第二十七講圓的有關計算第二十七講一、正多邊形和圓1.正多邊形的定義：各邊_____，各角也_____的多邊形是正多邊形.2.正多邊形和圓的關系：把一個圓______，依次連結_______可作出圓的內(nèi)接正n邊形.相等相等n等分各分點一、正多邊形和圓相等相等n等分各分點二、弧長公式在半徑為r的圓中，n°的圓心角所對的弧長為l=

.三、扇形的面積公式在半徑為r的圓中，①圓心角是n°的扇形面積S=

，②弧長為l的扇形面積S=

.二、弧長公式四、圓錐的側面積和全面積1.圓錐的有關概念：(1)母線：圓錐_________上任意一點與圓錐_____的連線叫做圓錐的母線.(2)高：連結_____與底面_____的線段叫做圓錐的高.2.面積公式：如圖：母線長為l，底面半徑為r的圓錐：S側=_____，S全=_________.底面圓周頂點頂點圓心πrlπrl+πr2四、圓錐的側面積和全面積底面圓周頂點頂點圓心πrlπrl+π【思維診斷】(打“√”或“×”)1.將一個圓分成4份，依次連接各分點所得的四邊形為正方形.()2.正五邊形的中心角等于72°.

()3.正六邊形外接圓的半徑等于其邊長.

()4.扇形的面積公式是S=.

()5.半徑為3cm，圓心角為60°的弧長為cm.

()6.圓錐的底面周長等于展開圖中扇形的弧長.

()√√××√×【思維診斷】(打“√”或“×”)√√××√×熱點考向一正多邊形和圓的有關計算

【例1】如圖，要擰開一個邊長為a=6mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為(

)A.6mm

B.12mm

C.6mm

D.4mm熱點考向一正多邊形和圓的有關計算

【思路點撥】作輔助線→一個內(nèi)角的度數(shù)→利用解直角三角形的知識求b的值.【思路點撥】作輔助線→一個內(nèi)角的度數(shù)→利用解直角三角形的知識【自主解答】選C.連接AC，過B作BD⊥AC于點D.∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD.∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=6×=3(mm)，∴b=2AD=6mm.【自主解答】選C.【規(guī)律方法】正多邊形的有關計算的常用公式(1)有關角的計算：①正n邊形的內(nèi)角和=(n-2)180°，外角和=360°.②正n邊形的每個內(nèi)角=，每個外角=.③正n邊形的中心角=.【規(guī)律方法】正多邊形的有關計算的常用公式(2)有關邊的計算：①r2+=R2(r表示邊心距，R表示半徑，a表示邊長).②l=na(l表示周長，n表示邊數(shù)，a表示邊長).③S正n邊形=lr(l表示周長，r表示邊心距).(2)有關邊的計算：【針對演練】1.正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長是(

)A. B.2 C.3 D.2【解析】選B.正六邊形的邊心距為，每條邊所對的中心角為60°，設正六邊形的邊長為x，則cos30°=，解得x=2.【針對演練】2.已知☉O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為(

)A.3B.3 C. D.2.已知☉O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為()【解析】選C.如圖，由☉O的面積為2π，可得圓的半徑OC=，所以弦心距OE=，EC=，所以內(nèi)接△ABC的面積=【解析】選C.如圖，由☉O的面積為2π，可得圓的半徑OC=【知識歸納】與正n邊形有關的常用計算公式設邊長為a，半徑為R，中心角αn=；邊長an=2Rsin；邊心距rn=Rcos；外接圓半徑R=；周長pn=nan；面積Sn=an·rn·n=pn·rn.【知識歸納】與正n邊形有關的常用計算公式3.正八邊形的一個內(nèi)角是

.【解析】根據(jù)內(nèi)角和公式(n-2)·180°=(8-2)·180°=1080°，1080°÷8=135°.答案：135°3.正八邊形的一個內(nèi)角是.【一題多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°.答案：135°【一題多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°熱點考向二弧長公式的應用

【例2】如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進行兩次旋轉，則點B在兩次旋轉過程中經(jīng)過的路徑的長是(

)A.π B.13π C.25π D.25熱點考向二弧長公式的應用

【思路點撥】確定點B旋轉經(jīng)過的路徑為圓弧，根據(jù)勾股定理和弧長公式計算即可.【思路點撥】確定點B旋轉經(jīng)過的路徑為圓弧，根據(jù)勾股定理和弧長【自主解答】選A.連接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴

∵

∴點B在兩次旋轉過程中經(jīng)過的路徑的長是

【自主解答】選A.連接BD，B′D，【規(guī)律方法】弧長公式的應用對于弧長公式l=，可變形為：n=或R=，在三個量l，n，R中，若已知其中兩個量，就可以求出第三個量.注意：在計算過程中，l與R的單位要統(tǒng)一.【規(guī)律方法】弧長公式的應用【針對演練】1.已知扇形的圓心角為45°，半徑長為12，則該扇形的弧長為(

)A. B.2π C.3π D.12π【解析】選C.根據(jù)弧長公式得l==3π.【針對演練】2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，將△ABC繞直角頂點C逆時針旋轉60°得△A′B′C，則點B轉過的路徑長為(

)A. B.C. D.π2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC【解析】選B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，所以AC=1，由勾股定理得，BC=，由旋轉知，∠B′CB=60°，點B轉過的路徑長為.【解析】選B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，【變式訓練】如圖，AB切☉O于點B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧長為

.(結果保留π)【變式訓練】如圖，AB切☉O于點B，OA=2，【解析】連接OB，OC，∵AB為☉O的切線，∴∠ABO=90°.在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°.∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC=60°，則劣弧長為

答案：【解析】連接OB，OC，∵AB為☉O的切線，∴∠ABO=903.(2013·西寧中考)如圖，網(wǎng)格圖中每個小正方形的邊長為1，則弧AB的長l=

.3.(2013·西寧中考)如圖，網(wǎng)格圖中每個小正方形的邊長為【解析】由題干圖可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝

，∴l(xiāng)＝答案：【解析】由題干圖可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝熱點考向三扇形面積公式的應用

【例3】如圖，將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，三角板一邊與量角器的零刻度線所在直線重合，重疊部分的量角器弧AB對應的圓心角(∠AOB)為120°，OC的長為2cm，則三角板和量角器重疊部分的面積為

.熱點考向三扇形面積公式的應用

【思路點撥】重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，求出它們各自的面積再求和.【思路點撥】重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，求出它們【自主解答】由圖知三角板和量角器重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，在Rt△BOC中，因為∠AOB為120°，OC的長為2cm，所以∠COB=60°，OB=2OC=4，BC=2，所以扇形AOB的面積=，Rt△BOC的面積=×2×2=2，所以三角板和量角器重疊部分的面積為cm2.答案：cm2【自主解答】由圖知三角板和量角器重疊部分由扇形AOB和【規(guī)律方法】扇形面積公式的選擇1.當已知半徑R和圓心角的度數(shù)求扇形的面積時，選用公式S扇形=.2.當已知半徑R和弧長求扇形的面積時，應選用公式S扇形=lR.3.扇形面積公式S扇形=lR與三角形面積公式十分類似，為了便于記憶，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看成底，R看成底邊上的高即可.【規(guī)律方法】扇形面積公式的選擇【針對演練】1.在圓心角為120°的扇形AOB中，半徑OA=6cm，則扇形AOB的面積是(

)A.6πcm2

B.8πcm2

C.12πcm2

D.24πcm2【解析】選C.S==12π(cm2).【針對演練】2.如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”.則半徑為2的“等邊扇形”的面積為(

)A.π B.1 C.2 D.π【解析】選C.根據(jù)扇形的面積公式，得S=lr=×2×2=2.2.如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形熱點考向四圓錐的側面積、全面積

【例4】已知直角三角形ABC的一條直角邊AB=12cm，另一條直角邊BC=5cm，則以AB為軸旋轉一周，所得到的圓錐的表面積是(

)A.90πcm2

B.209πcm2

C.155πcm2

D.65πcm2熱點考向四圓錐的側面積、全面積

【思路點撥】利用圓錐側面積+圓錐底面積=圓錐表面積求得；圓錐的側面展開圖是扇形，先根據(jù)勾股定理求圓錐的母線長，再利用圓錐側面積=πrl，其中r是底面圓的半徑，l是母線長；再加上底面積即可.【思路點撥】利用圓錐側面積+圓錐底面積=圓錐表面積求得；圓錐【自主解答】選A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，∴AC=13.側面積S=πrl=5×13π=65π(cm2)，底面積S=πr2=25π(cm2)，圓錐的表面積=65π+25π=90π(cm2).【自主解答】選A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，【規(guī)律方法】圓錐和其側面展開圖(扇形)之間的等量關系(1)h2+r2=l2.(2)的長=☉O周長=.(3)S扇形ABC==πrl.【規(guī)律方法】圓錐和其側面展開圖(扇形)之間的等量關系【備選例題】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片上剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，那么這個圓錐的高為

cm.【備選例題】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片上剪去圓周【解析】圓心角是360°×=240°，則弧長是=12π(cm)，設圓錐的底面半徑是r，則2πr=12π，解得r=6.則圓錐的高是(cm).答案：3【解析】圓心角是360°×=240°，【針對演練】1.如果圓錐的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓錐的側面積是(

)A.10cm2

B.10πcm2

C.20cm2

D.20πcm2【解析】選B.圓錐的側面積S=πrl，r是底面半徑，l是母線長.∴S=π×2×5=10π(cm2).【針對演練】2.如圖，圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，則該圓錐的底面周長為(

)A.π B.π C. D.【解析】選B.扇形的弧長為

，所以圓錐的底面周長為π.2.如圖，圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，3.一個底面直徑是80cm，母線長為90cm的圓錐的側面展開圖的圓心角的度數(shù)為

.【解析】圓錐的側面展開圖是扇形，則扇形的弧長為80πcm，半徑為90cm，由弧長公式得80π=，所以圓心角的度數(shù)n=160°.答案：160°3.一個底面直徑是80cm，母線長為90cm的圓錐的側面展開【知識歸納】有關圓錐計算的三個關鍵點1.圓錐的母線長為圓錐側面展開圖的半徑.2.圓錐底面圓的周長等于圓錐側面展開圖的弧長.3.圓錐的母線長l、底面半徑r、高h之間具有關系：r2+h2=l2.注意：計算時圓錐側面展開圖的半徑是圓錐的母線，注意與底面半徑的區(qū)分.【知識歸納】有關圓錐計算的三個關鍵點【知識歸納】學習圓錐的側面積與全面積需注意的兩個問題1.弄清圓錐的底面半徑、高、母線之間的關系：圓錐的軸截面是等腰三角形.2.與圓錐側面積有關的幾何體的表面積的計算：一是分析清楚幾何體表面的構成，二是弄清圓錐與其側面展開扇形各元素之間的對應關系.【知識歸納】學習圓錐的側面積與全面積需注意的兩個問題熱點考向五與圓有關的陰影面積的計算

【例5】如圖，CD為☉O的直徑，CD⊥AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為點E，AO=1.(1)求∠C的大小.(2)求陰影部分的面積.熱點考向五與圓有關的陰影面積的計算

【解題探究】(1)題目已知條件中，沒有已知角的度數(shù)，如何求∠C的大?。刻崾荆嚎筛鶕?jù)垂徑定理及推論得出CD⊥AB，

，得出∠C=∠AOD.再根據(jù)對頂角相等，得出∠AOD=∠COE，得出∠C與∠COE的關系，在Rt△COE中，根據(jù)兩銳角互余，求出∠C的大小.【解題探究】(2)陰影部分的面積等于哪些圖形的和差，怎樣求出？提示：S陰影=S扇形OAB-S△OAB.由(1)所求得的∠C度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，即可求出∠AOB的度數(shù)，再利用30°的直角三角形邊角關系，求出OF，AB的長度，利用扇形面積公式S扇形=πR2和三角形面積公式，可求出S扇形OAB-S△OAB.(2)陰影部分的面積等于哪些圖形的和差，怎樣求出？【嘗試解答】(1)∵CD為☉O的直徑，CD⊥AB，∴

，∴∠C=∠AOD.∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE.∵AO⊥BC，∴∠C=30°.(2)連接OB.由(1)知∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=，∴AB=.∴S陰影=S扇形OAB-S△OAB=×12×π-【嘗試解答】(1)∵CD為☉O的直徑，CD⊥AB，【規(guī)律方法】求圓中有關陰影部分面積的方法1.求不規(guī)則圖形的面積，常轉化為幾個規(guī)則圖形的面積的和差，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結果.2.求陰影部分面積的“五種常見方法”：(1)公式法.(2)割補法.(3)拼湊法.(4)等積變形法.(5)構造方程法.【規(guī)律方法】求圓中有關陰影部分面積的方法【針對演練】1.如圖，已知扇形的圓心角為60°，半徑為則圖中弓形的面積為(

)A.

B.C. D.【解析】選C.S=【針對演練】2.如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點C在上，CD⊥OA，垂足為點D，當△OCD的面積最大時，圖中陰影部分的面積為

.2.如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點C【解析】∵OC=4，點C在上，CD⊥OA，∴DC=，∴S△OCD=∴S△OCD2=

OD2·(16-OD2)=-

OD4+4OD2=-

(OD2-8)2+16，∴當OD2=8，即OD=2

時△OCD的面積最大，∴DC=

=2

，【解析】∵OC=4，點C在上，CD⊥OA，∴∠COA=45°，∴陰影部分的面積=扇形AOC的面積-△OCD的面積==2π-4.答案：2π-4∴∠COA=45°，【知識歸納】求陰影部分面積的四種方法1.面積的和差：把不規(guī)則圖形陰影部分的面積通過平移、翻折，或將所給圖形中的某一部分繞一個點旋轉適當?shù)慕嵌?，轉化為規(guī)則圖形面