江蘇省常州市漕橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，集合只含有一個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.某船開始看見燈塔在南偏東方向，后來船沿南偏東的方向航行后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.一條光線從點（﹣2，﹣3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣參考答案：D【考點】圓的切線方程；直線的斜率．【分析】點A（﹣2，﹣3）關(guān)于y軸的對稱點為A′（2，﹣3），可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k（x﹣2），利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．【解答】解：點A（﹣2，﹣3）關(guān)于y軸的對稱點為A′（2，﹣3），故可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k（x﹣2），化為kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光線與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圓心（﹣3，2）到直線的距離d==1，化為24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故選：D．4.（多選題）某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.則下列選項正確的是（

）A.答對0題和答對3題的概率相同，都為B.答對1題的概率為C.答對2題的概率為D.合格的概率為參考答案：CD【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，逐項求出各事件的概率.【詳解】選項，答對0題和3題的概率為，所以選項錯誤；選項，答對1題的概率為所以選項錯誤；選項，答對2題的概率為，所以選項正確；選項，至少答對2題的概率為，所以選項正確.故選:CD.【點睛】本題考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明確各事件的關(guān)系，利用組合數(shù)求出基本事件的解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)Sn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）（n∈N*），則Sn等于(

)A．n B．﹣n C．（﹣1）nn D．（﹣1）n﹣1n參考答案：D【考點】數(shù)列的求和．【專題】計算題；函數(shù)思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用n=1，2，3驗證即可得到選項．【解答】解：當(dāng)n=1時，選項BC不成立；當(dāng)n=2時，選項A不成立，故選：D．【點評】本題考查數(shù)列求和，選擇題的解題，靈活應(yīng)用解題方法，是解題的關(guān)鍵．6.橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為(

)A． B． C．2 D．4參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；待定系數(shù)法．【分析】根據(jù)題意，求出長半軸和短半軸的長度，利用長軸長是短軸長的兩倍，解方程求出m的值．【解答】解：橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，∴，故選A．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值．7.一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中（

）A.

B.AB與CD相交C.

D.AB與CD所成的角為參考答案：D將平面展開圖還原成幾何體，易知AB與CD所成的角為，選D。8.已知復(fù)數(shù)z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虛數(shù)單位）為實數(shù)，則的值是（）A．2+π B．2+ C．π D．4+4π參考答案：C【考點】定積分．【分析】首先復(fù)數(shù)為實數(shù)，得到a，然后利用定積分的幾何意義求值．【解答】解：因為復(fù)數(shù)z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虛數(shù)單位）為實數(shù)，所以a=2，所以===π；故選：C9.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，則對于函數(shù)的描述正確的是A.在上為減函數(shù)

B.在上為減函數(shù)C.在處取得最大值

D.在處取得最小值參考答案：B10.已知，，，三角形的面積為（

）

A．

B.

C.

D.

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是一個幾何體的三視圖（側(cè)視圖中的弧線是半圓），則該幾何體的表面積是

．參考答案：20+3π【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由幾何體的三視圖，知該幾何體的上半部分是棱長為2的正方體，下半部分是半徑為1，高為2的圓柱的一半，由此能求出該幾何體的表面積．【解答】解：由幾何體的三視圖，知該幾何體的上半部分是棱長為2的正方體，下半部分是半徑為1，高為2的圓柱的一半，∴該幾何體的表面積S=5×22+π×12+=20+3π．故答案為：20+3π．【點評】本題考查由幾何體的三視圖求幾何體的表面積的求法，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．12.已知點則下列說法正確的是

①

②③④當(dāng)參考答案：③④13.直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________參考答案：14.如圖是一個算法的流程圖，若輸出的結(jié)果是31，則判斷框中的整數(shù)的值是

參考答案：415.要做一個母線長為30cm的圓錐形的漏斗，要使其體積最大，則其底面半徑為

cm．參考答案：10

【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】設(shè)出圓錐的高，求出底面半徑，推出體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出體積的最大值時的高即可．【解答】解：設(shè)圓錐的高為hcm，∴V圓錐=π×h，∴V′（h）=π．令V′（h）=0，得h2=300，∴h=10（cm）當(dāng)0＜h＜10時，V′＞0；當(dāng)10＜h＜30時，V′＜0，∴當(dāng)h=10，r=10cm時，V取最大值．故答案為10．16.如圖，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是

***

。參考答案：略17.設(shè)函數(shù)，若對所有都有，則實數(shù)a的取值范圍為

.

參考答案：(－∞,2]令函數(shù)，，，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，由F(0)=0,即恒成立，符合。當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以=0有唯一根，設(shè)為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，而。所以，不符。所以。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=2，AC=PA=4．（1）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．參考答案：以A為原點，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，射線AP為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），利用向量法求解解：（1）如圖，以A為原點，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，射線AP為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，…則P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），故，由x軸⊥平面PAC得平面PAC的一個法向量為，…設(shè)直線PB與平面PAC所成角為α，則sinα=|cos|=||==，即直線PB與平面PAC所成角的正弦值為．…（2）∵，，設(shè)=（x，y，z）為平面PBC的一個法向量，則，，可取為平面PBC的一個法向量，…可知平面PAC的一個法向量為，設(shè)二面角A﹣PC﹣B的平面角為β，則β為銳角，則cosβ=|cos＜，＞|=，即二面角A﹣PC﹣B的余弦值為．…

19.（本小題滿分12分）2009年推出一種新型家用轎車，購買時費用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共0.7萬元，汽車的維修費為：第一年無維修費用，第二年為0.2萬元，從第三年起，每年的維修費均比上一年增加0.2萬元.

（I）設(shè)該輛轎車使用n年的總費用（包括購買費用、保險費、養(yǎng)路費、汽油費及維修費）為f(n)，求f(n)的表達(dá)式；

（II）這種汽車使用多少報廢最合算（即該車使用多少年，年平均費用最少）？參考答案：解析：（I）由題意得：每年的維修費構(gòu)成一等差數(shù)列，n年的維修總費用為

（萬元）

…………3分

所以

（萬元）

…………6分

（II）該輛轎車使用n年的年平均費用為

…………8分

=3（萬元）

…………10分

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時n=12答：這種汽車使用12年報廢最合算.

…………12分

20.（本小題滿分12分）設(shè)A、B是拋物線y2=2px(p＞0)上的兩點，滿足OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點).求證：(1)A、B兩點的橫坐標(biāo)之積為；

(2)直線AB經(jīng)過一個定點.參考答案：19.證明:(1)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則y12=2px1、y22=2px2.

∵OA⊥OB,

∴x1x2+y1y2=0,

y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).

∴y1y2=-4p2,從而x