專題11全等三角形的判定（SSS、SAS）新知預(yù)習(xí)（一）全等三角形的判定（SSS）（1）SSS:如果兩個(gè)三角形由三邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡寫成“邊邊邊”或簡記為（SSS）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（SAS）（1）SAS:如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡寫成“邊角邊”或簡記為（SAS）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí),一般把夾角寫在中間,以突出兩邊及其夾角對應(yīng)相等,如:圖12-2-5在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′∠A=∠AAC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（3）特別提醒:①用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須滿足“兩邊及它們的夾角”這一條件,在書寫時(shí),一般按“邊角邊”的順序.②有兩邊和其中一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等新知訓(xùn)練考點(diǎn)1：用SSS證明三角形全等典例1：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，AD與BC交于點(diǎn)E，CE=DE，EA=EB，AC=BD．求證：△ABC≌△BAD．【變式1】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）已知：AC與BD交于點(diǎn)O，AB=CD，AD=CB．求證：OD=OB(規(guī)范證明過程)證明：在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB______∴∠______=∠______在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB______∴OD=OB．【變式2】（2022秋·廣東湛江·八年級?？计谥校┤鐖D，A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求證：△ABC≌△FDE．【變式3】（2023春·廣東深圳·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求證：BM//DN.考點(diǎn)2：全等的性質(zhì)與SSS綜合典例2：（2023春·安徽淮南·八年級?？计谀┤鐖D，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E，由這些條件可以得到若干結(jié)論，請你寫出其中3個(gè)正確結(jié)論（不要添加字母和輔助線，并對其中一個(gè)給出證明）結(jié)論1：結(jié)論2：結(jié)論3：證明：【變式1】（2022秋·青海西寧·八年級?？计谥校┤鐖D，AB=AC，AD=AE，BD=CE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：∠3=∠1+∠2．【變式2】（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）華師大版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第61?74頁告訴我們作一個(gè)三角形與已角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'?△ABC．作法：如圖．（1）畫B'C=BC；（2）分別以點(diǎn)B'，C'為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A'；（3）連接線段A'B，A'C，則△A'B'C'即為所求作的三角形．請你根據(jù)以上材料完成下列問題：(1)在作圖過程中創(chuàng)造的全等條件是．(填寫全等的判定方法)(2)如圖，B、E、C、F在一條直線上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF．求證：∠A=∠D．【變式3】（2022秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E在BD上，AE=CE，AB=BC．求證：AD=CD．考點(diǎn)3：用SAS證明三角形全等典例3：（2023秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD．求證：△AOD≌△BOC．【變式1】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級校考期末）如圖，已知EC=BF，AC∥DF，AC=DF，求證：AB=DE．【變式2】（2022秋·廣東河源·八年級校考期末）如圖，已知：AD=BC，AD∥BC，E，F(xiàn)是AC上兩點(diǎn)，且AF=CE．求證：DE=BF．證明：∵AD∥BC（已知）∴∠_______=∠_______（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AF=CE（已知）∴（等式的基本性質(zhì)）即AE=CF在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（

）∴DE=BF（

）【變式3】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，連接EC并延長，交DB的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求考點(diǎn)4：全等的性質(zhì)與SAS綜合典例4：（2022秋·江西宜春·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，AC、BD交于M．(1)如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，∠AMD的度數(shù)為；(2)如圖2，當(dāng)α≠90°使，求證：△BOD≌(3)如圖3，當(dāng)△OCD繞O點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠AMD與α是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系?如果存在，請直接寫出數(shù)量關(guān)系；若不確定，說明理由．【變式1】（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC=90°時(shí)，那么∠DCE=________度；(2)設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時(shí)，請你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時(shí)，請將圖3補(bǔ)充完整；寫出此時(shí)α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式2】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M、N分別在正五邊形ABCDE的邊BC,CD上，BM=CN，連接AM,BN相交于H．(1)求證：△ABM?△BCN；(2)求∠AHB的度數(shù)．【變式3】（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上兩點(diǎn)，∠EAF=45°．(1)若EA是∠BEF的角平分線，求證：FA是∠DFE的角平分線；(2)若BE=DF，求證：EF=BE+DF．新知檢測1．（2022秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A、C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．（2023秋·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是對應(yīng)邊，點(diǎn)E在線段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，則∠ACD的大小為（）A．25° B．26° C．27°3．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，且AO＝DO，BO＝CO，則△ABO≌△DCO，理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．（2022秋·北京朝陽·八年級?？计谥校┬÷斣谟弥背吆蛨A規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過程是這樣的：下列關(guān)于小聰作法的理由，敘述正確的是（

）A．由SSS可得△O'B．由SAS可得△O'C．由ASA可得△O'CD．由“等邊對等角”可得∠5．（2023秋·八年級單元測試）如圖,∠ABC=∠DCB=70°,∠ABD=40°,AB=DC,則∠BAC=（

）A．70° B．80° C．100° D．90°6．（2022秋·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AB=AD，BC=DE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，則∠EGF的度數(shù)為（

）A．120° B．135° C．115° D．125°7．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=45°，點(diǎn)B到AC的距離為2，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．38．（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）圖中是全等的三角形是（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁9．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我國的紙傘工藝十分巧妙．如圖，傘不論張開還是縮攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．為了證明這個(gè)結(jié)論，我們的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA11．（2022秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）在測量一個(gè)小口圓形容器的壁厚時(shí)，小明用“X型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗”按如圖方法進(jìn)行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圓形容器的壁厚是（）A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米12．（2022春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）下列命題正確的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形全等B．有兩邊及一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等D．有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形全等13．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△PAB中，PA=PB，D、E、F分別是邊PA、PB、AB上的點(diǎn)，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，則∠P的度數(shù)為（

）A．150° B．112° C．120° D．146°14．（2022秋·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點(diǎn)，且DE＝DF，連接BF，CE．下列說法正確的是（

）①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AEA．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤15．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，BD平分∠ABC，延長BA到點(diǎn)E，使得BE=BC，連接DE．若∠ADE=30°，則A．60° B．71° C．75° D．76°二、填空題16．（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知AD=BC，根據(jù)“SSS”，還需要一個(gè)條件________，可證明△ABC≌17．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB=AC，若使△ABD≌△ACD，則需要補(bǔ)充一個(gè)條件_____________．18．（2023秋·福建福州·八年級階段練習(xí)）如圖，∠1=∠2，CD=BD，可證△ABD≌△ACD，則依據(jù)是_________．19．（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，為了測量池塘兩端點(diǎn)A，B間的距離，小亮先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A和點(diǎn)B的點(diǎn)C，連接AC并延長到點(diǎn)D，使CD=CA，連接BC并延長到點(diǎn)E，使CE=CB，連接DE．現(xiàn)測得DE=30米，則AB兩點(diǎn)間的距離為__________米．20．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，將CD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，連接AE，若AD=3，BC=521．（2023秋·遼寧鞍山·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，當(dāng)添加條件___時(shí)，即可以根據(jù)“SSS”得到△ABC≌△FED．22．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下列命題中逆命題成立的有_____（填序號）．①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；③全等三角形的對應(yīng)邊相等；④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．23．（2022秋·云南大理·八年級?？计谥校W(xué)了全等三角形的判定后，小明編了這樣一個(gè)題目：“已知：如圖，AD=AC，BC=BD，∠C=∠D=90°，求證：△ABD≌△ABC”．老師說他的已知條件給多了，那么可以去掉的一個(gè)已知條件是：_______（寫出所有符合條件的結(jié)果）．24．（2023秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知：等邊△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE=DC，CE，BD交于點(diǎn)F．過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，則線段CF，F(xiàn)G和BD的數(shù)是關(guān)系用等式表示是____________．25．（2023秋·八年級單元測試）如圖所示，兩條筆直的公路l1、l2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠A、B、D，已知AD=AB=6km，CD=CB=5km，村莊C到公路l1的距離為4km，則村莊C到公路l三、解答題26．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）已知：三角形ABC中，AB=AC，證明：∠B=∠C．（取邊BC中點(diǎn)D，連接AD）27．（2023秋·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，連接CD．以CD為邊作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝2cm，求BE的長．28．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求證：△ABC≌△ADC．29．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）某中學(xué)計(jì)劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計(jì)），其中凳腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點(diǎn)，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設(shè)計(jì)為35cm，由以上信息能求出CB的長度嗎？如果能，請求出CB的長度；如果不能，請說明理由．30．（2023春·江蘇·八年級期中）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OE=OF，OB=OD．(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)求證：BE∥31．（2022秋·江西贛州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，BC=EF，AD=BE，AC=DF．求證：BC∥EF．32．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．AE交BD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，∠DGE的平分線GH分別交BD，CD于點(diǎn)P，H，連接FH，F(xiàn)C．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，∠DHG與∠DFC有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)AE把正方形ABCD的面積分成1:2兩部分時(shí)，請直接寫出t的值．33．（2022秋·福建廈門·八年級福建省廈門第二中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，點(diǎn)B、C、F、E在同一條直線上，AB=DE，BF=CE，∠B=∠E．求證：∠A=∠D．34．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖1，直線AB的解析式為y=kx+6，D點(diǎn)坐標(biāo)為8,0，O點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C點(diǎn)在直線AD上．(1)求直線AB的解析式；(2)如圖2，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使△ABC與△ABF的面積相等，若存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)如圖3，過點(diǎn)G5,2的直線l:y=mx+b，當(dāng)它與直線AB夾角等于45°時(shí)，求出相應(yīng)m35．（2022秋·江蘇南京·八年級南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形的三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連結(jié)DC．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）判定BE和CD的位置關(guān)系，并說明理由．專題11全等三角形的判定（SSS、SAS）新知預(yù)習(xí)（一）全等三角形的判定（SSS）（1）SSS:如果兩個(gè)三角形由三邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡寫成“邊邊邊”或簡記為（SSS）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（SAS）（1）SAS:如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡寫成“邊角邊”或簡記為（SAS）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí),一般把夾角寫在中間,以突出兩邊及其夾角對應(yīng)相等,如:圖12-2-5在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′∠A=∠AAC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（3）特別提醒:①用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須滿足“兩邊及它們的夾角”這一條件,在書寫時(shí),一般按“邊角邊”的順序.②有兩邊和其中一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等新知訓(xùn)練考點(diǎn)1：用SSS證明三角形全等典例1：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，AD與BC交于點(diǎn)E，CE=DE，EA=EB，AC=BD．求證：△ABC≌△BAD．【答案】見解析【分析】利用線段的和證明BC=AD，再利用“邊邊邊”即可證明結(jié)論．【詳解】∵CE=DE，EA=EB，∴CE+EB=DE+EA，即BC=AD，在△ABC和△BAD中，AC=BD∴△ABC≌△BAD（SSS）【點(diǎn)睛】本題只要考查三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是找到兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的相等關(guān)系．【變式1】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）已知：AC與BD交于點(diǎn)O，AB=CD，AD=CB．求證：OD=OB(規(guī)范證明過程)證明：在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB______∴∠______=∠______在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB______∴OD=OB．【答案】AB=CD，AD=CB，BD=DB，SSS，1，2，∠AOD=∠COD，∠1=∠2，AD=CB，AAS．【分析】利用SSS證明△ABD≌△CDB，可得∠1=∠2，再利用AAS證明△AOD≌△COB，進(jìn)而可得OD=OB．【詳解】證明：在△ABD和△CDB中，AB=CD∴△ABD≌△CDB∴∠1=∠2在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COD∴△AOD≌△COB∴OD=OB．故答案為：AB=CD，AD=CB，BD=DB，SSS，1，2，∠AOD=∠COD，∠1=∠2，AD=CB，AAS．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的證明方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·廣東湛江·八年級?？计谥校┤鐖D，A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求證：△ABC≌△FDE．【答案】詳見解析.【分析】由AE=FC證得AC=EF，再利用SSS證明△ABC≌△FDE即可.【詳解】證明：∵A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AE=FC，∴AE+EC=EC+FC，∴AC=EF，在△ABC和△FDE中，AB=FDBC=DE∴△ABC≌△FDE（SSS）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL，根據(jù)已知條件選擇合適的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·廣東深圳·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求證：BM//DN.【答案】見解析．【分析】根據(jù)AC＝BD，可得到AB＝CD，結(jié)合AM＝CN，BM＝DN，證明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，進(jìn)而證明出BM∥DN．【詳解】證明：∵AC＝BD，∴AC＋BC＝BD＋BC，即AB＝CD，∵在△ABM和△CDN中，AB＝CD∴△ABM≌△CDN（SSS），∴∠MBA＝∠D，∴BM∥DN．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理，此題難度一般．考點(diǎn)2：全等的性質(zhì)與SSS綜合典例2：（2023春·安徽淮南·八年級校考期末）如圖，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E，由這些條件可以得到若干結(jié)論，請你寫出其中3個(gè)正確結(jié)論（不要添加字母和輔助線，并對其中一個(gè)給出證明）結(jié)論1：結(jié)論2：結(jié)論3：證明：【答案】結(jié)論1：△ABC≌△ADC結(jié)論2：∠BCA=∠DCA結(jié)論3：AC平分∠BAD證明結(jié)論3，見詳解【分析】結(jié)合題意，得出三個(gè)結(jié)論；利用“SSS”證明△ABC≌△ADC，由全等三角形的性質(zhì)即可證明AC平分∠BAD．【詳解】結(jié)論1：△ABC≌△ADC結(jié)論2：∠BCA=∠DCA結(jié)論3：AC平分∠BAD證明結(jié)論3：在△ABC和△ADC中，AB=ADAC=AC∴△ABC≌△ADC(SSS∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·青海西寧·八年級校考期中）如圖，AB=AC，AD=AE，BD=CE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：∠3=∠1+∠2．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)SSS即可判定△ABD≌△ACE；（2）由全等的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，然后通過外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，在△ABD和△ACE中，AB=ACAD=AE∴△ABD≌△ACESSS（2）證明：∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠1，∵∠3=∠BAD+∠ABD，∴∠3=∠1+∠2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等知識．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）華師大版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第61?74頁告訴我們作一個(gè)三角形與已角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'?△ABC．作法：如圖．（1）畫B'C=BC；（2）分別以點(diǎn)B'，C'為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A'；（3）連接線段A'B，A'C，則△A'B'C'即為所求作的三角形．請你根據(jù)以上材料完成下列問題：(1)在作圖過程中創(chuàng)造的全等條件是．(填寫全等的判定方法)(2)如圖，B、E、C、F在一條直線上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF．求證：∠A=∠D．【答案】(1)SSS(2)見解析【分析】（1）利用作法得到B'C'=BC，B'A'=BA，C'A'=CA，則根據(jù)“SSS”可判斷△A'B'C'?△ABC；（2）先證明BC=EF，則根據(jù)“SSS”可判斷ΔABC?【詳解】（1）解：根據(jù)作法得B'C'=BC，B'A'=BA，C'A'=CA，所以△A'B'C'?△ABC(SSS)；故答案為：SSS；（2）證明：∵BE=CF，∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EF∴△ABC?△DEF(SSS)，∴∠A=∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式3】（2022秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E在BD上，AE=CE，AB=BC．求證：AD=CD．【答案】見解析【分析】先根據(jù)已知條件證明△ABE≌△CBE，可得∠ABE=∠CBE，然后證明△ABD≌CBD即可得出結(jié)論．【詳解】解：在△ABE和△CBE中，AE=CEAB=CB∴△ABE≌△CBE(SSS∴∠ABE=∠CBE，在△ABD和△CBD中，AB=CB∠ABD=∠CBD∴△ABD≌CBD(SAS∴AD=CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：用SAS證明三角形全等典例3：（2023秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD．求證：△AOD≌△BOC．【答案】見解析【分析】由∠AOC=∠BOD，可得∠AOD=∠BOC，再根據(jù)SAS即可得證．【詳解】證明：∵∠AOC=∴∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD，即∠AOD=∠BOC．在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOCSAS【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級?？计谀┤鐖D，已知EC=BF，AC∥DF，AC=DF，求證：AB=DE．【答案】見解析【分析】首先根據(jù)EC=BF得到BC=EF，然后由AC∥DF得到∠F=∠C，進(jìn)而證明出△DEF≌△ABC，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵EC=BF∴EC+BE=FB+BE，即BC=EF∵AC∥DF∴∠F=∠C又∵AC=DF∴△DEF≌△ABC∴AB=DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握SAS證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·廣東河源·八年級?？计谀┤鐖D，已知：AD=BC，AD∥BC，E，F(xiàn)是AC上兩點(diǎn)，且AF=CE．求證：DE=BF．證明：∵AD∥BC（已知）∴∠_______=∠_______（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AF=CE（已知）∴（等式的基本性質(zhì)）即AE=CF在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（

）∴DE=BF（

）【答案】A；C；AF?EF=CE?EF；AD=BC；∠A=∠C；AE=CF；SAS；全等三角形對應(yīng)邊相等．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠C，根據(jù)等式的性質(zhì)得到AE=CF，然后證明△ADE≌△CBF即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AD∥BC（已知）∴∠A=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AF=CE（已知）∴AF?EF=CE?EF(等式的基本性質(zhì))即AE=CF在△ADE和△CBF中AD=BC∠A=∠C∴△ADE≌△CBF(SAS)∴DE=BF(全等三角形對應(yīng)邊相等)故答案為：A；C；AF?EF=CE?EF；AD=BC；∠A=∠C；AE=CF；SAS；全等三角形對應(yīng)邊相等．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，連接EC并延長，交DB的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求【答案】(1)見解析(2)∠【分析】（1）由DE∥BC得到∠ABC=∠DEB（2）推導(dǎo)BE=BC，即∠BCE=【詳解】（1）證明：∵DE∥BC，∴∠ABC=在△ABC和△DEB中，AB=DE∠ABC=∠DEB∴△ABC≌△DEB（SAS∴CD=CE；（2）解：∵△ABC≌△DEB，∴∠D=∵DE∥BC，∴∠FBC=∵∠∴∠EBC=40°∵BE=BC，∴∠BCE=∴∠F=40°【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：全等的性質(zhì)與SAS綜合典例4：（2022秋·江西宜春·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，AC、BD交于M．(1)如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，∠AMD的度數(shù)為；(2)如圖2，當(dāng)α≠90°使，求證：△BOD≌(3)如圖3，當(dāng)△OCD繞O點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠AMD與α是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系?如果存在，請直接寫出數(shù)量關(guān)系；若不確定，說明理由．【答案】(1)90°(2)見解析(3)存在；∠AMD=180°?α【分析】（1）證明△BOD≌△AOCSAS，得出∠OBD=∠OAC，根據(jù)∠AKM=∠BKO（2）根據(jù)SAS證明△BOD≌（3）證明△BOD≌△AOCSAS，得出∠OBD=∠OAC，根據(jù)∠AKO=∠BKM，結(jié)合三角內(nèi)角和定理，得出∠AOK=∠BMK=α【詳解】（1）解：如圖1中，設(shè)OA交BD于K，∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠AOD=∠AOD+∠COD，即∠BOD=∠AOC，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=90°，∴∠AMD=180°?90°=90°．故答案為：90°．（2）證明：如圖2中，∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠AOD=∠AOD+∠COD，即∠BOD=∠AOC，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌（3）解：如圖3中，設(shè)OA交BD于K，如圖所示：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠AOD+∠BOC，即∠BOD=∠AOC，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKO=∠BKM，∴∠AOK=∠BMK=α，∴∠AMD=180°?α．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明△BOD≌【變式1】（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC=90°時(shí)，那么∠DCE=________度；(2)設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時(shí)，請你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時(shí)，請將圖3補(bǔ)充完整；寫出此時(shí)α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)90(2)①α+β=180°，證明見解析；②α=β，理由見解析【分析】（1）易證∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解題；（2）①易證∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根據(jù)∠B+∠ACB=180°?α即可解題；②易證∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根據(jù)∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解題．【詳解】（1）解：∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案為90．（2）①∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°?α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°?α=β，∴α+β=180°；②作出圖形，∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴∠AEC=∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M、N分別在正五邊形ABCDE的邊BC,CD上，BM=CN，連接AM,BN相交于H．(1)求證：△ABM?△BCN；(2)求∠AHB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)72°【分析】（1）先由正五邊形的性質(zhì)得出AB=BC,∠ABM=∠C，再根據(jù)SAS證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠BAM=【詳解】（1）∵正五邊形ABCDE，∴AB=BC,∠ABM=∠C，∴在△ABM和△BCN中AB=BC∠ABM=∠C∴△ABM?△BCNSAS（2）由（1）可知△ABM?△BCN，∴∠BAM=∴∠BAM+∠ABH=∴∠AHB=180°?∠BAM+∠ABH【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角度數(shù)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上兩點(diǎn)，∠EAF=45°．(1)若EA是∠BEF的角平分線，求證：FA是∠DFE的角平分線；(2)若BE=DF，求證：EF=BE+DF．【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF'?△ADF，根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，證明△AE（2）由（1）可得△AEF【詳解】（1）如圖：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AD與AB重合，得到△ABF∵△ABF'是由△ADF繞點(diǎn)∴△ABF∴∠BAF'=∠DAF，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∵∠BAF∴∠BAE+∠BAF∴∠EAF∴∠EAF=∠EAF∵EA是∠BEF的角平分線，

∴∠AEF∵AE=AE，∴△AE∴∠AF又∵∠AF∴∠AFE=∠AFD，∴FA是∠DFE的角平分線；（2）由（1）可得△AEF∴EF=EF∵EF'=B∴EF=DF+BE【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定和正方形的性質(zhì)新知檢測1．（2022秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A、C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根據(jù)題意兩個(gè)三角形的三條邊分別對應(yīng)相等，即可利用“邊邊邊”證明這兩個(gè)三角形全等，即可選擇．【詳解】在△ABC和△ADC中，{AB=AD∴△ABC?△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC，即∠QAE=∠PAE．∴此角平分儀的畫圖原理是SSS．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)．根據(jù)題意找到可證明兩三角形全等的條件是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是對應(yīng)邊，點(diǎn)E在線段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，則∠ACD的大小為（）A．25° B．26° C．27°【答案】B【分析】由全等可得∠B=∠DEC，∠DCE=∠ACB，且∠AEC=∠B+∠BCE=∠AED+∠DEC，可得∠AED=∠BCE=26°，即可求∠ACD的度數(shù)【詳解】解∵△ABC≌△DEC∴∠B=∠DEC，∠DCE=∠ACB∵∠AEC=∠B+∠BCE=∠AED+∠DEC∴∠AED=∠BCE．且∠AED+∠BCE=52°∴∠BCE=∠AED=26°∵∠DCE=∠ACB∴∠DCA=∠BCE=26°故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，利用全等三角形對應(yīng)角相等解決問題是本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，且AO＝DO，BO＝CO，則△ABO≌△DCO，理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】由∠AOB＝∠COD，OA＝OD，OB＝OC，可根據(jù)SAS證明△ABO≌△DCO，可得出答案．【詳解】解：∵OA＝OD，∠AOB＝∠COD，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理.4．（2022秋·北京朝陽·八年級?？计谥校┬÷斣谟弥背吆蛨A規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過程是這樣的：下列關(guān)于小聰作法的理由，敘述正確的是（

）A．由SSS可得△O'B．由SAS可得△O'C．由ASA可得△O'CD．由“等邊對等角”可得∠【答案】A【分析】根據(jù)作圖方式可得OC=O【詳解】解：根據(jù)作圖方式可得：OC=O∴△O∴∠A故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及尺規(guī)作圖－作與已知角相等的角，熟練掌握全等三角形的判定定理以及作與已知角相等的角的方法是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·八年級單元測試）如圖,∠ABC=∠DCB=70°,∠ABD=40°,AB=DC,則∠BAC=（

）A．70° B．80° C．100° D．90°【答案】B【分析】由條件先證明△ABC≌△DCB就可以得出∠ACB=∠DBC=30°，由三角形的內(nèi)角和定理就可以求出∠BAC的度數(shù)．【詳解】在△ABC和△DCB中，AB=DC∠ABC=∠DCB∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∵∠ABD=40°，∠ABC=70°，∴∠DBC=30°，∴∠ACB=30°，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=80°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明△ABC≌△DCB是關(guān)鍵．6．（2022秋·湖南永州·八年級校考期中）如圖，已知AB=AD，BC=DE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，則∠EGF的度數(shù)為（

）A．120° B．135° C．115° D．125°【答案】C【分析】由已知可得△ABC≌△ADE，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度數(shù)，進(jìn)而得∠GFD的度數(shù)，在△FGD中，由三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求得∠EGF的度數(shù)．【詳解】在△ABC和△ADE中AB=AD∠B=∠D∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC=∠DAE∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°∴∠BAC=∠DAE=∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°∴∠GFD=90°在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵求得∠BAC的度數(shù)．7．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=45°，點(diǎn)B到AC的距離為2，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【分析】在AC上截取AE=AN，連接BE，由AD平分∠CAB，可得∠EAM=∠NAM，然后根據(jù)SAS可證△AEM≌△ANM，可得MN=ME,然后根據(jù)BM+MN=BM+ME≥BE，可得當(dāng)BE⊥AC，即BE是點(diǎn)B到AC的距離時(shí)，BM+MN的值最小，從而求得答案.【詳解】解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，∵AD平分∠CAB，∴∠EAM=∠NAM，在△AEM和△ANM中，∵AE=AN∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴MN=ME，∴BM+MN=BM+ME≥BE，當(dāng)BE⊥AC，即BE是點(diǎn)B到AC的距離時(shí),BM+MN的值最小，∵點(diǎn)B到AC的距離為2，∴BM+MN的最小值是2.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離，通過構(gòu)造全等三角形把MN轉(zhuǎn)化成ME是解題的關(guān)鍵.8．（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）圖中是全等的三角形是（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】B【分析】比較三條邊的長度一致的就是全等三角形．【詳解】解：比較三角形的三邊長度，發(fā)現(xiàn)乙和丁的長度完全一樣，即為全等三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定SSS，三邊對應(yīng)相等，兩三角形全等．9．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【詳解】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，AD=AD，∴可由“SAS”判定△ABD≌△ACD.故選B.10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我國的紙傘工藝十分巧妙．如圖，傘不論張開還是縮攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．為了證明這個(gè)結(jié)論，我們的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】根據(jù)確定三角形全等的條件進(jìn)行判定即可得解．【詳解】根據(jù)傘的結(jié)構(gòu)，AE=AF，傘骨DE=DF，AD是公共邊，在ΔADE和ΔADF中，AE=AFDE=DF∴ΔADE?ΔADF(SSS)，∴∠DAE=∠DAF，即AP平分∠BAC．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，理解題意確定出全等的三角形以及全等的條件是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）在測量一個(gè)小口圓形容器的壁厚時(shí)，小明用“X型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗”按如圖方法進(jìn)行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圓形容器的壁厚是（）A．1厘米 B．2厘米 C．5厘米 D．7厘米【答案】A【分析】只要證明△AOB≌△DOC，可得AB=CD，即可解決問題．【詳解】解：在△AOB和△DOC中，OA=OD∠AOB=∠DOC∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB=CD=5厘米，∵EF=7厘米，∴圓柱形容器的壁厚是12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題．12．（2022春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）下列命題正確的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形全等B．有兩邊及一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等D．有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形全等【答案】C【分析】利用全等三角形的判定方法逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A，兩個(gè)等邊三角形各個(gè)角都相等，但邊長不一定相等，因此不一定是等邊三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，兩邊及兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形可以用HL證明全等，故此選項(xiàng)正確；D，有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形對應(yīng)角相等，但邊長不一定相等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△PAB中，PA=PB，D、E、F分別是邊PA、PB、AB上的點(diǎn)，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，則∠P的度數(shù)為（

）A．150° B．112° C．120° D．146°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B，證明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠A=∠DFE=34°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△ADF和△BFE中，AD=BF∠A=∠B∴△ADF≌△BFE（SAS），∴∠ADF=∠BFE，∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF，∴∠A=∠DFE=34°，∴∠P=180°-∠A-∠B=112°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，掌握等邊對等角、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點(diǎn)，且DE＝DF，連接BF，CE．下列說法正確的是（

）①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AEA．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤【答案】C【分析】①根據(jù)三角形的中線直接進(jìn)行判斷即可；②一般三角形一條邊上的中線不一定是這條邊所對的角的平分線；③根據(jù)“SAS”直接進(jìn)行判斷即可；④根據(jù)三角形全等的性質(zhì)直接判定∠F＝∠DEC，根據(jù)平行線的判定方法得出結(jié)果；⑤根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．【詳解】解：①∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，故①正確；②∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②錯(cuò)誤；③在△BDF和△CDE中BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正確；④∵△BDF≌△CDE，∴∠F＝∠DEC，∴BF∥CE，故④正確；⑤∵△BDF≌△CDE，∴CE＝BF，故⑤錯(cuò)誤；綜上分析可知，①③④正確，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的定義，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識圖，是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，BD平分∠ABC，延長BA到點(diǎn)E，使得BE=BC，連接DE．若∠ADE=30°，則A．60° B．71° C．75° D．76°【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可得三角形全等，得∠BDE=∠BDC，∠【詳解】解：∵BD平分∠ABC∴∠又∵BE=BC，BD=BD∴△BDE≌△BDC(SAS∴∠∵∠ADE=30°，∠BDE=∴∴∠故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題16．（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知AD=BC，根據(jù)“SSS”，還需要一個(gè)條件________，可證明△ABC≌【答案】BD=CA（答案不唯一）【詳解】圖形中隱含條件AB=BA，找出第三邊BD和AC即可；在△ABC和△BAD中AD=BCCA=DBAB=BA，∴△ABC≌△BAD（【點(diǎn)睛】本題考查SSS證明三角形的全等，熟練掌握兩三角形三邊的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB=AC，若使△ABD≌△ACD，則需要補(bǔ)充一個(gè)條件_____________．【答案】BD＝CD或∠BAD＝∠CAD【分析】要使△ABD≌△ACD，由于AB＝AC，AD是公共邊，若補(bǔ)充條件BD＝CD，則可用SSS判定其全等；若添加∠BAD＝∠CAD，則可用SAS判定其全等．【詳解】解：若補(bǔ)充條件BD＝CD，則可用SSS判定其全等；若添加∠BAD＝∠CAD，則可用SAS判定其全等．需補(bǔ)充的一個(gè)條件是BD＝CD或∠BAD＝∠CAD．故答案為：BD＝CD或∠BAD＝∠CAD．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．18．（2023秋·福建福州·八年級階段練習(xí)）如圖，∠1=∠2，CD=BD，可證△ABD≌△ACD，則依據(jù)是_________．【答案】SAS【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠ADC=∠ADB，∵CD=BD，AD=AD，滿足全等三角形判定定理SAS；故答案為SAS.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．19．（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，為了測量池塘兩端點(diǎn)A，B間的距離，小亮先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A和點(diǎn)B的點(diǎn)C，連接AC并延長到點(diǎn)D，使CD=CA，連接BC并延長到點(diǎn)E，使CE=CB，連接DE．現(xiàn)測得DE=30米，則AB兩點(diǎn)間的距離為__________米．【答案】30【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：在△ABC和△DEC中，AC=△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=30米，故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，將CD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，連接AE，若AD=3，BC=5【答案】3【分析】由旋轉(zhuǎn)可得△DHC≌△DFE，可求得EF，可求得△ADE的面積．【詳解】解：如圖，過D作DH⊥BC于點(diǎn)H，過E作EF⊥AD交AD的延長線于F，則四邊形ABHD是矩形，HC=BC?BH=BC?AD=5?3=2，∴∠HDF=∴∠∵DC=DE∴△DHC≌△DFE，∴EF=HC=2，且∠EFA=∠DHC=90°，∴S△ADE故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)圖形是全等圖形是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·遼寧鞍山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，當(dāng)添加條件___時(shí)，即可以根據(jù)“SSS”得到△ABC≌△FED．【答案】BC＝ED【分析】由AD＝CF利用等式的性質(zhì)可得AC＝DF，再添加BC＝ED可利用SSS判定△ABC≌△FED．【詳解】解：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝DF，在△ABC和△FED中AB=FEAC=DF∴△ABC≌△FED（SSS），故答案為：BC＝ED．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下列命題中逆命題成立的有_____（填序號）．①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；③全等三角形的對應(yīng)邊相等；④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．【答案】①③【分析】根據(jù)逆命題的概念得出原命題的逆命題，判斷即可．【詳解】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角，是假命題；③全等三角形的對應(yīng)邊相等的逆命題是三條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是真命題；④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，是假命題；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查的是逆命題的概念以及命題的真假判斷，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．23．（2022秋·云南大理·八年級校考期中）學(xué)了全等三角形的判定后，小明編了這樣一個(gè)題目：“已知：如圖，AD=AC，BC=BD，∠C=∠D=90°，求證：△ABD≌△ABC”．老師說他的已知條件給多了，那么可以去掉的一個(gè)已知條件是：_______（寫出所有符合條件的結(jié)果）．【答案】AD=AC或BC=BD或∠C=∠D=90°【分析】根據(jù)HL定理和SSS定理即可得．【詳解】解：去掉已知條件AD=AC，根據(jù)HL定理可以證出△ABD?△ABC，去掉已知條件BC=BD，根據(jù)HL定理可以證出△ABD?△ABC，去掉已知條件∠C=∠D=90°，根據(jù)SSS定理可以證出△ABD?△ABC，故答案為：AD=AC或BC=BD或∠C=∠D=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握HL定理和SSS定理是解題關(guān)鍵．24．（2023秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知：等邊△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE=DC，CE，BD交于點(diǎn)F．過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，則線段CF，F(xiàn)G和BD的數(shù)是關(guān)系用等式表示是____________．【答案】BD=2FG+CF【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠A=∠CBE=60°，AB=AC，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出BE=AD，再根據(jù)“邊角邊”，得出△ABD≌△BCE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出BD=EC，∠ABD=∠BCE，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等量代換，得出∠BFE=∠CBF+∠BCF=∠CBF+∠ABD=∠ABC=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出∠GEF=30°，再根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出EF=2FG，再根據(jù)等量代換，即可得出答案．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠CBE=60°，AB=AC，∵AE=CD，∴AB?AE=AC?CD，即BE=AD，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠A=∠CBE∴△ABD≌△BCESAS∴BD=EC，∠ABD=∠BCE，∴∠BFE=∠CBF+∠BCF=∠CBF+∠ABD=∠ABC=60°，∵EG⊥BD，∴∠EGF=90°，∴∠GEF=90°?60°=30°，∴EF=2FG，∴BD=EC=EF+CF=2FG+CF．故答案為：BD=2FG+CF【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、含30°角的直角三角形的特征，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．25．（2023秋·八年級單元測試）如圖所示，兩條筆直的公路l1、l2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠A、B、D，已知AD=AB=6km，CD=CB=5km，村莊C到公路l1的距離為4km，則村莊C到公路l【答案】4【分析】連接AC，過點(diǎn)C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，先根據(jù)SSS證明△ADC≌△ABC，得出∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：連接AC，過點(diǎn)C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，在△ADC與△ABC中，AD＝ABCD＝CB∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥l2于E，CF⊥l1于F，∴CE=CF=4km，即村莊C到公路l2的距離是4km．故答案是：4．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的應(yīng)用以及角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，證明△ADC≌△ABC，得出∠DAC=∠BAC是解題的關(guān)鍵．三、解答題26．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）已知：三角形ABC中，AB=AC，證明：∠B=∠C．（取邊BC中點(diǎn)D，連接AD）【答案】見解析【分析】取邊BC中點(diǎn)D，連接AD，證明ΔABD與ΔACD全等即可求解．【詳解】解：如圖：取邊BC中點(diǎn)D，連接AD，則在ΔABD與ΔACD中，AB=ACAD=AD∴ΔABD≌ΔACD（SSS），∴∠B=∠C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．27．（2023秋·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，連接CD．以CD為邊作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝2cm，求BE的長．【答案】（1）見解析，（2）4cm【分析】（1）由“SAS”可證△ACD≌△BCE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可求BE＝AD＝4cm．【詳解】（1）證明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵DB＝AB＝2cm，∴AD＝4cm，∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD＝4cm．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求證：△ABC≌△ADC．【答案】見解析【分析】根據(jù)SSS證明全等即可．【詳解】證明：在△ABC和△ADC中，AB=ADAC=AC∴△ABC≌△ADCSSS【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是正確解答本題的關(guān)鍵．29．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）某中學(xué)計(jì)劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計(jì)），其中凳腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點(diǎn)，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設(shè)計(jì)為35cm，由以上信息能求出CB的長度嗎？如果能，請求出CB的長度；如果不能，請說明理由．【答案】能求出CB的長度，CB的長度為35cm【分析】根據(jù)題意，得AO=BO=CO=DO；結(jié)合∠AOD=∠BOC，證得△AOD≌△BOC，得AD=CB，從而完成求解．【詳解】∵凳腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點(diǎn)∴AO=BO=CO=DO∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC∴AD=CB∵AD=35cm∴CB=35cm∴能求出CB的長度，CB的長度為35cm．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用到實(shí)際問題中，從而完成求解．30．（2023春·江蘇·八年級期中）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OE=OF，OB=OD．(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)求證：BE∥【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OB=OD，由SAS證明△BOE≌△DOF即可；（2）先證明四邊形EBFD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，在△BOE和△DOF中，OE=OF∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOFSAS（2）證明：連接DE、BF，由（1）知△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴BE∥【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．31．（2022秋·江西贛州·八年級校考階段練習(xí)）已知：如圖，BC=EF，AD=BE，AC=DF．求證：BC∥EF．【答案】見解析【分析】由AD=BE，可求出AB=DE，再結(jié)合題意易證△ABC?△DEF(SSS)，即得出∠ABC=∠DEF，最后由平行線的判定定理即可證明【詳解】∵AD=BE，∴BE+AE=AD+AE，即