，然后按第1列展開，之后又從第1行起每行減去下一行，化為下三角行列式即得結(jié)果，即80例5求證證明：首先從第1行起，每行減去下一行，然后按第181818282例6

已知4階行列式解法1法2利用行列式的按列展開定理，簡化計算.83例6已知4階行列式解法1法2利用行列式的按列展開定理，簡8484例7

證明范得蒙行列式（Vandermonde)證

用數(shù)學(xué)歸納法85例7證明范得蒙行列式（Vandermonde)證用數(shù)學(xué)

假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮n階情形.86假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮8787例8

計算行列式解1計算時，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使用.88例8計算行列式解1計算時，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使解2利用范德蒙行列式的結(jié)論89解2利用范德蒙行列式的結(jié)論89例9

計算n階行列式解90例9計算n階行列式解90解91解91思考練習(xí)（按行展開定理）計算行列式92思考練習(xí)（按行展開定理）計算行列式92思考練習(xí)（按行展開定理詳解1）93思考練習(xí)（按行展開定理詳解1）93思考練習(xí)（按行展開定理詳解2）94思考練習(xí)（按行展開定理詳解2）942*.拉普拉斯（Laplace）定理k階子式

在n階行列式中，任意選定k行、k列（1≤k≤n）位于這些行列交叉處的k2個元素按原來順序構(gòu)成的一個k階行列式N，稱為行列式D的一個k階子式.k階子式N的余子式及代數(shù)余子式在D中劃去k行、k列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個n-k階行列式M，稱為k階子式N的余子式;而為其代數(shù)余子式.這里i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk分別為k階子式N的行標(biāo)和列標(biāo).952*.拉普拉斯（Laplace）定理k階子式在n階行列式在n階行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1kn),由這k行元素組成的k階子式N1,N2,…,Vt與它們的代數(shù)余子式

的乘積之和等于D，即96在n階行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1例7

計算行列式解97例7計算行列式解97一般地98一般地98第1.5節(jié)

克萊姆法則下面以行列式為工具,研究含有n個方程,n個未知量的n元線性方程組的問題.先以二元線性方程組為例8/9/2023第1.5節(jié)克萊姆法則下面以行列式為工具,研究含有n個99當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時，方程組有唯一解：二元線性方程組稱為方程組的系數(shù)行列式。8/9/2023當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時，方程組有唯一解：二元線性方程組稱為方程100定理1.7（克萊姆法則）如果n元線性方程組則方程組有唯一解的系數(shù)行列式返回返回101定理1.7（克萊姆法則）如果n元線性方程組則方程組有唯一其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素?fù)Q成方程組的常數(shù)項b1,b2,…,bn所構(gòu)成的n級行列式,即定理的結(jié)論有兩層含義：①方程組（1）有解；②解惟一且可由式(2)給出.102其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素證首先證明方程組(1)有解.事實上,將

代入第i個方程的左端，再將Dj按第j列展開得