第四章向量組的線性相關(guān)性上頁下頁返回引例首頁結(jié)束鈴§1向量組及其線性組合§2向量組的線性相關(guān)性§3向量組的秩§4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§5向量空間第四章向量組的線性相關(guān)性上頁下頁返回引例首頁結(jié)束鈴§1§4.1向量組及其線性組合或aT

(a1

a2

an)

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

其中a稱為列向量(即列矩陣)

aT稱為行向量(即行矩陣)

由數(shù)組a1

a2

an所組成的n維向量可記為上頁下頁鈴結(jié)束返回補充例題首頁§4.1向量組及其線性組合或aT(a1a2

(1)列向量用黑體小寫字母a、b、

、

等表示

行向量則用aT、bT、

T、

T等表示

所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時

都當(dāng)作列向量

或aT

(a1

a2

an)

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

其中a稱為列向量(即列矩陣)

aT稱為行向量(即行矩陣)

由數(shù)組a1

a2

an所組成的n維向量可記為說明下頁(1)列向量用黑體小寫字母a、b、、等表

(2)分量全為實數(shù)的向量稱為實向量

分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量

或aT

(a1

a2

an)

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

由數(shù)組a1

a2

an所組成的n維向量可記為說明

(3)規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)則進行運算

其中a稱為列向量(即列矩陣)

aT稱為行向量(即行矩陣)

下頁(2)分量全為實數(shù)的向量稱為實向量分量為向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

向量組若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組

向量舉例

一個m

n矩陣對應(yīng)一個m維列向量組也對應(yīng)一個n維行向量組

下頁

向量向量組向量舉例一個mn矩陣對應(yīng)一個向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

向量組若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組

向量舉例

一個m

n矩陣對應(yīng)一個m維列向量組也對應(yīng)一個n維行向量組

下頁

向量向量組向量舉例一個mn矩陣對應(yīng)一個向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

向量組若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組

向量舉例

一個m

n矩陣對應(yīng)一個m維列向量組也對應(yīng)一個n維行向量組

下頁今后

由列向量組A

a1

a2

am所構(gòu)成的矩陣簡記為A或(a1

a2

am)

向量向量組向量舉例一個mn矩陣對應(yīng)一個線性組合與線性表示設(shè)A

a1

a2

am是一向量組

表達式

k1a1

k2a2

kmam

稱為向量組A的一個線性組合其中k1

k2

km是一組實數(shù)

稱為這線性組合的系數(shù)

如果向量b是向量組A的線性組合b

1a1

2a2

mam

則稱向量b能由向量組A線性表示

下頁

問題:

如何判斷向量b能否由向量組A線性表示？線性組合與線性表示如果向量b是向量組A的線性定理1

向量b能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是矩陣A

(a1

a2

am)與矩陣B

(a1

a2

am

b)的秩相等

即R(A)

R(B)

向量b能由向量組A

a1

a2

am線性表示線性方程組x1a1

x2a2

xmam=b有解R(A)=R(B)分析：定理1向量b能由向量組Aa1a2

例1

設(shè)a1

(1

1

2

2)T

a2

(1

2

1

3)T

a3

(1

1

4

0)T

b

(1

0

3

1)T

證明向量b能由向量組a1

a2

a3線性表示

并求出表示式

設(shè)A

(a1

a2

a3)

B

(A

b)

(a1

a2

a3

b)

因為所以R(A)

R(B)

因此向量b能由向量組a1

a2

a3線性表示

由上列行最簡形

可得方程(a1

a2

a3)x

b的通解為從而得表示式

b

(a1

a2

a3)x

(

3c

2)a1

(2c

1)a2

ca3

其中c可任意取值

解

下頁例1設(shè)a1(1122)T

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁問題:

如何判斷向量組B能否由向量組A線性表示？等價？

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組B組能由向量組A線性表示

則存在矩陣K

(kij)

使若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁注

bj

k1ja1

k2ja1

kmjam(j

1

2

l)

矩陣K稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣

反之

若B

AK

則矩陣B的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示

>>>向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組B組能由向量組A線性表示

則存在矩陣K

(kij)

使若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁即B=AK.

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

(1)列向量組B組能由列向量組A線性表示

存在矩陣K,使得B=AK.若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁(2)行向量組B組能由行向量組A線性表示

存在矩陣K,使得B=KA.(3)列向量組A組和列向量組B等價

存在矩陣S,T,使得A=BS,B=AT.(4)行向量組A組和行向量組B等價

存在矩陣S,T,使得A=SB,B=TA.

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

定理2

向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是R(A)

R(A

B)

下頁分析:向量組B能由向量組A線性表示存在矩陣X,使得B=AX定理4

矩陣方程AX

B有解的充分必要件是R(A)

R(A

B)

回憶:

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

定理2

向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是R(A)

R(A

B)

下頁分析:R(A)=R(A,B)向量組B能由向量組A線性表示存在矩陣X,使得B=AX

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

定理2

向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是R(A)

R(A

B)

推論向量組A

a1

a2

am與向量組B

b1

b2

bl等價的充分必要條件是R(A)

R(B)

R(A

B)

下頁A能由B線性表示分析:R(B)

R(A

B)B能由A線性表示R(A)

R(A

B)R(A)=R(B)

R(A

B)

若矩陣A與B行等價

則這兩個矩陣的行向量組等價

矩陣等價與向量組等價的關(guān)系向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁分析:A與B行向量組等價矩陣A與B行等價?可逆陣P,使得B=PA

B=PA,A=P-1B

B=SA,A=TB

思考1:為什么不等價？

若矩陣A與B行等價

則這兩個矩陣的行向量組等價

矩陣等價與向量組等價的關(guān)系向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁分析:A與B行向量組等價矩陣A與B行等價?可逆陣P,使得B=PA

B=PA,A=P-1B

B=SA,A=TB

思考1:為什么不等價？

若矩陣A與B行等價

則這兩個矩陣的行向量組等價

矩陣等價與向量組等價的關(guān)系向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁

定理3

設(shè)向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則R(b1

b2

bl)

R(a1

a2

am)

證明記A

(a1

a2

am)

B

(b1

b2

bl)

按定理的條件

根據(jù)定理2有R(A)

R(A

B)

而R(B)

R(A

B)

因此R(B)

R(A)

結(jié)束

非齊次線性方程組有解或Ax

b

矩陣的秩R(A)

R(A

b)向量的線性表示b

x1a1

x2a2

xnan方程觀點矩陣觀點向量觀點非齊次線性方程組有解或Axb矩陣的秩R(A)R(A矩陣方程

AX

B

有解矩陣的秩R(A)

R(A

B)向量組的線性表示B

b1

b2

bl能由A

a1

a2

am線性表示方程觀點矩陣觀點向量觀點矩陣方程AXB有解矩陣的秩R(A)R(AB)向矩陣方程

AX

B,BY=A

有解矩陣的秩R(A)

R(B)

R(A

B)向量組的線性表示B

b1

b2

bl能由A

a1

a2

am等價方程觀點矩陣觀點向量觀點矩陣方程AXB,BY=A有解矩陣的秩R(A)R(小結(jié)概念：向量，線性組合，線性表示，向量組，向量組的線性表示，向量組的等價.性質(zhì)：定理1

b能由向量組A

a1

a2

am線性表示

R(A)

R(B)

定理2

向量組B能由向量組A

線性表示

R(A)

R(A

B)

定理3

向量組B能由向量組A線性表示

R(B)

R(A)

推論向量組A與向量組B等價

R(A)

R(B)

R(A

B)

性質(zhì)1

向量組B能由向量組A

線性表示

存在矩陣K，使得B

AK

性質(zhì)2

向量組A與向量組B

等價

存在矩陣S,T使得A

BS,B=AT

小結(jié)概念：向量，線性組合，線性表示，向量組，向量組的線性表示§4.2向量組的線性相關(guān)性上頁下頁鈴結(jié)束返回補充例題首頁向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給定向量組A

a1

a2

am

如果存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

則稱向量組A是線性相關(guān)的

否則稱它線性無關(guān)

給定向量組A

a1

a2

am

如果不存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使

k1a1

k2a2

kmam

0.則稱向量組A是線性無關(guān)的.

§4.2向量組的線性相關(guān)性上頁下頁鈴結(jié)束返回補充例題首§4.2向量組的線性相關(guān)性上頁下頁鈴結(jié)束返回補充例題首頁向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給定向量組A

a1

a2

am

如果存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

則稱向量組A是線性相關(guān)的

否則稱它線性無關(guān)

換言之,

給定向量組A

a1

a2

am

若

k1a1

k2a2

kmam

0,

必有k1=k2==

km=0,則稱向量組A是線性無關(guān)的.

§4.2向量組的線性相關(guān)性上頁下頁鈴結(jié)束返回補充例題首

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給定向量組A

a1

a2

am

如果存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

則稱向量組A是線性相關(guān)的

否則稱它線性無關(guān)

顯然有

(1)含零向量的向量組必線性相關(guān)

(2)一個向量a線性相關(guān)

a

0

(3)兩個非零向量a1

a2線性相關(guān)

a1

ka2(即對應(yīng)分量成比例)下頁向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)顯然有下頁

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給定向量組A

a1

a2

am

如果存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

則稱向量組A是線性相關(guān)的

否則稱它線性無關(guān)

向量組A

a1

a2

am(m

2)線性相關(guān)

向量組A中至少有一個向量能由其余m

1個向量線性表示

這是因為

:

如果向量組A線性相關(guān)

則有k1a1

k2a2

kmam

0

其中k1

k2

km不全為0

不妨設(shè)k1

0

于是

a1

(1/k1)(k2a2

kmam)

即a1能由a2

am線性表示

下頁向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組Aa1

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給定向量組A

a1

a2

am

如果存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

則稱向量組A是線性相關(guān)的

否則稱它線性無關(guān)

向量組A

a1

a2

am(m

2)線性相關(guān)

向量組A中至少有一個向量能由其余m

1個向量線性表示

這是因為

:如果向量組A中有某個向量(不妨設(shè)am)能由其余m

1個向量線性表示

即有

1

2

m

1

使am

1a1

2a2

m

1am

1

于是

1a1

2a2

m

1am

1

(

1)am

0

因為

1

2

m

1

1不全為0

所以向量組A線性相關(guān)

下頁向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組Aa1

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給定向量組A

a1

a2

am

如果存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

則稱向量組A是線性相關(guān)的

否則稱它線性無關(guān)

下頁問題:

如何判斷向量組A是否線性表相關(guān)？向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)下頁問題:如何判斷向量組A是否線

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給定向量組A

a1

a2

am

如果存在不全為零的數(shù)k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

則稱向量組A是線性相關(guān)的

否則稱它線性無關(guān)

定理1

向量組A:a1

a2

am線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A

(a1

a2

am)的秩小于向量個數(shù)m

向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)

m

這是因為

向量組A

a1

a2

am線性相關(guān)

x1a1

x2a2

xmam

0即Ax

0有非零解

R(A)

m

下頁向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)定理1這是因為（i)(定義)若k1a1

k2a2

kmam

0,必有k1=k2==

km=0；給定向量組A

a1

a2

am線性無關(guān)的等價條件：（ii)(方程組)Ax

0僅有零解；（iii)(矩陣)R(A)=m.給定向量組A

a1

a2

am線性相關(guān)的等價條件：（i)(定義)存在不全為零的k1,k2,

km使得k1a1

k2a2

kmam

0（ii)(方程組)Ax

0有非零解；（iii)(矩陣)R(A)<m.（i)(定義)若k1a1k2a2kmam矩陣的秩R(A)<n向量的線性相關(guān)性a1,a2

,an線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解或Ax

0

方程觀點矩陣觀點向量觀點矩陣的秩R(A)<n向量的線性相關(guān)性a1,a2,an矩陣的秩R(A)=n向量的線性相關(guān)性a1,a2

,an線性無關(guān)齊次線性方程組僅有零解或Ax

0

方程觀點矩陣觀點向量觀點三個角度各有長短，取長補短，靈活運用，舉一反三,揮灑自如,游刃有余。矩陣的秩R(A)=n向量的線性相關(guān)性a1,a2,an庖丁解牛《莊子·養(yǎng)生主》

庖丁為文惠君解牛。手之所觸，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀騞然，莫不中音：合于《桑林》之舞，乃中《經(jīng)首》之會。

文惠君曰：“嘻，善哉！技蓋至此乎？”

庖丁釋刀對曰：“臣之所好者，道也；進乎技矣。始臣之解牛之時，所見無非牛者；三年之后，未嘗見全牛也。方今之時，臣以神遇而不以目視，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，導(dǎo)大窾，因其固然，技經(jīng)肯綮之未嘗，而況大？乎！良庖歲更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解數(shù)千牛矣，而刀刃若新發(fā)于硎。彼節(jié)者有間，而刀刃者無厚；以無厚入有間，恢恢乎其于游刃必有余地矣！是以十九年而刀刃若新發(fā)于硎。雖然，每至于族，吾見其難為，怵然為戒，視為止，行為遲。動刀甚微，？然已解，如土委地。提刀而立，為之四顧，為之躊躇滿志；善刀而藏之?！?/p>

文惠君曰：“善哉！吾聞庖丁之言，得養(yǎng)生焉?！?/p>

庖丁解?！肚f子·養(yǎng)生主》學(xué)習(xí)線性代數(shù)不僅是會做題目，更重要的學(xué)習(xí)線性代數(shù)提供的思想和方法，用這些方法指導(dǎo)你做事。過十年，二十年后，也許題目你忘記怎么做了，但你學(xué)習(xí)到的思想和方法在你頭腦中根深蒂固，為你提供強大的思想武器，使你終生受益。

注意：這些思想方法不通過勤奮學(xué)習(xí)，苦思冥想是不可能變?yōu)榧河械摹W(xué)習(xí)線性代數(shù)不僅是會做題目，更重要的學(xué)習(xí)設(shè)有x1

x2

x3使

x1b1

x2b2

x3b3

0

即

x1(a1

a2)

x2(a2

a3)

x3(a3

a1)

0

亦即(x1

x3)a1

(x1

x2)a2

(x2

x3)a3

0

因為a1

a2

a3線性無關(guān)

故有

例1

已知向量組a1

a2

a3線性無關(guān)

b1

a1

a2

b2

a2

a3

b3

a3

a1

試證向量組b1

b2

b3線性無關(guān)

證法一（定義）

由于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解x1

x2

x3

0

所以向量組b1

b2

b3線性無關(guān)

下頁設(shè)有x1x2x3使例把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式

例1

已知向量組a1

a2

a3線性無關(guān)

b1

a1

a2

b2

a2

a3

b3

a3

a1

試證向量組b1

b2

b3線性無關(guān)

證法二（線性方程組）

因為矩陣A的列向量組線性無關(guān)

所以可推知Kx

0

又因|K|

2

0

知方程Kx

0只有零解x

0

所以矩陣B的列向量組b1

b2

b3線性無關(guān)

記作B

AK

設(shè)Bx

0

以B

AK代入得A(Kx)

0

下頁把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式

例1

已知向量組a1

a2

a3線性無關(guān)

b1

a1

a2

b2

a2

a3

b3

a3

a1

試證向量組b1

b2

b3線性無關(guān)

證法三（矩陣的秩）因為A的列向量組線性無關(guān)

所以R(A)

3

從而R(B)

3

因此b1

b2

b3線性無關(guān)

因為|K|

2

0

知K可逆

所以R(B)

R(A)

把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式記作B

AK

下頁例1已知向量組a1a2a3線性無例2

設(shè)向量組B：b1,b2,…,br能由向量組A：a1,a2,…as線性表示為（b1,…,br)=(a1,..,as)K,其中K為s

r矩陣，且A線性無關(guān).證明B組線性無關(guān)的充要條件是K的秩R(K)＝r.

證明

向量組B線性無關(guān)設(shè)Bx

0

A(Kx)

0

把(b1,…,br)=(a1,..,as)K記作B

AK

充分性：A線性無關(guān)

Kx

0R(K)＝r

x

0例2設(shè)向量組B：b1,b2,…,br能由向量組A：a1,a例2

設(shè)向量組B：b1,b2,…,br能由向量組A：a1,a2,…as線性表示為（b1,…,br)=(a1,..,as)K,其中K為s

r矩陣，且A線性無關(guān).證明B組線性無關(guān)的充要條件是K的秩R(K)＝r.

證明

B

AK

R(K)

R(B)

把b1,…,br)=(a1,..,as)K記作B

AK

必要性：B線性無關(guān)

r

R(K)

R(K)＝r

R(B)=r

R(K)r例2設(shè)向量組B：b1,b2,…,br能由向量組A：a1,a

定理2(1)若向量組A

a1

a2

am線性相關(guān)

則向量組B

a1

a2

am

am

1也線性相關(guān)

反之

若向量組B線性無關(guān)

則向量組A也線性無關(guān)

這是因為

記A

(a1

a2

am)

B

(a1

a2

am

am

1)

有R(B)

R(A)

1

若向量組A線性相關(guān)

則有R(A)

m

從而R(B)

R(A)

1

m

1

因此向量組B線性相關(guān)

下頁定理2這是因為記A(a1a2

定理2(1)若向量組A

a1

a2

am線性相關(guān)

則向量組B

a1

a2

am

am

1也線性相關(guān)

反之

若向量組B線性無關(guān)

則向量組A也線性無關(guān)

這個結(jié)論可一般地敘述為

一個向量組若有線性相關(guān)的部分組

則該向量組線性相關(guān)

一個向量組若線性無關(guān)

則它的任何部分組都線性無關(guān)

特別地

含零向量的向量組必線性相關(guān)

下頁定理2這個結(jié)論可一般地敘述為一個向量

定理2(1)若向量組A

a1

a2

am線性相關(guān)

則向量組B

a1

a2

am

am

1也線性相關(guān)

反之

若向量組B線性無關(guān)

則向量組A也線性無關(guān)

(2)m個n維向量組成的向量組

當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān)

特別地

n

1個n維向量一定線性相關(guān)

這是因為

m個n維向量a1

a2

am構(gòu)成矩陣An

m

(a1

a2

am)

有R(A)

n

若n

m

則R(A)

n

m

故m個向量a1

a2

am線性相關(guān)

下頁定理2(2)m個n維向量組成的向量組

定理2(1)若向量組A

a1

a2

am線性相關(guān)

則向量組B

a1

a2

am

am

1也線性相關(guān)

反之

若向量組B線性無關(guān)

則向量組A也線性無關(guān)

(2)m個n維向量組成的向量組

當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān)

特別地

n

1個n維向量一定線性相關(guān)

(3)設(shè)向量組A

a1

a2

am線性無關(guān)

而向量組B

a1

a2

am

b線性相關(guān)

則向量b必能由向量組A線性表示

且表示式是唯一的

這是因為

記A

(a1

a2

am)

B

(a1

a2

am

b)

有即向量b能由向量組A線性表