初中數(shù)學變式教學初中數(shù)學變式教學1一、對變式教學的理解數(shù)學變式教學，是指通過不同角度、不同的側面、不同的背景，從多個方面變更所提供的數(shù)學對象或數(shù)學問題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質特征發(fā)生變化而本質特征保持不變的教學形式.1.1數(shù)學變式教學的本質含義一、對變式教學的理解數(shù)學變式教學，是指通過不同角度、2一、對變式教學的理解1.2初中數(shù)學變式教學的意義

★初中數(shù)學變式教學，對提高學生的思維能力、應變能力是大有益處．

★變式教學在教學過程中不僅是對基礎知識、基本技能和思維的訓練，而且也是有效實現(xiàn)新課程三維教學目標的重要途徑．一、對變式教學的理解1.2初中數(shù)學變式教學的意義3一、對變式教學的理解【案例1】在“坐標系內的圖形對稱”的中考專題復習課中，筆者設計了如下的題目題目點P（x，y）關于x軸對稱的點的坐標是

；關于y軸對稱的點的坐標是

；關于原點對稱的點的坐標是

.變式1

直線y=2x-1關于x軸對稱的直線的解析式是

；關于y軸對稱的直線的解析式是

；關于原點對稱的直線的解析式是

.變式2

將直線y=2x-1改為雙曲線y=1/x，其它不變.變式3

將直線y=2x-1改為拋物線y=3x2+2x-1，其它不變.變式4

上述函數(shù)圖象關于x軸對稱的有

；…一、對變式教學的理解【案例1】在“坐標系內的圖形對稱”的4一、對變式教學的理解【案例2】浙教版七（上）7.8

平行線：課內練習第3題：如圖，在△ABC中，P是AC邊上的一點，過點P分別畫AB，BC的平行線.QR一、對變式教學的理解【案例2】浙教版七（上）7.8平行線5二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則2.2可行性原則二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則6二、變式教學要遵循的原則2.1

針對性原則

【案例3】原題如圖1，在銳角三角形紙片ABC中，將紙片折疊，使點A落在對邊BC上的點D處，折痕交AB于點E，交AC于點F，折痕EF//BC，連接AD、DE、DF.（1）求證：線段EF是△ABC的中位線.（2）線段AD、BC有何關系？并證明你的結論.（3）若AB=AC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并加以證明.二、變式教學要遵循的原則2.1針對性原則【案例3】原題7二、變式教學要遵循的原則

變式1

試一試，你能用一張銳角三角形紙片折出他的四條重要線段：角平分線、中線、高、中垂線嗎？能利用折紙確定三角形的“四心”嗎？變式2

如圖2，在鈍角三角形紙片ABC中，將紙片折疊，使點A落在邊BC的延長線上的D處，折痕交AB于點E,交AC于點F,折痕EF//BC,連接CE、DE、DF,且BC=2CD.

(1)圖中有幾個等腰三角形？試寫出.（不能添加字母和輔助線，不要求證明）(2)

若AC=BC，試判斷四邊形EFDC的形狀，并證明你的結論.2.1

針對性原則二、變式教學要遵循的原則變式1試一試，你能用一張銳8二、變式教學要遵循的原則變式3

如圖3，將邊長為a的等邊三角形折疊，使點A落在邊BC的點D上，且BD:DC=m:n.設折痕為MN,求AM:AN的值.2.1

針對性原則二、變式教學要遵循的原則變式3如圖3，將邊長為a的等9二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

【案例4】

原題有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm.

要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上。問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則【案例4】原10二、變式教學要遵循的原則

變式1

將原題中“正方形PQMN”改為“矩形PQMN”．問矩形的長和寬分別為多少時，所截得的矩形面積最大？最大面積是多少？余料的利用率是多少？2.2

可行性原則二、變式教學要遵循的原則變式1將原題中“11二、變式教學要遵循的原則

變式2

一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲乙兩位同學設計加工方案，甲設計方案如圖（1）所示，乙設計方案如圖（2）所示。你認為哪位同學設計的方案較好？試說明理由．（加工損耗忽略不計，計算結果可保留分數(shù)）2.2可行性原則圖（1）圖（2）二、變式教學要遵循的原則變式2一塊直角三12二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

變式3

已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，如圖所示，把邊長分別為x1,x2,x3,…xn的n個正方形依次放入△ABC中，則第1個正方形的邊長x1=

；第n個正方形的邊長xn=

(用含n的式子表示，n≥1)．二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則變式313二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則變式4

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.

（1）如圖（1），四邊形DEFG為Rt△ABC的內接正方形，求正方形的邊長．（2）如圖（2），三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長．（3）如圖（3），三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長．圖（1）圖（2）圖（3）二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則14二、變式教學要遵循的原則2.3

參與性原則圖①變式5

在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）如圖①，若半徑為r1的⊙O1是Rt△ABC的內切圓，求r1．二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則圖①變式15二、變式教學要遵循的原則2.3

參與性原則圖②（2）如圖②，若半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2.（3）如圖③，當n大于2的正整數(shù)時，若半徑rn的n個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、BC相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On－1均與AB邊相切，求rn.圖③二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則圖②（2）如圖②16二、變式教學要遵循的原則2.3

參與性原則

變式6

有一塊直角三角形的白鐵皮，其一條直角邊和斜邊長分別為60cm和100cm.若從這塊白鐵皮上剪出一塊盡可能大的圓鐵皮，這塊圓鐵皮的面積有多大？從余下的白鐵皮中再剪出一塊盡可能大的圓鐵皮，這塊圓鐵皮的半徑是多少？

二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則變17二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則

變式7

在變式3的基礎上再剪出一塊圓鐵皮⊙O3，⊙O3與⊙O2外切，與∠BAC的兩邊相切，求⊙O3的半徑；若照此要求作下去，求⊙On的半徑rn的大小.二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則18三、變式教學中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平方根”概念的教學【案例6】“矩形”的概念教學三、變式教學中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平19三、變式教學中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平方根”概念的教學正方形面積416494/250.81邊長x2416494/250.81x三、變式教學中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平方20三、變式教學中七種變式舉例3.1概念變式【案例6】“矩形”的概念教學三、變式教學中七種變式舉例3.1概念變式【案例6】“矩形21三、變式教學中七種變式舉例3.2過程變式【案例7】“等腰三角形的判定”的教學三、變式教學中七種變式舉例3.2過程變式【案例7】“等腰22（1）模式化的定理教學復習性質定理、給出判定命題師生進行思路分析通過論證得出定理應用定理做練習等腰三角形的兩個底角相等有兩個角相等的三角形是等腰三角形寫成已知求證的形式：已知：在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=ACACB（1）模式化的定理教學復習性質定理、給出判定命題等腰三角形的23（2）用情境問題引發(fā)興趣如何復原一個被墨跡浸漬的等腰三角形？學生的三種“補出”方法：只剩一個底角和一條底邊①量出∠C度數(shù)，畫出∠B＝∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點A②作BC邊上的中垂線，與∠C的一邊相交得到頂點A③“對折”（2）用情境問題引發(fā)興趣如何復原一個被墨跡浸漬的等腰三角形？24（3）多種證法激活創(chuàng)造力三種常規(guī)的辦法：兩種創(chuàng)造性的證法：①作∠A的平分線，利用“角角邊”②過A作BC邊的垂線，利用“角角邊”③作BC邊上的中線，“邊邊角”不能證明④假定AB>AC,由“大邊對大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，應用“角邊角”ACB（3）多種證法激活創(chuàng)造力三種常規(guī)的辦法：兩種創(chuàng)造性的證法：①25（4）用變式練習分步解決問題不斷變換題目的條件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么結論？過O作直線EF∥BC。①圖中有幾個等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間有何關系？(學生編題)若∠B與∠C不相等。

①圖中有沒有等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間還有沒有關系？(學生討論)（4）用變式練習分步解決問題不斷變換題目的條件：△ABC中，26三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形高的概念圖形與非概念圖形等【案例9】二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認識【案例10】從勾股定理到圖形面積關系的拓展三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形27三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形高的概念圖形與非概念圖形等三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形28三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例9】二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認識三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例9】二次函29三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾股定理到圖形面積關系的拓展勾股定理也可以表述為：如果以直角三角形的三條邊a,b,c為邊，向形外分別作正方形，那么以兩直角邊a,b為邊長的兩個正方形的面積之和，等于以斜邊c為邊長的正方形的面積．即S1+S2=S3探索1：如果以直角三角形的三條邊a,b,c為邊，向形外分別作正三角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？探索2：如果以直角三角形的三條邊a,b,c為直徑，向形外分別作三個半圓，那么是否存在S1+S2=S3呢？《幾何原本》中的結論：在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角上所畫的與其相似的圖形的面積之和．三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾30三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾股定理到圖形面積關系的拓展中考舉例例1（2009宜賓）已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3,則圖中陰影部分的面積為

．例2（2009湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值等于

．CABS1S2三、變式教學中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾31三、變式教學中七種變式舉例3.4結構變式【案例11】圓中的有關結論【案例12】二次三項式x2+(a+b)x+ab的因式分解

三、變式教學中七種變式舉例3.4結構變式【案例11】圓中32三、變式教學中七種變式舉例3.4結構變式【案例12】圓中的有關結論三、變式教學中七種變式舉例3.4結構變式【案例12】圓中33三、變式教學中七種變式舉例3.4結構變式【案例12】二次三項式x2+(a+b)x+ab的因式分解

原題：x2+4x+

中添上什么數(shù)就可以使這個式子用公式法分解．變式1：如果添上的數(shù)不是4而是3，即x2+4x+3，還能不能分解？變式2：把x2+4x+3改為x2-5x-6，又如何分解呢？變式3：分解因式：x2+(a+b)x+ab．三、變式教學中七種變式舉例3.4結構變式【案例12】二次34三、變式教學中七種變式舉例3.5題目變式題目變式包括條件的探究（增加、減少或變更條件）、結論的探究（結論是否唯一）、數(shù)與形的探究、引申探究（命題是否可以推廣）等．

三、變式教學中七種變式舉例3.5題目變式題目變式35一般地說，幾何問題的演變策略通常有以下六種：條件的弱化或強化；結論的延伸與拓展；圖形的變式與延伸；條件與結論的互換；基本圖形的構造應用；多種演變方法的綜合．三、變式教學中七種變式舉例3.5題目變式一般地說，幾何問題的演變策略通常有以下六種：三、變式教學中七36怎么樣來應用習題演變策略圖1

【案例13】已知：如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求證：△CAB≌△ECD.怎么樣來應用習題演變策略圖1【案例13】已知：如圖1，在37鏈接中考1.

如圖，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，邊長分別是a、b、c．A、B、N、E、F五點在同一條直線上，則c=

.

(用含有a、b的代數(shù)式表示)aDCBAMcNEFbGH2．如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°,

AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2,

l2，l3之間的距離為3,則AC的長是

(

)

A．

B．

C．

D．7l1l2l3ACB鏈接中考1.如圖，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正38怎么樣來應用習題演變策略（一）條件的弱化或強化當一個命題成立的條件較為豐富時，可考慮減少其中一兩個條件，或將其中的一兩個條件“一般化”，并確定相應的命題結論，從而加工概括成新命題以求拓展應用．1.條件的弱化怎么樣來應用習題演變策略（一）條件的弱化或強化當一個391.1

弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結論由三角形全等弱化為三角形相似變式1

如圖2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求證：△CAB～△ECD.圖21.1弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結論由三角形全40試題1

如圖3，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設BP的長為xcm,CQ的長為ycm．（1）求點P在BC上運動的過程中y的最大值；（2）當y=1/4cm時，求x的值．

圖3鏈接中考試題1如圖3，正方形ABCD的邊長為4cm，點P41

試題2

如圖4,邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐標原點,點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上．動點D在線段BC上移動（不與點B，C重合），連接OD，過點D作DE⊥OD,交邊AB于點E，連接OE.記CD的長為t..圖4（1）當t=1/3時,求直線DE的函數(shù)表達式．（3）當OD2+DE2的算術平方根取最小值時，求點E的坐標．（2）如果記梯形COEB的面積為S，那么S是否存在最大值？若存在,試求出這個最大值及此時t的值;若不存在,試說明理由．x鏈接中考試題2如圖4,邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐42

試題3

已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線的同側，分別過這兩點作的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點，連結AD、AE、DE，且∠AED=90°．（1）如圖①，如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3，求AD的長．（2）如圖②，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明.再探究：當A、D分別在直線兩側且AB≠CD，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明．.鏈接中考lABCDE（1）ClABDE（2）試題3已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線的同側，43

變式2

如圖5，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE.1.2

弱化條件“直角”，則“全等”結論仍然成立

圖5

變式2如圖5，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的44

試題3

如圖6，△ABC為等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，CA，AB上，且△DEF也為等邊三角形．（1）除已知等邊三角形的邊相等以外，請你猜想還有哪些線段相等，并證明你的結論；圖6（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變換相互得到？寫出變換過程．鏈接中考試題3如圖6，△ABC為等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別452.3

同時弱化條件“線段相等”和“直角”,則結論由全等弱化為相似

變式3

如圖7，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．

圖7

2.3同時弱化條件“線段相等”和“直角”,則結論由全等弱化46

試題4如圖8，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，D為AC邊上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,則△ABC的邊長為（）

A．3

B．4

C．5

D．6

圖8鏈接中考試題4如圖8，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，47

試題5

如圖9，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點D在BC上運動（不能到達點B,C）,過點D作∠ADE=45°,DE交AC于點E．

(1)求證：△ABD∽△DCE;(2)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數(shù)關系式．

圖9鏈接中考試題5如圖9，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A48

試題6

在等腰△ABC

中，AB=AC=8,∠BAC=120°,P

為BC的中點．小惠拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在點P．（1）如圖10（1），當三角板的兩邊分別交AB,AC于點E,F時，求證：△PBE∽△FCP

；（2）操作：將三角板繞點P旋轉到圖10（2）情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E,F．①探究1：△PBE與△CFP還相似嗎？②探究2：連接EF,△PBE與△EFP是否能相似？試說明理由？③設EF=m,△EPF的面積為S,試用含m

的代數(shù)式表示S．圖10試題6在等腰△ABC中，AB=AC=8,49試題7如圖11，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD,AB=10，BC=3．（1）如圖11(1)，如果M為AB上一點，且滿足∠DMC=∠A,求AM的長；（2）如圖11(2)，如果點M在AB邊上移動（點M與A，B不重合），且滿足∠DMN=∠A，MN交BC的延長線于點N，設AM=x，CN=y，求y關于x的函數(shù)解析式．

圖11鏈接中考試題7如圖11，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，A50怎么樣來應用習題演變策略2.條件的強化針對基本問題及變式問題中的線段、角等幾何元素，通過給定其已知數(shù)據(jù)（長度、角度等），或設計成實際應用問題等手段，強化問題的條件，考查學生綜合應用知識解決問題的能力．（一）條件的弱化或強化怎么樣來應用習題演變策略2.條件的強化針對基51

變式4

如圖12，在筆直的公路的同側有A，B兩個村莊，已知A，B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km．（1）現(xiàn)要在公路上建一個汽車站P，使該車站到A，B兩村的距離相等，試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點P（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若連接AP，BP，測得∠APB=900,求A村到車站P的距離．圖12變式4如圖12，在筆直的公路的同側有A，B兩個村莊，52

試題8

如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10.直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與點A不重合），一直角邊經(jīng)過點C，另一直角邊與AB交于點E.我們知道，結論“Rt△EPA∽Rt△PCD”成立．（1）當∠CPD=300時，求AE的長；（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，試說明理由．鏈接中考試題8如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=53怎么樣來應用習題演變策略（二）結論的延伸與拓展考慮到習題中的結論是兩個三角形全等，根據(jù)全等性質，可對問題的結論做進一步的延伸與拓展．怎么樣來應用習題演變策略（二）結論的延伸與拓展考慮到54

變式5

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，AD⊥MN

，垂足為D，BE⊥MN

，垂足為E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖14(1)的位置時，求證：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）當直線MN繞點C旋轉到圖14(2)的位置時，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關系？試寫出這個等量關系，并加以證明．圖14變式5在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，55怎么樣來應用習題演變策略（三）圖形的變式延伸結合基本圖形所具有的特殊性，可作一系列的變化，如將習題中的△ABC和△CDE相向移動交叉重疊，如圖15所示．圖15怎么樣來應用習題演變策略（三）圖形的變式延伸結合基本56圖15試題9

問題背景某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：如圖16(1)，在正△ABC中，M，N分別是AC，AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=600

，則BM=CN；②如圖16(2)，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=900，則BM=CN；然后運用類比的思想提出了如下命題：③如圖16(3)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=1080，則BM=CN．

任務要求

（1）請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：①試在圖16(3)中畫出一條與CN相等的線段DH，使點H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的一個角是1080，這樣的線段有幾條？②如圖16(4)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，DA上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=1080

，請問結論BM=CN是否還成立？若成立，試給予證明；若不成立，試說明理由．圖15試題9問題背景某課外學習小組在一次學習研討中，57怎么樣來應用習題演變策略（四）條件與結論的互換建立并研究討論幾何命題的逆命題，這是幾何命題教學中最為常見的一種演變方法．如對勾股定理及其逆定理的研究，平行線的性質定理與判定定理的研究，平行四邊形的性質定理與判定定理的研究，特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）性質定理與判定定理的研究等，都是這種演變策略的經(jīng)典應用．怎么樣來應用習題演變策略（四）條件與結論的互換58

試題10

如圖17(1)、圖17(2)、圖17(3)中，點E，D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于點P．

(1)求圖17(1)中,∠APD的度數(shù)；（2)圖17(2)中，∠APD的度數(shù)為

，圖17(3)中，∠APD的度數(shù)為

；

(3)根據(jù)前面的探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況．若能，寫出推廣問題和結論；若不能，試說明理由．圖17試題10如圖17(1)、圖17(2)、圖159怎么樣來應用習題演變策略（五）基本圖形的構造應用幾何綜合性問題通常是由若干個基本問題組合而成，其圖形也是由若干個基本圖形組合而成，因而，學生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時，還應具備必需的添加輔助線構造基本圖形的技能.怎么樣來應用習題演變策略（五）基本圖形的構造應用60

試題11

如圖18，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，AD=9，BC=12，AB=a，在線段BC上任取一點P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點E.（1）若設CP=x，BE=y

，試寫出y關于自變量x的函數(shù)關系式.（2）若在線段BC上能找到不同的兩點P1，P2，使按上述作法得到的點E都與點A重合，試求出此時a的聚會范圍.圖18鏈接中考試題11如圖18，在梯形ABCD中，AD∥BC，61試題12

如圖21，∠MON=900，在∠MON的內部有一正方形AOCD，點A，C分別在射線OM，ON上，點B1是ON上的任意一點，在∠MON的內部作正方形AB1C1D1．（1）連接D1D，求證：∠ADD1=900;（2）連接CC1，猜一猜，∠C1CN的度數(shù)是多少？并證明你的結論．（3）在ON上再任取一點B2，以AB2為邊，在∠MON的內部作出正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結合(1)、(2)的結論，請你再作出一個合理的判斷．圖21試題12如圖21，∠MON=900，在∠MON的內部有一正62怎么樣來應用習題演變策略（六）多種演變方法的綜合習題的演變要適時、適度，要遵循科學性原則和學生的認知規(guī)律，不可脫離學生知識和能力水平的實際，因此，在對例習題教學功能的挖掘方面教師們常常需要綜合使用多種變式方法，實施習題演變策略.怎么樣來應用習題演變策略（六）多種演變方法的綜合習題63圖1三、變式教學中七種變式舉例【案例14】如圖1，A,C,B三點在一條直線上，△DAC和△EBC均為等邊三角形，AE，BD分別與CD，CE交于點M，N，有如下結論①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN.其中，正確結論的個數(shù)是（）（A）3（B）2（C）1（D）0圖1三、變式教學中七種變式舉例【案例14】如圖1，A,C,64圖2三、變式教學中七種變式舉例例2結論的探究（1）圖1中全等的三角形有幾對？（2）如圖2，連接MN，猜想△CMN的形狀.（3）猜想MN和直線AB的位置關系.（4）猜想∠EFB的度數(shù).（5）圖2中相似的三角形有哪些？（6）若已知△DAC和△EBC的邊長分別為a和b，試求MN的長.圖2三、變式教學中七種變式舉例例2結論的探究（1）圖1中全等65三、變式教學中七種變式舉例例2條件的探究圖3

探究1：如圖3，當A，C，B三點不共線時，以上探討的一系列結論哪些仍然成立？哪些不成立？三、變式教學中七種變式舉例例2條件的探究圖3探究1：如66探究2：在上題中，若將圖中的“等邊三角形”改成“正方形”、“正五邊形”（如圖4、圖5所示），以上探討的結論還成立嗎？圖4圖5三、變式教學中七種變式舉例探究2：在上題中，若將圖中的“等邊三角形”改成“正方67例2的幾個變式變式1：如圖6或圖7，已知：△ABD，△ACE都是等邊三角形，求證：CD=BE.圖6圖7三、變式教學中七種變式舉例例2的幾個變式變式1：如圖6或圖7，已知：△ABD，68變式2：如圖8，點A為線段CB延長線上一點，分別以BC，AC為邊在直線BC異側作等邊△BCD和等邊△ACE，求證：AD=BE.圖8三、變式教學中七種變式舉例變式2：如圖8，點A為線段CB延長線上一點，分別以B69變式3：如圖9，點A為線段BC上一點，△ABD和△ACE都是等腰三角形，且AB，AD與AC，AE分別是等腰三角形的腰，且△ABD∽△ACE，求證：CD=BE.

圖9三、變式教學中七種變式舉例變式3：如圖9，點A為線段BC上一點，△ABD和△A703.6

方法變式所謂“方法變式”就是把同一個問題的不同解決過程作為變式，將各種不同的解決方法聯(lián)結起來（“一題多解”）.三、變式教學中七種變式舉例3.6方法變式所謂“方法變式”就是把同一個71三、變式教學中七種變式舉例

【案例15】如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖10三、變式教學中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△A72三、變式教學中七種變式舉例【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖11思路1：（延長法）如圖11，延長CE至點D′,使ED′=CE，連接AD′，BD′，則CD′=2CE，然后利用△CBD′≌△CBD，得出CD′=CD即可.三、變式教學中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△A73三、變式教學中七種變式舉例

【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.思路2：（截取法）如圖12，取CD的中點E′，連接BE′，利用△CBE′≌△CBE，得出CE′=CE，而，得證.圖12三、變式教學中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△74三、變式教學中七種變式舉例

【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖13思路3：(利用三角形中位線的性質)如圖13，構造△DFG，使E，C分別是DF，DG的中點，連接CF，則FG=2CE，CG=CD，只要證FG=CG即可.三、變式教學中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△75三、變式教學中七種變式舉例

【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖10

思路4：（相似法）如圖10，利用△AEC∽△ACD，相似比為1︰2，得，得證.

三、變式教學中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△76三、變式教學中七種變式舉例3.7

思維變式思維變式往往指的是以上幾種變式的綜合，尤其是題目變式（“多題一解”）與方法變式（“一題多解”）.在數(shù)學教學過程中，利用此類變式問題可培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，使學生舉一反三、融會貫通，從而更好地挖掘學生的潛能，提高學生的綜合素質.三、變式教學中七種變式舉例3.7思維變式思77【案例16】

如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一動點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分別為D，E.CF為AB邊上的高線.求證：PD+PE=CF.

圖14三、變式教學中七種變式舉例

證法1（截長法）過點P作PH⊥FC于點H容易證明四邊形DPHF是矩形.∴PD=FH.也容易證得△PEC≌Rt△CHP，∴PE=CH.∴PD+PE=FH+CH=CF.【案例16】如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上78

證法2（截長法）過點D作DK∥BC交CF于點K,則易證四邊形DPCK是平行四邊形.∴PD=CK，DK=PC.∵DK∥BC，∴∠FDK=∠B=∠PCE.又∵∠DFK=∠CEP=90°,∴Rt△DFK≌Rt△CEP.∴FK=PE∴PD+PE=CK+FK=CF.例4如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一動點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分別為D，E.CF為AB邊上的高線.求證：PD+PE=CF.三、變式教學中七種變式舉例

圖14證法2（截長法）過點D作DK∥BC交CF于點K,則易79

圖14三、變式教學中七種變式舉例

證法3（補短法）過點C作CG⊥

DP，交DP的延長線于點G.容易證得四邊形DGCF是矩形.∴FC=DG=PD+PG.∴CG∥AB.∴∠PCG=∠B=∠∠ACP.∴Rt△PGC≌Rt△PEC.∴PG=PE.∴FC=PD+PE.例4如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一動點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分別為D，E.CF為AB邊上的高線.求證：PD+PE=CF.圖14三、變式教學中七種變式舉例證法3（補短法）80證法4（面積割補法）證法5（三角函數(shù)法）

證法6（比例化歸法）

解法比較：證法1-3都是求證“一條線段等于另外兩條線段和”問題的通法，蘊涵了解決這類問題的基本策略；證法4-6充分利用了題設條件的特殊性，如證法4—面積割補法，這是由高線想到的；證法5—三角函數(shù)法，這是由等腰三角形兩底角相等想到的；證法6—比例化歸法，這是由三個三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面積既是本例的特殊解法，更是所有這些解法中的本質解法.三、變式教學中七種變式舉例證法4（面積割補法）證法5（三角函數(shù)法）證法6（比例化歸法81

變式1

如圖15，在△ABC中,AB=AC,點P在BC的延長線上,過點P作PE⊥AC,交AC延長線于E點,過點P作PD⊥AB于點D,CF是AB邊上的高線.那么PD,PE和CF存在什么關系？寫出你的猜想并加以證明.

圖15三、變式教學中七種變式舉例變式1如圖15，在△ABC中,AB=AC,點P在B82

圖16三、變式教學中七種變式舉例

變式2

如圖16,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,點P為BC邊上的一點,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD，垂足分別為E,F,G.（1）求證：PE+PF=BG；（2）若P是CB延長線上的一點,其它條件不變,那么PE,PF,BG之間有何關系?證明你的結論.圖16三、變式教學中七種變式舉例變式2如圖1683

圖16

變式3

如圖16,在△ABC中,AB=AC=3,點P是BC邊上的一個動點(不與點B、C重合）,PE∥AB,PF∥AC,分別交AC、AB于點E、F,求PE+PF的長,通過計算,能得出關于PE+PF的長的結論嗎？三、變式教學中七種變式舉例圖16變式3如圖16,在△ABC中,三、變式教84

變式4

如圖17，點P為正三角形ABC內任一點，PD、PE、PF分別垂直BC、AC、AB于點D、E、F，h為△ABC的高.

求證：PD+PE+PF=h.

圖17三、變式教學中七種變式舉例變式4如圖17，點P為正三角形ABC內任一點，PD8523456變式5

如圖18,已知正六邊形ABCDEF的邊長為a,點P為正六邊形內的任意一點,過P點分別作AB、BC、CD、DE、EF、FA邊的垂線,垂足分別為P1、P2、P3、P4、P5、P6，求證：PP1+PP2+PP3+PP4+PP5+PP6=

圖18三、變式教學中七種變式舉例23456變式5如圖18,已知正六邊形ABCDEF86

變式6

如圖19，點P是正n

邊形A1A2A3…An內任意一點，過點P分別作A1A2、A2A3、…、AnA1邊的垂線PP1、PP2、…、PPn，垂足分別為P1、P2、…、Pn，求證：PP1+PP2+…+PPn為定值.

圖1932n123n三、變式教學中七種變式舉例變式6如圖19，點P是正n邊形A1A2A3…An8724531

變式7

如圖20,已知正六邊形ABCDEF的邊長為a,點P為正六邊形AB邊上的任意一點,過P點分別作BC、CD、DE、EF、FA邊的垂線,垂足分別為P1、P2、P3、P4、P5,求證：PP1+PP2+PP3+PP4+PP5=a。

圖20三、變式教學中七種變式舉例24531變式7如圖20,已知正六邊形ABCDEF88

變式8

如圖21，正n邊形A1A2A3…An，點P是正n邊形A1A2邊上的任意一點，過點P分別作A2A3、A3A4、…、AnA1邊的垂線PP1、PP2、…、PPn-1，垂足分別為P1、P2、…、Pn-1，求證：PP1+PP2+…+PPn-1為定值.

圖21三、變式教學中七種變式舉例1234n12n-11變式8如圖21，正n邊形A1A2A3…An，點P89四、變式教學要把握好三個“度

”4.1

變式的數(shù)量要“適度”4.2

問題設計要有“梯度”

4.3

要提高學生的“參與度”四、變式教學要把握好三個“度”4.1變式的數(shù)量要“適度90四、變式教學要把握好三個“度

”

【案例17】原題（滬科版《數(shù)學》九（上）P76例2）如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的長、寬之比為2：1，并且矩形長的一邊位于BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上.求這個矩形零件的長與寬.4.1變式的數(shù)量要“適度”四、變式教學要把握好三個“度”【案例17】原題（91四、變式教學要把握好三個“度

”變式1如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的長、寬之比為2：1，并且矩形長的一邊位于BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上．（1）求這個矩形的周長；（2）求這個矩形的面積；（3）求△APQ的面積．變式方法1：在原題的條件下，挖掘所求的結論四、變式教學要把握好三個“度”變式1如92四、變式教學要把握好三個“度

”變式2如圖，一塊鐵皮呈三角形，∠BAC=900，要把它加工成矩形零件，使矩形一邊位于BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上。試問：PS、BS、CR之間有何關系？為什么？變式方法2：在改變原題條件之下，充分挖掘所求結論四、變式教學要把握好三個“度”變式2如圖93四、變式教學要把握好三個“度

”變式3如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一邊位于BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上．求這個矩形面積的最大值．

變式4如圖，△ABC中，點P、Q分別在AB、AC上，S、R在BC上，四邊形PQRS是矩形，若矩形PQRS的面積與△APQ的面積相等，求PQ：BC的值．變式5

如圖，△ABC中，點P、Q分別在AB、AC上，S、R在BC上，PQRS是矩形，若PQ:BC=2:3，求矩形PQRS面積與△APQ的面積比值．四、變式教學要把握好三個“度”變式3如圖94四、變式教學要把握好三個“度

”變式6如圖，一塊鐵皮呈現(xiàn)銳角三角形，它的邊BC=12cm，高AD=8cm，要求加工的矩形一邊在BC上，另外兩個頂點在AB、AC上.（1）試問：這個三角形能否加工成一個周長為20cm的矩形零件？理由是什么？變式方法3：在原題的基礎上，適當改變條件和結論，將題型設置為探究性問題

（2）在（1）的結論下，能否用余下的材料再拼成一個與原矩形大小一樣的矩形？若能，試給出一種拼法；若不能，說明理由.四、變式教學要把握好三個“度”變式6如圖，一塊鐵皮95四、變式教學要把握好三個“度

”

變式7如圖，一塊鐵皮呈現(xiàn)銳角三角形，它的邊BC=12cm，高AD=8cm，要求加工成的矩形一邊在BC上，另外兩個頂點在AB、AC上.（1）試問：這個三角形能否加工成一個面積為24cm2的矩形零件？能否加工成一個面積為32cm2的矩形？理由是什么？

（2）從（1）的結論中，試猜想這個三角形內接的矩形面積與原三角形面