平板湍流邊界層第1頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層§湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)§湍流平板邊界層的紊動(dòng)特性§湍流平板邊界層的能量平衡§湍流平板邊界層厚度和阻力

§粗糙平板紊流邊界層第2頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層平板邊界層流動(dòng)中，勢(shì)流流速和壓強(qiáng)在整個(gè)流場(chǎng)中均為常數(shù)。當(dāng)邊界層雷諾數(shù)

達(dá)到臨界值后，邊界層流動(dòng)將可能由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳌Ｍ牧鬟吔鐚又械牧魉俜植?、阻力?guī)律、邊界層厚度的沿程發(fā)展等均與層流邊界層不同。而且在湍流邊界層流動(dòng)中又因固體壁面的光滑或粗糙而使得流動(dòng)情況發(fā)生變化。湍流平板邊界層流動(dòng)是一種基本的流動(dòng)現(xiàn)象，對(duì)于航空、造船、化工、水力機(jī)械和水工建筑物的設(shè)計(jì)都有重要的意義。第3頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層像圓管湍流一樣，湍流平板邊界層流動(dòng)也是壁面湍流的一種，只不過(guò)固體邊界的特征不同。圓管湍流是流動(dòng)發(fā)生在由固體邊界所包圍的空間內(nèi)，因而固體邊界限制了湍流的發(fā)展。而平板邊界層流動(dòng)則是流動(dòng)發(fā)生在某一固體壁面上，在固體壁面上的湍流邊界層可以沿程發(fā)展而其上邊界不受固體邊界的限制。但是湍流邊界層與圓管湍流在流動(dòng)特點(diǎn)方面也有很多共同之處。第4頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層§湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)

湍流邊界層微分方程式可由雷諾方程出發(fā)：考慮邊界層近似，而得到二維湍流邊界層方程。

定常，二維雷諾方程：

表示沿固體壁面的邊界層坐標(biāo)，為壁面外法線方向坐標(biāo)。第5頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)由經(jīng)驗(yàn)，在湍流中三個(gè)方向的湍流強(qiáng)度，，基本上具有同一量級(jí)，因此引入一個(gè)共同的脈動(dòng)流速的尺度

。對(duì)于湍流切應(yīng)力，則需引入相關(guān)函數(shù)假定

，

，

大致具有1的量級(jí)。在邊界層流動(dòng)中，順流方向的長(zhǎng)度尺度與垂直方向尺度相比甚大，

的量級(jí)小于

的量級(jí)，保留

。又在湍流邊界層中，粘性切應(yīng)力與湍流切應(yīng)力均應(yīng)保留：

第6頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)流向動(dòng)量湍流邊界層方程：

上式如無(wú)量綱化，則除

項(xiàng)外，其余各項(xiàng)量級(jí)均為1，因此要保留

項(xiàng)，則必須：所以：即無(wú)量綱雷諾應(yīng)力的量級(jí)為

的量級(jí)，

為當(dāng)?shù)貏?shì)流流速。第7頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)法向動(dòng)量湍流邊界層方程：與層流邊界層中結(jié)論相同，即在湍流邊界層中同樣壓強(qiáng)沿y軸是均勻分布的，與邊界層外邊緣處勢(shì)流壓強(qiáng)相同。邊界條件：

第8頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)所有脈動(dòng)分量在固體壁面處均應(yīng)消失，而在很靠近壁面處，脈動(dòng)分量的數(shù)值很小。由此可知在固體壁面處所有雷諾應(yīng)力均為零，只有粘性切應(yīng)力存在。由此可以想見(jiàn)在緊靠壁面處存在一個(gè)極薄的流層，在這層流動(dòng)里湍流切應(yīng)力和流速的脈動(dòng)均很微弱，由于這里流速很小，粘性力大于慣性力，這一流層即為粘性底層。緊靠粘性底層上部，存在一層過(guò)渡區(qū)。過(guò)渡區(qū)中湍動(dòng)劇烈，湍流切應(yīng)力顯著增加。過(guò)渡區(qū)以外則湍流切應(yīng)力占主導(dǎo)地位，是為湍流層或稱對(duì)數(shù)層。第9頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月紊流邊界層的流速分布在其不同的分區(qū)中具有不同的規(guī)律，與圓管紊流相似。圖11-1為紊流邊界層中流速分布分區(qū)結(jié)構(gòu)的典型示意圖。在紊流邊界層中除粘性底層、過(guò)渡區(qū)及紊流區(qū)（對(duì)數(shù)區(qū)）以外，還存在一個(gè)尾流區(qū)或稱為外區(qū)（outerlayer）。而粘性底層、過(guò)渡區(qū)和對(duì)數(shù)區(qū)則統(tǒng)稱為內(nèi)區(qū)（innerlayer）。在紊流邊界層中，對(duì)于分區(qū)界限各家試驗(yàn)略有出入。一般用y表示x2，認(rèn)為：粘性底層：過(guò)渡區(qū)：對(duì)數(shù)區(qū)：以上三個(gè)區(qū)域統(tǒng)稱內(nèi)區(qū)。尾流區(qū)（外區(qū)）：湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)第10頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)第11頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平板紊流邊界層各個(gè)分區(qū)中的流速分布為：

粘性底層：或?qū)憺椋?1-7）對(duì)數(shù)區(qū)：（11-8）尾流區(qū)：（11-9）

（11-10）

稱為尾流函數(shù)（lawofthewake），為尾流強(qiáng)度。

湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)第12頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月科爾斯（D.Coles）發(fā)現(xiàn)對(duì)于零壓梯度的紊流邊界層，當(dāng)時(shí)。圖11-2尾流強(qiáng)度11-1紊流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)第13頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)下圖給出由斯坦福大學(xué)的倫斯塔德勒（P.W.Runstandler）[2]等人制作的一組表示湍流邊界層各分區(qū)中流動(dòng)特性的照片。這組照片是使用氫氣泡技術(shù)以顯示不同流區(qū)的某一高度上邊界層內(nèi)流動(dòng)狀況，同時(shí)還給出在該高度測(cè)量的瞬時(shí)流速過(guò)程線。第14頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖11-3給出由斯坦福大學(xué)的倫斯塔德勒（P.W.Runstandler）[2]等人制作的一組表示紊流邊界層各分區(qū)中流動(dòng)特性的照片。這組照片是使用氫氣泡技術(shù)以顯示不同流區(qū)的某一高度上邊界層內(nèi)流動(dòng)狀況，同時(shí)還給出在該高度測(cè)量的瞬時(shí)流速過(guò)程線。圖11-3（a）表示處平面上流動(dòng)顯示，此處位于粘性底層上部或過(guò)渡區(qū)下部。由照片可見(jiàn)此處流速具有大小相間的流速帶，紊動(dòng)劇烈，但紊動(dòng)的三維性不明顯。圖11-3（b）表示處的流動(dòng)。此時(shí)位于紊流對(duì)數(shù)區(qū)，紊流具有明顯的三維性，但從瞬時(shí)流速的時(shí)間過(guò)程線看出此處脈動(dòng)比處要弱。圖11-3（c）表示處的流動(dòng)，而圖11-3（d）表示處的流動(dòng)。這兩個(gè)位置均已處于尾流區(qū)中，紊動(dòng)明顯減弱，當(dāng)時(shí)從瞬時(shí)流速時(shí)間過(guò)程線還可看出紊動(dòng)已開(kāi)始具有間歇性質(zhì)。湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)第15頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖113（a）流動(dòng)顯示圖，

圖113（a）流動(dòng)顯示圖，

圖113（c）流動(dòng)顯示圖，

圖113（d）流動(dòng)顯示圖，

湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)第16頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)圖11-3（a）表示

處平面上流動(dòng)顯示，此處位于粘性底層上部或過(guò)渡區(qū)下部。由照片可見(jiàn)此處流速具有大小相間的流速帶，湍動(dòng)劇烈，但湍動(dòng)的三維性不明顯。第17頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結(jié)構(gòu)圖11-3（b）表示

處的流動(dòng)。此時(shí)位于湍流對(duì)數(shù)區(qū)，湍流具有明顯的三維性，但從瞬時(shí)流速的時(shí)間過(guò)程線看出此處脈動(dòng)比

處要弱。第18頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月早期對(duì)湍流平板邊界層的量測(cè)主要是量測(cè)其時(shí)均流速和壓強(qiáng)的分布。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得對(duì)湍動(dòng)特性：例如湍流度，湍流能量及能譜，湍流切應(yīng)力等的量測(cè)變得既有需要，也有可能。而且只有通過(guò)對(duì)湍動(dòng)特性的直接量測(cè)才使人們對(duì)湍流的機(jī)理獲得進(jìn)一步深入的理解。1954年克萊巴諾夫[3]對(duì)零壓梯度湍流平板邊界層進(jìn)行了量測(cè)，得到豐富的成果。試驗(yàn)是在一個(gè)4.5英尺的風(fēng)洞中進(jìn)行，光滑平板長(zhǎng)12英尺，寬4.5英尺。風(fēng)洞的湍流度在風(fēng)速30英尺/秒時(shí)為0.02%，在風(fēng)速100英尺/秒時(shí)為0.04%。近壁區(qū)的量測(cè)使用熱線風(fēng)速計(jì)。量測(cè)斷面距平板前緣為10.5英尺，為充分發(fā)展湍流邊界層。試驗(yàn)中自由流速（邊界層外的勢(shì)流流速)為50英尺/秒。湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第19頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖114紊流平板邊界層紊流度沿?cái)嗝娣植糩3]圖11-4分別表示出順流方向x,垂直平板方向y及展向z的紊流度，，。圖中還特別表示了在緊靠壁面處的情況。由圖可以看出各個(gè)方向的紊流度均在緊靠固體壁面附近達(dá)到其最大值，而固體壁面處由于壁面對(duì)脈動(dòng)的限制，紊流度均為零。順流方向的紊流度最大值約為0.12，表示約為自由流速的12%。垂直紊流度則為0.04.圖11-4中的分布曲線表明在紊流平板邊界層中,展向的脈動(dòng)值不容忽視。湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第20頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖11-4中還示出了紊流切應(yīng)力在平板紊流邊界層內(nèi)的分布，圖中無(wú)量綱量采用表示單位質(zhì)量切應(yīng)力的無(wú)量綱量。在緊靠壁面處未能量測(cè)到有關(guān)數(shù)據(jù)。

圖115紊流平板邊界層間歇系數(shù)[3]在邊界層的外邊界，即紊流邊界層與上部勢(shì)流的交界面處紊流具有間歇性質(zhì)。克萊巴諾夫[3]測(cè)得的資料顯示，在處，平板紊流邊界層即具有明顯的間歇性質(zhì)，而當(dāng)時(shí)則流速基本上不再呈現(xiàn)脈動(dòng)。平板紊流邊界層中間歇系數(shù)的分布規(guī)律如圖11-5所示并可用下式表示：（11-11）湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第21頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月邊界層內(nèi)紊流與邊界層外勢(shì)流的交界面有時(shí)稱為邊界層的自由（freeboundary）。圖11-6為自由邊界的示意圖。自由邊界隨時(shí)間而變動(dòng)，具有隨機(jī)的性質(zhì)。光滑壁面平板紊流邊界層自由邊界的平均位置為，標(biāo)準(zhǔn)差為。粗糙壁面時(shí)自由邊界平均位置在而標(biāo)準(zhǔn)差為。

圖116紊流邊界層自由邊界示意圖湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第22頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為了深入理解邊界層中的紊流結(jié)構(gòu)，常對(duì)紊流中兩個(gè)相鄰測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行脈動(dòng)流速的量測(cè)，以分析紊流的空間特性。空間相關(guān)函數(shù)（spacecorrelationfunction）:湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第23頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖11-7為西蒙斯.（L.F.G.Simmons）[4]在圓管中測(cè)得的順流方向脈動(dòng)流速

和

的典型的相關(guān)函數(shù)曲線。其中一個(gè)熱線風(fēng)速計(jì)置于圓管的中心處，另一風(fēng)速計(jì)則置于與中心相距

處。當(dāng)

，表明兩個(gè)風(fēng)速計(jì)均在中心處，這時(shí)兩個(gè)脈動(dòng)流速

和

相同，從而其相關(guān)函數(shù)

。當(dāng)

逐漸增大，相關(guān)函數(shù)值迅速減小。圖中橫坐標(biāo)用圓管半徑

進(jìn)行無(wú)量綱化。相關(guān)函數(shù)的積分:

（11-13）圖11?7空間相關(guān)函數(shù)分布[4]表示紊流結(jié)構(gòu)中一個(gè)特征長(zhǎng)度，稱為紊流長(zhǎng)度比尺（lengthscaleofturbulence）。紊流長(zhǎng)度比尺表示在紊流中旋渦的平均尺度，流體中某一范圍內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)作為一個(gè)旋渦而運(yùn)動(dòng)。圖11-7所表示的流動(dòng)可得湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第24頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果相關(guān)函數(shù)中的不是在與1不同的位置而是在相同的位置，但是在不同的時(shí)間所量測(cè)的脈動(dòng)流速，例如是時(shí)的脈動(dòng)流速而是時(shí)量測(cè)的脈動(dòng)流速。這樣得到的相關(guān)函數(shù)則稱為自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction）。同樣地，如果

和表示同一位置處兩個(gè)不同方向的脈動(dòng)流速，其相關(guān)系數(shù)也可用（11-12）式表示。，隨成比例下降,當(dāng)k（或n值相當(dāng)大時(shí)，下降更快，與成比例如圖中②線。紊流的譜分析說(shuō)明在紊流中包含了各種不同尺度的旋渦。在雷諾數(shù)很大時(shí)，這些旋渦的尺度可以有量級(jí)上的差別。脈動(dòng)動(dòng)能由大的旋渦帶入并逐級(jí)傳遞給小尺度的旋渦，通過(guò)很小尺度的旋渦由于粘性而將動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，耗散在流?dòng)中?？巳R巴諾夫[3]也量測(cè)了平板紊流邊界層的譜分布函數(shù)（spectrumfunction）如圖11-8所示。譜分布函數(shù)的最大值常出現(xiàn)在低頻區(qū)域。當(dāng)頻率k或波數(shù)n增加，頻譜（或波數(shù)譜）曲線的坡度有如圖中①線圖118紊流平板邊界層頻譜圖[3]湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第25頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖11-7為西蒙斯.（L.F.G.Simmons）[4]在圓管中測(cè)得的順流方向脈動(dòng)流速

和

的典型的相關(guān)函數(shù)曲線。其中一個(gè)熱線風(fēng)速計(jì)置于圓管的中心處，另一風(fēng)速計(jì)則置于與中心相距

處。當(dāng)

，表明兩個(gè)風(fēng)速計(jì)均在中心處，這時(shí)兩個(gè)脈動(dòng)流速

和

相同，從而其相關(guān)函數(shù)

。當(dāng)

逐漸增大，相關(guān)函數(shù)值迅速減小。圖中橫坐標(biāo)用圓管半徑

進(jìn)行無(wú)量綱化。相關(guān)函數(shù)的積分:

（11-13）圖11?7空間相關(guān)函數(shù)分布[4]表示紊流結(jié)構(gòu)中一個(gè)特征長(zhǎng)度，稱為紊流長(zhǎng)度比尺（lengthscaleofturbulence）。紊流長(zhǎng)度比尺表示在紊流中旋渦的平均尺度，流體中某一范圍內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)作為一個(gè)旋渦而運(yùn)動(dòng)。圖11-7所表示的流動(dòng)可得湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第26頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果相關(guān)函數(shù)中的不是在與1不同的位置而是在相同的位置，但是在不同的時(shí)間所量測(cè)的脈動(dòng)流速，例如是時(shí)的脈動(dòng)流速而是時(shí)量測(cè)的脈動(dòng)流速。這樣得到的相關(guān)函數(shù)則稱為自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction）。同樣地，如果

和表示同一位置處兩個(gè)不同方向的脈動(dòng)流速，其相關(guān)系數(shù)也可用（11-12）式表示。，隨成比例下降,當(dāng)k（或n值相當(dāng)大時(shí)，下降更快，與成比例如圖中②線。紊流的譜分析說(shuō)明在紊流中包含了各種不同尺度的旋渦。在雷諾數(shù)很大時(shí)，這些旋渦的尺度可以有量級(jí)上的差別。脈動(dòng)動(dòng)能由大的旋渦帶入并逐級(jí)傳遞給小尺度的旋渦，通過(guò)很小尺度的旋渦由于粘性而將動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，耗散在流?dòng)中。克萊巴諾夫[3]也量測(cè)了平板紊流邊界層的譜分布函數(shù)（spectrumfunction）如圖11-8所示。譜分布函數(shù)的最大值常出現(xiàn)在低頻區(qū)域。當(dāng)頻率k或波數(shù)n增加，頻譜（或波數(shù)譜）曲線的坡度有如圖中①線圖118紊流平板邊界層頻譜圖[3]湍流平板邊界層的湍動(dòng)特性第27頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月恒定二維紊流平板邊界層流動(dòng)的時(shí)均流動(dòng)部分的能量方程可從式（7-13）進(jìn)行邊界層近似得到。式（7-13）為由于流動(dòng)是恒定的，1項(xiàng)可消掉。在平板邊界層中3項(xiàng)為零。在紊流邊界層中，除緊靠壁面的粘性底層內(nèi)，紊流切應(yīng)力均較粘性切應(yīng)力大得多，因此4項(xiàng)的粘性擴(kuò)散項(xiàng)與6項(xiàng)的紊流擴(kuò)散項(xiàng)相比可以忽略。5項(xiàng)的粘性耗散項(xiàng)與7項(xiàng)的紊流產(chǎn)生項(xiàng)相比可以忽略。最后得到二維紊流平板邊界層的時(shí)均流動(dòng)部分能量方程為：（11-14）湍流平板邊界層的能量平衡第28頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即只有時(shí)均流速場(chǎng)不均勻而引起的遷移變化，亦稱傳遞項(xiàng)，紊流切應(yīng)力引起的擴(kuò)散項(xiàng)或理解為紊流切應(yīng)力作功及紊流產(chǎn)生項(xiàng)。湯森[5]繪制的紊流平板邊界層內(nèi)時(shí)均流動(dòng)的能量平衡圖如圖11-9所示。圖中各項(xiàng)均以剪切流速作為速度尺度，邊界層厚度作為長(zhǎng)度尺度進(jìn)行了無(wú)量綱化，，。由圖可見(jiàn)，對(duì)于時(shí)均流動(dòng)，產(chǎn)生項(xiàng)在整個(gè)斷面內(nèi)均為損失。產(chǎn)生項(xiàng)在邊界層內(nèi)區(qū)最大，隨著

的增加而減小。說(shuō)明紊動(dòng)主要在近壁區(qū)產(chǎn)生。時(shí)均流動(dòng)的能量在這里損失一部分變?yōu)槊}動(dòng)的能量。對(duì)于時(shí)均流動(dòng)來(lái)說(shuō)，它的能量將主要來(lái)自于傳遞項(xiàng)，即由上游傳遞來(lái)的能量。在邊界層的中部，之間傳遞能量最大。紊流擴(kuò)散項(xiàng)在邊界層的上部為損失而在邊界層的內(nèi)區(qū)為增長(zhǎng)，說(shuō)明紊流切應(yīng)力作功使得時(shí)均流動(dòng)損失了部分能量，同時(shí)也將上部由傳遞項(xiàng)得到的能量擴(kuò)散到內(nèi)區(qū)，以供給產(chǎn)生項(xiàng)。在斷面中的每一高程處，能量的增長(zhǎng)與損失都是平衡的，但在不同高程的流層中能量增長(zhǎng)與損失的機(jī)制不同，而且流層之間通過(guò)紊流擴(kuò)散有能量的相互交換。圖119平板紊流邊界層時(shí)均能量斷面平衡圖[5]湍流平板邊界層的能量平衡第29頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月恒定二維紊流平板邊界層流動(dòng)的脈動(dòng)流動(dòng)部分的能量方程可以從（7-14）式進(jìn)行邊界層近似得到。

式（7-14）為：（7-14）流動(dòng)的恒定使1項(xiàng)消失。在二維邊界層流動(dòng)中，設(shè)流動(dòng)的恒定使1項(xiàng)消失。在二維邊界層流動(dòng)中，設(shè)

方向的長(zhǎng)度尺度為

，速度尺度為

；

方向長(zhǎng)度尺度為

，速度尺度為

。由連續(xù)方程可知：（11-15）又因邊界層中

由（11-4）式已知~，因此脈動(dòng)動(dòng)能~。湍流平板邊界層的能量平衡第30頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在由（7-14）式寫(xiě)出二維邊界層能量方程的過(guò)程中，首先

得：（11-16）每一項(xiàng)下均注明其尺度。式中表示脈動(dòng)速度在空間變化的一個(gè)長(zhǎng)度尺度，除了極靠近壁面的流層以外，遠(yuǎn)比為小，最多達(dá)到的量級(jí)。上式左側(cè)兩項(xiàng)具有相同的量級(jí)?，F(xiàn)規(guī)定和的量級(jí)為1，則右側(cè)各項(xiàng)量級(jí)相應(yīng)為：，，，

湍流平板邊界層的能量平衡第31頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中第一項(xiàng)量級(jí)，顯然這一項(xiàng)比左側(cè)兩項(xiàng)的量級(jí)為大。第二項(xiàng)中，雖小于1，但因，總的量級(jí)仍大于1。第三項(xiàng)中相當(dāng)一個(gè)雷諾數(shù)，由于它所采用的長(zhǎng)度尺度為，所以它不是一個(gè)大數(shù)。特別是在粘性底層和過(guò)渡區(qū)中，它的量級(jí)小于的量級(jí)。第四項(xiàng)顯然大于第三項(xiàng)。由此，方程式右側(cè)四項(xiàng)的量級(jí)均大于左側(cè)兩項(xiàng)，故在平板邊界層中靠近固體壁面的粘性底層及過(guò)渡區(qū)中有：（11-17）湍流平板邊界層的能量平衡第32頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在不可壓縮流體的情況下，，所以方程式（11-17）于是可寫(xiě)為：（11-18）對(duì)于距壁面稍遠(yuǎn)的對(duì)數(shù)區(qū)，可達(dá)到的量級(jí)，脈動(dòng)遷移項(xiàng)的量級(jí)將小于產(chǎn)生項(xiàng)的量級(jí)，因而可忽略遷移項(xiàng)。另外耗散項(xiàng)將大于脈動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)。因此得到在對(duì)數(shù)區(qū)產(chǎn)生項(xiàng)與耗散項(xiàng)應(yīng)互相平衡，即：（11-19）湍流平板邊界層的能量平衡第33頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于邊界層的外區(qū)，由于時(shí)均流速變大，時(shí)均遷移項(xiàng)與脈動(dòng)遷移項(xiàng)均應(yīng)保留。只有脈動(dòng)粘性應(yīng)力作功的一項(xiàng)可以忽略。脈動(dòng)部分能量方程即可寫(xiě)為：（11-20）當(dāng)接近邊界層的外邊界時(shí)，相關(guān)函數(shù)變得很小，而且也變得很小，因此產(chǎn)生項(xiàng)將可以忽略。耗散項(xiàng)也將變得很小，可以想見(jiàn)只有時(shí)均流動(dòng)的遷移項(xiàng)和脈動(dòng)遷移項(xiàng)互相平衡。湍流平板邊界層的能量平衡第34頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于量測(cè)了紊流脈動(dòng)動(dòng)能，紊流切應(yīng)力和耗散從而可以由（11-16）式或（11-20）式得到紊流平板邊界層中脈動(dòng)能量的平衡圖，如圖11-10所示。圖11-10同樣為湯森[5]所繪制。由圖可見(jiàn)，對(duì)于脈動(dòng)動(dòng)能而言，產(chǎn)生項(xiàng)和耗散項(xiàng)最重要。對(duì)于脈動(dòng)動(dòng)能，產(chǎn)生項(xiàng)為正值，即增長(zhǎng)。圖11?10平板紊流邊界層脈動(dòng)能量斷面平衡圖[5]統(tǒng)觀圖11-9及圖11-10可以對(duì)邊界層中各種能量的轉(zhuǎn)換，增長(zhǎng)和損失得到清晰的物理圖案，同時(shí)對(duì)紊流邊界層中各個(gè)流層的不同特點(diǎn)得到更深入的理解。而耗散項(xiàng)為負(fù)值，即損失。在近壁區(qū)，產(chǎn)生項(xiàng)和耗散項(xiàng)均有最大數(shù)值，而且兩項(xiàng)數(shù)值基本相同，說(shuō)明紊流自時(shí)均流動(dòng)取得能量然后通過(guò)耗散轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芏鴵p失。時(shí)均流動(dòng)對(duì)能量的傳遞，外區(qū)比內(nèi)區(qū)稍大，但在整個(gè)斷面上數(shù)值均較小。脈動(dòng)遷移項(xiàng)在邊界層下部為損失而在邊界層上部為增長(zhǎng)，說(shuō)明脈動(dòng)能量通過(guò)脈動(dòng)由邊界層下部向邊界層上部傳遞。湍流平板邊界層的能量平衡第35頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月紊流平板邊界層中，如采用坐標(biāo)系流速為，基本方程式可由（11-5）式中得到

（11-3）但由于方程仍為非線性，求精確解仍十分困難。特別是由于紊流邊界層中存在分區(qū)結(jié)構(gòu)，因而紊流邊界層更難于完全從理論上得到解答，只能采用近似和經(jīng)驗(yàn)的方法。紊流平板邊界層的計(jì)算具有重要的實(shí)用意義，例如在流體機(jī)械的轉(zhuǎn)輪葉片流場(chǎng)與阻力的計(jì)算中，船舶摩擦阻力的計(jì)算，飛機(jī)機(jī)翼和機(jī)身的繞流流場(chǎng)和阻力計(jì)算等都以紊流平板邊界層的計(jì)算為基礎(chǔ)。湍流平板邊界層厚度與阻力第36頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月首先考慮光滑平板紊流邊界層。計(jì)算時(shí)假定自平板的前緣（x=0）開(kāi)始即為紊流邊界層。仍采用邊界層坐標(biāo)，順流方向?yàn)閤，垂直壁面的法線方向?yàn)閥。令b為板寬。普朗特的一個(gè)基本假設(shè)是平板邊界層中的流速分布與圓管內(nèi)的流速分布相同。這里只要把圓管中心最大流速換成邊界層外自由流速

，圓管半徑

以邊界層厚度

代替即可。當(dāng)然這樣做并不是十分準(zhǔn)確，因?yàn)樵谄桨暹吔鐚又写嬖谖擦鲄^(qū)，另外圓管紊流中流速分布主要決定于壓強(qiáng)梯度而平板邊界層中壓強(qiáng)梯度為零。不過(guò)流速分布的微小差別對(duì)阻力計(jì)算影響不大。這些都已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。紊流平板邊界層的動(dòng)量積分方程：（11-21）將此式積分，得：平板阻力：

（11-22）切應(yīng)力：

（11-23）湍流平板邊界層厚度與阻力第37頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由圓管中流速分布的次方律（10~15）得到光滑壁面平板邊界層內(nèi)的流速分布為：（11-24）平板邊界層的壁面切應(yīng)力也可從圓管紊流的式（10-30）導(dǎo)出，

（11-25）用（11-24）的流速分布公式，可由（3-28）式及（3-30）推出邊界層位移厚度及動(dòng)量厚度與邊界層厚度的關(guān)系：（11-26）

（11-27）

（11-28）湍流平板邊界層厚度與阻力第38頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月比較（11-25）與（11-28），得為邊界層厚度的微分方程式。假定自平板前緣即為紊流邊界層，當(dāng)，，積分此式得：

（11-29）即紊流平板邊界層厚度沿x方向的計(jì)算公式。式（4-27）的層流邊界層厚度公式比較，可見(jiàn)在紊流邊界層中邊界層厚度與x的次方成正比，而層流邊界層。紊流邊界層

中厚度沿流動(dòng)方向增長(zhǎng)比層流邊界層更為迅速。邊界層動(dòng)量厚度的計(jì)算公式為:（11-30）湍流平板邊界層厚度與阻力第39頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平板摩擦阻力由（11-22）式可知：（11-31）式中為平板長(zhǎng)度，l為平板寬度。b可見(jiàn)在紊流中，平板阻力與成比例，并與成比例。而在層流中平板阻力則與和成比例。切應(yīng)力系數(shù)：（11-32）阻力系數(shù)：

（11-33）式中的系數(shù)可根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)稍加修正，得出：（11-34）湍流平板邊界層厚度與阻力第40頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖11-11為光滑平板紊流邊界層阻力系數(shù)各家公式與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的比較。圖中①為層流邊界層的布拉休斯公式，②為普朗特紊流邊界層公式（11-34）。本節(jié)開(kāi)始曾假設(shè)自平板前緣x=0即為紊流邊界層，但事實(shí)上，不管雷諾數(shù)多大，平板首部總有一部分層流邊界層。因此對(duì)上述阻力計(jì)算須作修正。修正的方法是假定流態(tài)在某一斷面處由層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪?，從全部的紊流阻力中減去轉(zhuǎn)捩斷面以前部分的紊流阻力而代以這部分的層流阻力。圖11?11平板阻力系（4）湍流平板邊界層厚度與阻力第41頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖1111平板阻力系（4）轉(zhuǎn)捩斷面前紊流阻力與層流阻力的差值為：

為轉(zhuǎn)捩斷面的位置，為自x=0至這一段平板的紊流阻力系數(shù)，為這一段平板的層流阻力系數(shù)..阻力系數(shù)的差值為:則：（11-35）平板的實(shí)際的阻力系數(shù)為：，（11-36）湍流平板邊界層厚度與阻力第42頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（11-37）表11-1中列出了各種不同的

值時(shí)相應(yīng)的A值。在計(jì)算A值時(shí)采用在工程實(shí)踐中，平板雷諾數(shù)往往大于，因此式（11-36）不敷應(yīng)用，需要找到一個(gè)適用于更大雷諾數(shù)范圍的阻力公式。為此只要用流速的對(duì)數(shù)分布公式替代流速的次方指數(shù)分布公式，沿用前述方法即可得出大雷諾數(shù)情況下平板阻力系數(shù)的公式。由流速的對(duì)數(shù)分布\公式直接推導(dǎo)阻力公式將十分復(fù)雜，因此施利希廷根據(jù)計(jì)算結(jié)果給出一個(gè)紊流阻力的經(jīng)驗(yàn)公式：湍流平板邊界層厚度與阻力第43頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月此外還有一些其他的平板阻力公式，此處不一一列舉。圖11-11中還給出了假定時(shí)流態(tài)由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯那闆r下阻力系數(shù)的情況，曲線，此時(shí)。圖11-11中的曲線④為舒爾茨-格魯諾（F.Schultz-Grunow）[6]的阻力公式：湍流平板邊界層厚度與阻力第44頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月工程實(shí)踐中粗糙平板比光滑平板更為普遍。粗糙的定義仍如圓管紊流中對(duì)粗糙的定義，即當(dāng)粗糙雷諾數(shù)時(shí)，由于粗糙高度掩沒(méi)在粘性底層以內(nèi)而對(duì)紊流流動(dòng)不產(chǎn)生影響而稱之為水力光滑。只有當(dāng)時(shí)才稱得上為水力粗糙。在水力光滑與水力粗糙之間存在過(guò)渡區(qū)。但在粗糙平板的紊流邊界層中有一點(diǎn)與粗糙圓管紊流有著重要的區(qū)別，即在圓管中，沿程的相對(duì)粗糙度

和邊界層厚度，保持常數(shù)，粘性底層的厚度

也保持不變。在紊流粗糙平板邊界層中，由于邊界層厚度沿程增長(zhǎng)，相對(duì)粗糙度將沿程減小。而粘性底層厚度，由于沿程增長(zhǎng)沿程減小，故

沿程增長(zhǎng)。這樣，對(duì)于粗糙高度一定的粗糙平板，在平板的前部可能是完全粗糙的情形，隨著流程x的增加，經(jīng)歷一段過(guò)渡段，在距前緣相當(dāng)距離后，平板可能變?yōu)樗饣那樾巍４植谄桨逋牧鬟吔鐚拥?5頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月粗糙平板紊流邊界層的流速分布與粗糙圓管中的流速分布一樣，與光滑平板流速分布只差一個(gè)常數(shù)，即：（11-40）參見(jiàn)圖10-10?？ㄩT常數(shù)在粗糙平板中與光滑平板可取相同的數(shù)值，一般情況下。

（11-41）為粗糙雷諾數(shù)。由（11-40）及（11-41）也可導(dǎo)出粗糙平板紊流邊界層的流速分布公式為：（11-42）常數(shù)B決定于粗糙的高度、形狀及分布。粗糙平板湍流邊界層第46頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖11-12為克勞澤（F.H.Clauser）[7]給出的與關(guān)系的一組試驗(yàn)資料。由圖可以看出，時(shí)趨近于零。說(shuō)明對(duì)于粗糙平板紊流邊界層中的水力光滑區(qū)，粗糙對(duì)流速分布并無(wú)影響，與光滑平板紊流邊界層相同。在的水力粗糙區(qū),與成正比，一般說(shuō)來(lái)u=0的位置應(yīng)該在y=0與之間。第十二章中將對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的討論?？茽栃梁突固乩誟8]曾對(duì)粗糙平板紊流邊界層流動(dòng)的紊流度分布進(jìn)行了量測(cè)。量測(cè)只是在近壁區(qū)以外進(jìn)行的，其結(jié)果表示在圖11-13中。對(duì)比圖11-13與圖11-4中克萊巴諾夫在光滑平板紊流邊界層中量測(cè)的結(jié)果可以看出，粗糙平板紊流邊界層中紊流度的數(shù)值較高。但是粗糙與光滑平板紊流邊界層紊流度的比值大體上與二者的壁面切應(yīng)力之比值相同，因此如果用對(duì)二者進(jìn)行無(wú)量綱化，可得到大體相同的紊流度在斷面內(nèi)的分布。圖1112與關(guān)系試驗(yàn)結(jié)果[7]目前還找不到一個(gè)明確的規(guī)律。粗糙平板紊流邊界層的流速分布還存在一個(gè)理論零點(diǎn)，即相當(dāng)于u=0點(diǎn)的位置問(wèn)題。粗糙平板湍流邊界層第47頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月普朗特和施利希廷[9]根據(jù)尼古拉茲人工砂粒粗糙的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)圖11?13粗糙平板近壁區(qū)外紊流度分布圖[8