教案

（2008/2009學(xué)年第2學(xué)期）

課程名稱熱工理論________

課程編號(hào)1111000102

課程性質(zhì)學(xué)科基礎(chǔ)

教學(xué)時(shí)數(shù)92學(xué)時(shí)_______

教學(xué)對(duì)象機(jī)械大類一

授課教師六人合上________

職稱_________________

邵陽學(xué)院機(jī)械與能源工程系

工程流體力學(xué)部分

§1流體的物理性質(zhì)及流體靜力學(xué)

教研室：熱能與動(dòng)力工程教師姓名：周東一

課程名稱熱工理論授課專業(yè)及班07級(jí)

次機(jī)械類

授課內(nèi)容流體定義及連續(xù)介質(zhì)假定、流體的物理性質(zhì)、作講授8學(xué)時(shí)

用在流體上的力、流體靜壓強(qiáng)、靜止流體作用在

壁面上的力

目的要求掌握連續(xù)介質(zhì)模型的概念及流體的粘性和可壓縮性，質(zhì)量力和表面力的

概念、靜壓力的性質(zhì)、靜力學(xué)平衡方程和靜壓力的分布規(guī)律的基本知識(shí)，

熟練掌握應(yīng)用靜力學(xué)基本知識(shí)解決實(shí)際問題方法。

重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：連續(xù)介質(zhì)假定、作用在流體上的力、靜力學(xué)基本方程式。難點(diǎn)：

作用于平面和曲面上的力。

講授內(nèi)容及流體定義及連續(xù)介質(zhì)假定、流體的物理性質(zhì)（2學(xué)時(shí)）；作用在流體上的力

時(shí)間分配（2學(xué)時(shí)）；流體靜壓強(qiáng)（2學(xué)時(shí)）；靜止流體作用在壁面上的力（2學(xué)時(shí)）。

教具課堂講授

參考資料《流體力學(xué)》（張也影）、《工程流體力學(xué)》（盛敬超）、《工程流體力

學(xué)》（嚴(yán)敬）、《工程流體力學(xué)》（陳卓如）

§1.1流體定義及連續(xù)介質(zhì)假定

一、流體的概念

自然界的物質(zhì)有三態(tài)：固體、液體、氣體

從外觀上看，液體和氣體很不相同，但是從某些性能方面來看，卻很相似。流體與

固體相比，分子排列松散，分子引力較小，運(yùn)動(dòng)較強(qiáng)烈，無一定形狀，易流動(dòng)，只能抗

壓，不能抗拉和切。

流體：是一種受任何微小剪切力都能連續(xù)變形的物質(zhì)。它是氣體和液體的通稱。

二、流體的特點(diǎn)

液體氣體

微觀分子排列緊密分子排列松散

易流動(dòng)，只受壓力，不受拉力和切力，沒有固定形狀，受到微小的剪切力

流動(dòng)性就產(chǎn)生變形或流動(dòng)

有固定的體積沒有固定的體積

壓縮性不易壓縮易壓縮

粘性粘性大，隨溫度增加粘性下降粘性小，隨溫度增加粘性上升

why?一分子間的吸引力（內(nèi)聚力）一分子間的碰撞、動(dòng)量交換

溫度對(duì)粘性的影響：產(chǎn)生粘性的主要因素不同

（1）氣體：T升高，H變大分子間動(dòng)量交換為主

（2）液體：T升高，四變小內(nèi)聚力為主

三、連續(xù)介質(zhì)假設(shè)——連續(xù)性說明（稠密性假設(shè)）

1、假設(shè)的內(nèi)容：1753年歐拉（數(shù)學(xué)家）

從微觀上講，流體由分子組成，分子間有間隙，是不連續(xù)的，但流體力學(xué)是研究流

體的宏觀機(jī)械運(yùn)動(dòng)，通常不考慮流體分子的存在，而是把真實(shí)流體看成由無數(shù)連續(xù)分布

的流體微團(tuán)（或流體質(zhì)點(diǎn)）所組成的連續(xù)介質(zhì),流體質(zhì)點(diǎn)緊密接觸，彼此間無任何間隙。

這就是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。

流體微團(tuán)（或流體質(zhì)點(diǎn)）：基本單位

宏觀上足夠小（無窮?。?，以致于可以將其看成一個(gè)幾何上沒有維度的點(diǎn)；

微觀上足夠大（無窮大），它里面包含著許許多多的分子，其行為已經(jīng)表現(xiàn)出大量分子

的統(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì)。

2、引入意義：第一個(gè)根本性的假設(shè)

將真實(shí)流體看成為連續(xù)介質(zhì)，意味著流體的一切宏觀物理量，如密度、壓力、速度

等，都可作為時(shí)間和空間位置的連續(xù)函數(shù)，使我們有可能用數(shù)學(xué)分析來討論和解決流體

力學(xué)中的問題。

3、假設(shè)的局限性：

對(duì)稀薄氣體，不能適用，必須考慮為不連續(xù)流體。

流體在各種不同水力現(xiàn)象中的表現(xiàn)，取決于：內(nèi)因：流體本身的物理性質(zhì)——第二、

三節(jié);外因：作用在流體上的力——第四節(jié)

§1.2流體的密度和粘性

一、密度和重度

1、密度：單位體積流體的質(zhì)量，P（density）

MdM

p=一P二-----=hm------

均質(zhì):V非均質(zhì):dVA3\v

M——流體質(zhì)量（kg）

V——流體體積（n?）

單位：千克/米3（kg/m3）

水的密度：1OOOkg/n?=1g/cm3

2、重度：單位體積流體的重量，Y（specificweight）

GdG[.AG

y=——y-.......=lim-----

均質(zhì)：v非均質(zhì)：dV

單位：牛頓/米3（N/m3）

3、密度與重度的關(guān)系

牛頓第二定律：G=Mg-G/v=M8/v一閭g=9,8m/s2

水的重度：9800N/m3

4、相對(duì)密度（比重）：5或4（specificgravity）

（1）液體的相對(duì)密度：液體的重量與同體積4P蒸鐳水重量之比。

3=2=匚

0k/水

因?yàn)椋赫魞?chǔ)水在4（密度最大，為lOOOkg/n?

例：8=0.85=>/=0.85x98007V/W3

（2）氣體的相對(duì)密度：氣體的重度與同溫同壓下的空氣重度之比。

（3）相對(duì)密度的單位：1（無量綱）

水銀的相對(duì)密度：與g=13.6

5、氣體的比容（v）：單位重量氣體的體積E3,在熱力學(xué)中，用的較多。

二、粘性（viscosity）：g

粘性是流體所特有的性質(zhì)，自然界中的任何流體都具有粘性，只是有大有小。

1、定義：流體微團(tuán)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，流體內(nèi)部具有抵抗變形、阻滯流體流動(dòng)的特性。

2、產(chǎn)生粘性的原因

（1）流體內(nèi)聚力

（2）動(dòng)量交換

（3）流體分子和固體壁面之間的附著力

2、產(chǎn)生條件：流體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)

3、產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)：微觀分子作用的宏觀表現(xiàn)

5、內(nèi)摩擦力的計(jì)算一牛頓內(nèi)摩擦定律（Newton'slawofinternalfriction）1686

怎樣確定流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的粘滯力呢？它與哪些因素有關(guān)？牛頓經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)研究于

1686年提出了確定流體內(nèi)摩擦力的所謂“牛頓內(nèi)摩擦定律”。

,…?...?u+du

期||-----A

--V

T-

圖速度分布規(guī)律

如圖，A、B為長寬都是足夠大的平板，互相平行，設(shè)B板以u(píng)（）運(yùn)動(dòng)，A板不動(dòng)。

由于粘性流體將粘附于它所接觸的表面上（流體的邊界無滑移條件），u|.=U0,uh=0o

（1）兩平板間流體流層：速度自上而下遞減，按直線分布；

（2）取出兩層

快層：u+du

慢層：〃

相鄰流層發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí).：

T：快層對(duì)慢層產(chǎn)生一個(gè)切力T,使慢層加速，方向與流向相同。

r：慢層對(duì)快層有一個(gè)反作用力r,使快層減速，方向與流向相反，這種阻止運(yùn)動(dòng)的力,

稱為阻力。

（3）T與F：大小相等，方向相反的一對(duì)力，分別作用在兩個(gè)流體層的接觸面上，這

對(duì)力是在流體內(nèi)部產(chǎn)生的，叫內(nèi)摩擦力。

（4）牛頓內(nèi)摩擦定律的內(nèi)容：

流體相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，層間內(nèi)摩擦力T的大小與接觸面積、速度梯度成正比，與流體

種類及溫度有關(guān)，而與接觸面上的壓力無關(guān)，即：

T=±M~

dy

T-----內(nèi)摩擦力，單位：牛頓（N）

U——?jiǎng)恿φ承韵禂?shù)，與流體性質(zhì)、溫度有關(guān)

A------接觸面積

du

dy---速度梯度Velocitygradient

（5）粘性切應(yīng)力T：單位面積上的內(nèi)摩擦力

單位：N/m2

（6）公式說明：

①“土”是為使T、T永遠(yuǎn)為正值而設(shè)

du

當(dāng)力＞0時(shí)，T、T取“+”號(hào)

du

當(dāng)改=0時(shí)，T、T=0

du

當(dāng)改＜0時(shí)，T、T取“一”號(hào)（①拖下板②y軸向下③管流）

du

T=±〃一

②符合dy的流體一牛頓流體

du

T—±4—

不符合dy的流體—非牛頓流體

③公式適用條件：牛頓流體做層流運(yùn)動(dòng)

7、粘性系數(shù)（粘度）coefficientofviscosity：表征流體粘性大小，通常用實(shí)驗(yàn)方法確定。

（1）動(dòng)力粘度U：coefficientofdynamicviscosity

T,du

T=—=±4—

①定義：由公式A力得

〃=±/

du

dy

②物理意義：表示速度梯度為1時(shí)，單位面積上的摩擦力的大小。

③國際單位：牛頓?秒/米2或Pa?S

Pa.s=^_.^=kg/

s2m2Am-s)

lPa?S=1000mPa?S(在程序中常用mPa?S)

物理單位：泊(poise)=達(dá)因?秒/厘米2

(1N=105dyn=1kg,m/s2)

1泊poise=100厘泊centipoise=0.1pa*s

lcP=1mPa*S

注：P295.附1：水的粘度數(shù)量級(jí)1mPa*S

(2)運(yùn)動(dòng)粘度v：coefficientofkinematicviscosity

v=—

①定義：P——在方程中經(jīng)常出現(xiàn)

②國際單位：米2/秒;

物理單位：厘米2/秒,叫做沱（或斯stokes）

1沱=100厘沱

Is-1045/=106c.y/

8、理想流體與實(shí)際流體

(1)理想流體：假想沒有粘性的流體11=0，能量損失=0

(2)實(shí)際流體：又稱為粘性流體，即真實(shí)流體

口W0，能量損失w0

流體在運(yùn)動(dòng)中因克服摩擦力必然要做功，所以粘性也是流體中發(fā)生機(jī)械能量損失的

根源。

例題：

已知：A=1200cm2,V=0.5m/s

口]=:0.142Pa.s9h]1.Omni

u2=0.235Pa.s,h2=1.4mm

求：平板上所受的內(nèi)摩擦力F?繪制：平板間流體的流速分布圖及應(yīng)力分布圖

解：（前提條件：牛頓流體、層流運(yùn)動(dòng)）

V-u

々=4—j—

=>[%

du〃一0

7=〃丁72=〃2%—

dyI"2因?yàn)門!=T2

V-uU〃也「八”,

從----=〃2—=>u=------------=0.23加/s

所以4〃2〃2%+〃1力2

V-it

F=74=4------=4.6N

§1.3流體的其他性質(zhì)

一、壓縮性和膨脹性

1、壓縮性(Compressibility)：

(1)定義：溫度一定時(shí)流體在體積或密度隨壓強(qiáng)改變的性質(zhì)。

(2)體積壓縮系數(shù)K：(coefficientofvolumecompressibility)溫度不變時(shí)，壓強(qiáng)增加一

個(gè)單位，體積的相對(duì)變化量。

dV--體積改變量

V--原有體積

dp----壓強(qiáng)改變量

負(fù)號(hào)說明：保證懵永遠(yuǎn)為正，與符號(hào)相反。

由于液體受壓體積減小，功和"「異號(hào)，式中右側(cè)加負(fù)號(hào)，以使心為正值，其值愈

大，愈容易壓縮。

壓縮系數(shù)的倒數(shù)稱為體積模量，即：

E」=—風(fēng)

kTdV

(3)單位：1/Pa或1/大氣壓

(4)說明：液體壓縮性很小

M-

P=—=Const

y、，

△/很小ff液體?=常數(shù)

2、膨脹性(expansibility)：

(1)定義：壓力一定時(shí)流體在體積或密度隨溫度改變的性質(zhì)。

(2)體積膨脹系數(shù)a：(Coefficientofvolumetricexpansion)壓力不變時(shí),溫度增加一

個(gè)單位，體積的相對(duì)變化量。

小“玲)

dT--溫度改變量

(3)單位：1/℃或1/K

(4)說明：液體膨脹性很小——在實(shí)際計(jì)算中，一般不考慮液體的膨脹性。

3、體積壓縮系數(shù)和體膨脹系數(shù)的另一種表達(dá)式

根據(jù)液體壓縮前后，質(zhì)量夕V不變，有:

耳子，則焉同理…翳

三、流體的汽化和空化

1、汽化：液體分子逸出液面向空間擴(kuò)散的過程稱為汽化。反之則為凝結(jié)。

汽化和凝結(jié)同時(shí)存在。

2、空化：液體中的壓力低于當(dāng)?shù)氐钠瘔毫r(shí)，產(chǎn)生氣泡。

空化的影響：⑴：阻塞流動(dòng)；⑵：產(chǎn)生沖擊破壞。

四、表面張力。與毛細(xì)現(xiàn)象

1、定義：使液體表面處于拉伸狀態(tài)的力為表面張力

2、表面張力系數(shù)單位長度上的表面張力

3、表面張力的產(chǎn)生：液、氣接觸自由表面

4、表面張力產(chǎn)生的原因：由于內(nèi)聚力的不同而導(dǎo)致(分子受力不平衡)。

在氣液自由表面上，由于液體分子的內(nèi)聚力顯著的大，因此在液體表面的分子有向

液體內(nèi)部收縮的傾向，使得自由表面有一拉緊作用的力產(chǎn)生，即表面張力。在液固交界

面上，也會(huì)產(chǎn)生附著力。液體內(nèi)聚力的大小決定其是否產(chǎn)生濕潤管壁。

毛細(xì)現(xiàn)象：P9o表面凹凸取決于附著力和內(nèi)聚力^大^小。

水與玻璃管相互作用計(jì)算及分析

管壁圓周上總表面張力在垂直方向上的分力:

7I?D,O?COS0（1）

Y，-D2h

上升液柱重：4（2）

712

人TTDCTcos0=h

可得毛細(xì)管內(nèi)液柱上升高度

.4。cos。

h=-----

yD(3)

其中：。為液面與壁面的接觸角

Y為液體的重度N/m2

D為毛細(xì)管內(nèi)徑m

。為表面張力N/m

§1.4作用在流體上的力

按力的表現(xiàn)形式有：表面力、質(zhì)量力

一、表面力（近程力）（接觸力）

1、定義：作用于流體表面上，與作用面的表面積成正比。

2、分類：

（1）法向力（壓力）：P=p-A——垂直于作用面

A點(diǎn)的壓強(qiáng)（A點(diǎn)的壓應(yīng)力）PA犯？"

（2）切向力（內(nèi)摩擦力）：T=T-A——平行于作用面

AT

A點(diǎn)的切應(yīng)力

二、質(zhì)量力（體積力）（長程力）（非接觸力）

1、定義：作用于流體的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，與流體的質(zhì)量成正比。

2、分類：

（1）重力G=mg

（2）慣性力：

直線慣性力I=ma

離心慣性力R=加/”=加r

3、單位質(zhì)量力：流體質(zhì)量為M,總質(zhì)量力為尸=工'人

/

單位質(zhì)量力M,

設(shè)f=Xi+Yj+Zk

FFvF

則"MM（包含了各種質(zhì)量力：重力、慣性力等）

若作用在流體上的質(zhì)量力只有重力，則瓜=°,琮=°,鼠=—蜂

7-mg

Z=------=-g

單位質(zhì)量力X=°,Y=°,m

三、說明：

1、在一定的情況下，這些力有的存在，有的不存在；

2、內(nèi)力和外力是相對(duì)而言的，不是固定不變的。

§1.5流體靜壓特性及靜止流體的壓力分布

一、流體靜壓特性

1、基本概念

（1）、流體靜壓強(qiáng)：靜止流體作用在單位面積上的力。P

設(shè)微小面積附上的總壓力為AP,則

__AP

平均靜壓強(qiáng)：'一AP

[./S.Pv----'AA

P

點(diǎn)靜壓強(qiáng)：=/h喝rn根—

即流體單位面積上所受的垂直于該表面上的力。

單位：N/m2（Pa）

（2）、總壓力：作用于某一面上的總的靜壓力。P

單位：N（牛）

（3）、流體靜壓強(qiáng)單位：

國際單位：N/m2=Pa

物理單位：dyn/cm2

lN=10>dyn,lPa=10dyn/cm2

工程單位：kgf/m2

混合單位：Ikgf7cm2=1at（工程大氣壓）Wlatm（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）

1at=lkgf/cm2=9.8X104Pa=10m水柱

latm=1.013X105Pa=10.3m水柱

2、流體靜壓強(qiáng)特性

（1）、靜壓強(qiáng)作用方向永遠(yuǎn)沿著作用面內(nèi)法線方向——方向特性。

（垂直并指向作用面）

證明：反證法證明之。

有一靜止流體微團(tuán)，用任意平面將其切割為兩部分，取陰影部分為隔離體。設(shè)

切割面上任一點(diǎn)m處靜壓強(qiáng)方向不是內(nèi)法線方向，則它可分解為P”和切應(yīng)力而靜

止流體既不能承受切應(yīng)力，也不能承受拉應(yīng)力，如果有拉應(yīng)力或切應(yīng)力存在，將破壞平

衡，這與靜止的前提不符。所以靜壓強(qiáng)"的方向只能是沿著作用面內(nèi)法線方向。

（2）、靜止流體中任何一點(diǎn)上各個(gè)方向的靜壓強(qiáng)大小相等，而與作用面的方位無關(guān)，即

。只是位置的函數(shù)P=P（x,y,z）——大小特性。（各向相等）

證明思路：如圖1一5一1。

1、選取研究對(duì)象（微元體）

2、受力分析（質(zhì)量力與表面力）

3、導(dǎo)出關(guān)系式XF=0

4、得出結(jié)論

1、選取研究對(duì)象（微元體）

從靜止流體中取出一微小四面體OABC,其坐標(biāo)如圖，三個(gè)垂直邊的長度分別為dx、

dy、dz,設(shè)心、Py、2、P”（n方向是任意的）分別表示作用在AOAC、AOBC.AOAB.

△ABC表面上的靜壓強(qiáng)。

2、受力分析（質(zhì)量力與表面力）

流體微元所受力分為兩類：表面力和質(zhì)量力。

（1）表面力

表面力與作用面的面積成正比。作用在AOAC、AOBC>AOAB、AABC面上的

總壓力分別為：（特性一：垂直并指向作用而）

P..Pxdydz

Py=~Pydxdz

p：=-P^xdy

P"=PnSMBC=Pn-dA

（2）質(zhì)量力

質(zhì)量力與微元體的體積成正比。

V.=—dxdydz

四面體的體積：°n由Rr6.

M=—pdxdydz

四面體的質(zhì)量：6…■

設(shè)單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力在坐標(biāo)軸方向上的分量為X、Y、Z,則質(zhì)量力F在坐標(biāo)

軸方向的分量是：

Fx=*pdxdydz'X

Fv=（pdxdydz-Y

F.=-pdxdydz■Z

3、導(dǎo)出關(guān)系式工廠=°

因流體微團(tuán)平衡，據(jù)平衡條件，其各方向作用力之和均為零。則在x方向上，有:

Px-Pncos(n,x)+Fx=0

將上面各表面力、質(zhì)量力表達(dá)式代入后得

—pdydz-p-dA-cosa+—pdxdydz?X二0

2xn6

又血?cosa即為△ABC在yoz平面上的投影面積,

pndAcosa=；pndydz

—pdydz--pndydz+—pdxdydz?X=0

2x26

Px-P“+；9,X=0

則當(dāng)dx、dy>dz趨于零時(shí)也就是四面體縮小到o成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，有:

Px=Pn

同理：Py=P?

P：=P?

即：Px=Py=P：=Pn

4、得出結(jié)論

因n方向是任意選定的，故上式表明，靜止流體中同一點(diǎn)各個(gè)方向的靜壓強(qiáng)均相等。

在連續(xù)介質(zhì)中，P僅是位置坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。=2(x,y,z).

同一點(diǎn)受力各向相等，但位置不同，大小不同。

呈什么關(guān)系？=》下節(jié)中討論

說明：

以上特性不僅適用于流體內(nèi)部，而且也適用于流體與固體接觸的表面。如:

二、靜止流體的壓力分布

(一)、絕對(duì)靜止流體

A.靜止流體平衡微分方程—?dú)W拉方程

它是流體在平衡條件下，質(zhì)量力與表面力所滿足的關(guān)系式。

根據(jù)流體平衡的充要條件，靜止流體受的所有力在各個(gè)坐標(biāo)軸方向的投影和都為

零，可建立方程。

%=0

方法：微元分析法。在流場(chǎng)中取微小六面體，其邊長為小、dy、dz,然后進(jìn)行受力

分析，列平衡方程。

以X軸方向?yàn)槔?，如圖所示

1、取研究對(duì)象

微元體：無窮小平行六面體，

dx、dy、dz-。

微元標(biāo)中心：A(x,y,z)

Ai點(diǎn)坐標(biāo)：Ai(x-dx/2,y,z)

A2點(diǎn)坐標(biāo)：A2(x+dx/2,y,z)

2、受力分析

①表面力

設(shè)A處壓強(qiáng)：p(x,y,z)

因壓強(qiáng)分布是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，則A|點(diǎn)、A?點(diǎn)的壓強(qiáng)0、P2可按泰勒級(jí)數(shù)展開,

dp(dx\1d2P1d"p

=p(x,y,z)++

~dx[^)2~d^n\dxn

略去二階以上無窮小量,得到A1、A2處的壓強(qiáng)分別為:

dpdxdpdx

P\=P-Pz=p+

dx2dx2

則表面力在X方向的合力為:

(P1-Pl)-dy-dz+dy-dz=~^-dx-dy-dz

|_<ox2J\dx2J]dx

②質(zhì)量力

微元體質(zhì)量：M=Pdxdydz

設(shè)作用在單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力在x方向上的分量為X。

則質(zhì)量力在x方向的合力為：X?Pdxdydz

3、導(dǎo)出關(guān)系式：

對(duì)微元體應(yīng)用平衡條件工廠二°,則

X-pdxdydz--dxdydz=0

8x

4、結(jié)論:

X」史=0

pdx

同理，在y和z方向可求得:

y__L迦=0

pQy

z--^-=o

P^z(I)

——?dú)W拉平衡微分方程式

X、Y、Z——單位質(zhì)量力在X、入Z軸方向的分量

1dp1dp1dp

Pdx＞「力、p&單位質(zhì)量流體所受的表面力在X、AZ軸方向上的分量

公式的物理意義：

平衡流體中單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力與表面力在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量的代數(shù)

和為零。

B.靜止平衡微分方程的全微分式

1、利用Euler平衡微分方程式求解靜止流體中靜壓強(qiáng)的分布，可將Euler方程分別乘以

dx,dy,dz,然后相加，得

—dx+—dy+—dz=p(Xdx+Ydy+Zdz)

dxdydz⑴

因?yàn)閜=p(x,y,z),所以上式等號(hào)左邊為壓強(qiáng)p的全微分協(xié)，則上式可寫為

dp=p(Xdx+Ydy+Zdz)(口)

2、勢(shì)函數(shù)(力函數(shù))

對(duì)于不可壓縮流體：p=const

因?yàn)镮I式左邊是壓強(qiáng)P的全微分，從數(shù)學(xué)角度分析，方程式的右邊也應(yīng)該是某個(gè)函數(shù)

U(x,y,z)的全微分，即：

Xdx+Ydy+Zdz=dU

dU=迎小組dy+亞dz

又因?yàn)閐xdydz

則有ESHES(III)

該函數(shù)U{x,y,z)稱為勢(shì)函數(shù)。

顯然，U(x,yz)在x,7，z方向的偏導(dǎo)數(shù)正好等于單位質(zhì)量力分別在各坐標(biāo)軸上的

投影。因?yàn)樵谒械目臻g上的任一點(diǎn)都存在質(zhì)量力，因此，這個(gè)空間叫質(zhì)量力場(chǎng)或勢(shì)力

場(chǎng)。重力就是勢(shì)力。

C.等壓面

1、定義：同種連續(xù)靜止流體中，靜壓強(qiáng)相等的點(diǎn)組成的面。（p=const）

2、方程：

由II式dp=p（Xdx+Ydy+Zdz）

由/>=const—dp=0

得Xdx+Ydy+Zdz=0

3、等壓面性質(zhì)

①等壓面就是等勢(shì)面。因?yàn)樾?必。

②作用在靜止流體中任一點(diǎn)的質(zhì)量力必然垂直于通過該點(diǎn)的等壓面。

證明：沿等壓面移動(dòng)無窮小距離近=Tdx+jdy+kdz

則由空間解析幾何：單位質(zhì)量力做的功應(yīng)為

F-ds=（X,Y,Z）-{dx,xy,dz）=Xdx+Ydy+Zdz=0

所以，質(zhì)量力與等壓面相垂直。

③等壓面不能相交

相交一一點(diǎn)有2個(gè)壓強(qiáng)值：錯(cuò)誤

④絕對(duì)靜止流體的等壓面是水平面

X=Y=0,Z=—g+性質(zhì)②

⑤兩種互不相混的靜止流體的分界面必為等壓面

證明：在分界面上任取兩點(diǎn)A、B,兩點(diǎn)間勢(shì)差為dU,壓差為劭。因?yàn)樗鼈兺瑢儆趦?/p>

種流體，設(shè)一種為?！绷硪环N為人，則有：

dp=P1dU且dp=PzdU

因?yàn)?1#

所以只有當(dāng)劭、dU均為零時(shí)，方程才成立。

說明：

等壓面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。

D.靜力學(xué)基本方程式

1、坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在自由面上，z軸垂直向上，液面上的壓強(qiáng)為po,則

X=0,Y=0,Z=-g

代入公式.dp=p（Xdx+Ydy+Zdz）（］）

得:dp=p(-g)dz--ydz

(2)

Y=const,積分(2)式得:

(3)

靜力學(xué)基本方程形式之一

2、由（3）式得P=~^+C

代入邊界條件：z=0時(shí)，p=po

則po=C

所以P=P「/（4）

令-z=h（點(diǎn)在液面以下的深度h）

則|P=P°+例（5）

——靜力學(xué)基本方程形式之二。

3、說明：

帕斯卡連通器原理簡單稱為連通器原理，在僅受重力作用下的均質(zhì)、連通、靜止的

液體中，水平面就是等壓而。

（1）僅受重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律變化。

（2）僅受重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)等于表面壓強(qiáng)加上流體的容重與該

點(diǎn)淹沒深度的乘積。

（3）自由表面下深度h相等的各點(diǎn)壓強(qiáng)均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的

靜止流體的等壓面是水平面。

（4）推廣：已知某點(diǎn)的壓強(qiáng)和兩點(diǎn)間的深度差，即可求另外一點(diǎn)的壓強(qiáng)值。

22=Pi+心力

4、靜力學(xué)基本方程式的意義

Z+J

Y

1、幾何意義

Z——位置水頭：該點(diǎn)到基準(zhǔn)面的高度。

￡

￥——壓力水頭:該點(diǎn)壓強(qiáng)的液柱高度。

z+—

了——測(cè)壓管水頭：為一常量

靜止流體中各點(diǎn)的測(cè)壓管水頭是一個(gè)常數(shù)。

2、物理意義

Z二

z比位能：單位重量流體所具有的位能。%

￡

y——比壓能：單位重量流體從大氣壓力為基點(diǎn)算起所具有的壓力勢(shì)能。

是一種潛在的勢(shì)能，若在某點(diǎn)壓力為p,接出一測(cè)壓管，則在該壓力作

p_

用下，液而上升的高度為7

z+—

/——總勢(shì)能：為一常量

靜止流體中，單位重量流體的總勢(shì)能是恒等的。

（二）、相對(duì)靜止流體

1°研究對(duì)象：相對(duì)于坐標(biāo)系靜止的流體稱為相對(duì)平衡流體。

本節(jié)討論兩種情況：

?等加速直線運(yùn)動(dòng),

?等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)j質(zhì)量力包括重力和慣性力

2。研究方法：

利用達(dá)朗貝爾原理

工少二機(jī)。的動(dòng)力學(xué)問題變?yōu)楣S二。的靜力學(xué)問題

達(dá)朗貝爾原理：

如果在運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)上加上慣性力，則作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力與慣性力平衡。

3°研究目的：

,壓強(qiáng)分布公式

?等壓面方程

?自由液面方程

A、等加速水平運(yùn)動(dòng)容器中流體的相對(duì)平衡

1、問題描述：

如圖，作用在流體上的質(zhì)量力除重力外，還有一個(gè)與加速度方向相反的慣性力。顯

然，在石不變時(shí)，戶=機(jī)萬亦不變化。這時(shí)，流體相對(duì)于容器不動(dòng)。如果把坐標(biāo)固定在容

器上，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，把慣性力戶=〃疝加在液體質(zhì)點(diǎn)上，容器內(nèi)液體在重力機(jī)g和

慣性力F的作用下，處于相對(duì)平衡。

2、等加速直線運(yùn)動(dòng)流體的壓強(qiáng)分布及等壓面方程。

取坐標(biāo)如圖。任取一點(diǎn)加，作用在質(zhì)點(diǎn)上的質(zhì)量力為mg（I）,ma（一）,合力R與z

軸成。角。

X=-a,X=0,Z=-g

代入公式dp=p1Xdx+Ydy+Zdz）

則：dp=-p（adx+gdz）（1）

①等壓面方程

令dp=O,則adx+gdz=O

所以|ax+gz=C|（2）

結(jié)論：

a.等壓面是一簇平行斜平面

a=tg-if-

b.等壓面與x軸夾角為：VgJ（等壓面與重力和慣性力的合力垂直）

②自由液面：x=0,z=0-C=0

則自由液面方程為:ax+gzx=0

a

zs=----x

g(3)

zs------自由液面上點(diǎn)的z坐標(biāo)

③靜壓強(qiáng)分布

設(shè)P=const,對(duì)(1)式積分，得

p=-/?(ax+gz)+C(4)

由邊界條件：x=0,z=0時(shí)，p=po

得：C=po

則：口=%03+gz)|(5)

P=Po+Pg(--x-z)=%+y(z,-z)=po+例

g符合靜力學(xué)基本方程式

B、等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對(duì)平衡

1、問題描述：

容器以勿角速度繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于粘性作用，靠近壁處流體首先被帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)，平衡

后，各流體質(zhì)點(diǎn)具有相同的角速度，此時(shí)，液體與容器一起旋轉(zhuǎn)。相對(duì)于作等角速運(yùn)動(dòng)

的圓桶而言，流體處于相對(duì)平衡狀態(tài)。

受力分析：液體中任一質(zhì)點(diǎn)所受的質(zhì)量力有

重力：G

慣性力：F,且F°^mw2r

則元=6+戶隨r增大而增大。

2、壓強(qiáng)分布、等壓面方程

坐標(biāo)固定在容器上，坐標(biāo)原點(diǎn)。在旋轉(zhuǎn)軸與自由液面的交點(diǎn)，z軸豎直向上。

因?yàn)镕=Mco2r(力)

,F2

/=—=Ct)r

所以,M(單位質(zhì)量力)

所以22

X=fx=cor-cosa~cox(1)

Y=f=co2r-sina=co2y

y(2)

而Z=-g(3)

把(1)、(2)、(3)式代入Euler方程的積分式

21

dp=p^Xdx+Ydy+Zdz)=p(coxdx+coydy-gdz)(4)

①等壓面方程

令(4)式dp=。,得

a)2xdx+a)2ydy-gdz=0

g(a)2x2+a)~y2)-gdz=C

積分得:(5)

—G)~Y~~gZ=C

所以得等壓面方程12I(6)

結(jié)論：等壓面是一簇繞z軸旋轉(zhuǎn)的拋物面。

②自由液面方程

對(duì)于自由液面，r=0,z=0

得C=0

則得到自由液面方程：2(7)

(79

Zs為水面高出xoy平面的垂直距離。

③流體靜壓強(qiáng)分布

222，

,CDxcoy-、尸

p=/?(-------+--——gz)+C

不可壓O=co〃s3積分(4)式得：226

,(or、八

p=r-(——z)+C

即2g(8)

代入邊界條件：r=0,z=0時(shí)，p=po

得：C=po

22

P=Po+/1(-........z)=Po+/(zs—z)=Po+濁

則：2g(9)

結(jié)論：在同一高度上，其靜壓強(qiáng)沿徑向按二次方增長。

例1:(1)裝滿液體容器在頂蓋中心處開口的相對(duì)平衡

分析：容器內(nèi)液體雖然借離心慣性力向外甩，但由于受容器頂限制，液面并不能形成旋

轉(zhuǎn)拋物面，但內(nèi)部壓強(qiáng)分布規(guī)律不變：

.a)2r2、_

p=r-(——z)+C

2g(不能體現(xiàn)絕壓、表壓)

(2)裝滿液體容器在頂蓋邊緣處開口的相對(duì)平衡

,cor、八

p=y-(------z)+C

壓強(qiáng)分布規(guī)律：2g

邊緣A、B處：r=R,z=0時(shí)，p=Pa

22

作用于頂蓋上的壓強(qiáng)：p=pa-^^R-r)

2g

三、壓力測(cè)量

1、分類：根據(jù)適用范圍、適用條件的不同，分為液式、金屬式、電測(cè)式。

2、液式測(cè)壓計(jì)

原理：匠口。+例(p、p。的標(biāo)準(zhǔn)必須一致，用表壓)

方法：找等壓面（性質(zhì)5：兩種互不相混的靜止流體的分界面必為等壓面）

特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡單、使用方便、制造簡單，常用于實(shí)驗(yàn)室中。

a.液面計(jì)b.測(cè)壓管

[75po>p.HII

*面"[jjf?>11----------J「

―11風(fēng)=泡

c.U形管測(cè)壓計(jì)

1rijP+A

=P1]

；=>夕=/7一九

_____________%如圖]_5_14丫加由2=P2

d.組合式U形管測(cè)壓計(jì)

nJ

|JLJP+A-/Hg

HgHg(

夕=//.口2T加

e.U形管壓差計(jì)

fl氣

fTMp「九二二22-泡

-，2)

f.組合式U形管壓差計(jì)

先找等壓面：a一a面、b—b面

寫出等壓面壓力表達(dá)式：a—a面上

P「血="2-防2+7破八〃

所以P「小=/雄△0一/（%一4）

當(dāng)兩測(cè)點(diǎn)在同一水平面上時(shí)：△〃=用一耳

所以M=P「P2=0Hg-ykh

3、金屬測(cè)壓計(jì)

（1）原理：彈性元件在壓力作用下產(chǎn)生彈性變形。

（2）分類：彈簧管式、薄膜式壓力表。

（3）缺點(diǎn)：易壞（超量程操作）

4、電測(cè)式測(cè)壓計(jì)

電量一數(shù)字信號(hào)

5、幾種壓強(qiáng)的表示（基準(zhǔn)不同）

（1）、絕對(duì)壓強(qiáng)：P絕

是以絕對(duì)真空為零點(diǎn)而計(jì)量的壓強(qiáng)。

P『Pa+油*°

（2）、相對(duì)壓強(qiáng)（表壓）：p?|或P我

是以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽榱泓c(diǎn)而計(jì)量的壓強(qiáng)。

夕表="絕一4=及

（3）、真空壓強(qiáng)（真空度）：Pv或p其

當(dāng)絕對(duì)壓強(qiáng)小于當(dāng)?shù)卮髿鈮簳r(shí)，當(dāng)?shù)卮髿鈮号c絕對(duì)壓強(qiáng)的差值。

Pi(=Pa-P絕=-P表=濟(jì)真之0

注：①只有當(dāng)。表＜°時(shí)，才用真空度的概念

②氣體的壓強(qiáng)都是絕對(duì)壓強(qiáng)

③盡可能用表壓：R,在液體內(nèi)部等值傳遞的

(4)、壓強(qiáng)的度量

a、應(yīng)力單位：Pa,Kgf/cm2(即at),dyn/cm2

b、大氣壓單位：

252

1atm=760mmHg=1.0336Kgf7cm=10.336mH20=1.013X10N/m

244

lat=735mmHg=1Kgf7cm=9.8X10Pa=10mH2O=9.8X10Pa

c、液柱高單位：mmHg,mH2O

§1.6靜止流體作用在壁面上的力

一、作用在平面上的作用流體總壓力

平行力系問題。

1、問題描述：

設(shè)靜止液體中有一任意形狀的平面，它與水平面的夾角為a,面積為人

2、坐標(biāo)：選坐標(biāo)如圖

原點(diǎn)---取在自由液面上；

X軸——平面或其延伸面與自由液面的交線；

Y軸——垂直于ox軸沿著平面向下。

3、分析

①.總壓力的大小

在N上取微元面積加，坐標(biāo)為丁，其上所受總壓力為火，口對(duì)應(yīng)水下深度為鼠則:

dP=p-dA=濁dA=/v-sinadA(*)

在面積A上積分:

P=^dP=jy/sinadA=ysinajydA

(1)

面積/對(duì)ox軸的面積矩，即

所以尸=/sinaycA-yhcA-pcA

P=yhcA=pcA

——總壓力計(jì)算公式

結(jié)論：總壓力=形心處壓強(qiáng)x平面面積

問題：平面形心處壓強(qiáng)與平面的平均壓強(qiáng)大小一樣么？（一樣）

②.總壓力的方向：垂直并指向平面

③.總壓力作用點(diǎn)（壓力中心）

或%>="+e

e=——>0

其中偏心距匕4

Jc——平面對(duì)通過形心c并與x軸平行的軸的慣性矩，單位〃九

壓心的位置與受壓面傾角。無關(guān)，壓力中心（作用點(diǎn)）D永遠(yuǎn)在平面形心C的下

邊，距離為偏心距e。只有當(dāng)受壓面位置為水平放置時(shí)，壓心與形心才重合。

二、作用在曲面上的流體總壓力

它包括壓力的大小、作用點(diǎn)及作用方向三個(gè)方面。求解時(shí)，通常將總壓力分解成空間坐標(biāo)系的

三個(gè)分量，求出各分量后再合成。

工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。因此，我們只推導(dǎo)如圖所示曲面總壓力計(jì)算公式。

求總壓力問題就是空間力系的合成問題。

取坐標(biāo)如圖，

原點(diǎn)---自由液面上；

j軸——與二向曲面的母線平行。

設(shè)a為弘法線方向與x軸方向夾角，則

（一）、總壓力大小

①化整為零

②變不平行為平行

即曲面上所受的液體總靜壓力P可分解為在。x軸方向的水平分力尸、和在oz軸方向的垂直分力匕。

1、水平分力

dPx=yhdAcosa=yhdAx

Px=y[hdAx=yheAx=pcAx

Y=C,

所以PX=A4=PCAX（i）

式中J/""'一為面積A在yoz平面上的投影面對(duì)oy軸的面積矩。

2、垂直分力

因?yàn)閐P：=yhdAsina=yhdA：（2）

令丫=C,對(duì)（2）式積分

匕="5=%

其中小I砒為壓力體體積

3、總壓力：0=M+乃（4）

（二）、總壓力的方向

總壓力的方向與垂線夾角為9,則

tan。=乙

____匕

（三）、總壓力的作用點(diǎn)

尸應(yīng)通過Px與尸z的匯交點(diǎn)E,于是根據(jù)E點(diǎn)和。角可確定尸作用線位置，此線與曲面交點(diǎn)。

即為所求。

三、關(guān)于壓力體

由承受壓力的曲面、曲面邊緣向上引垂面與自由液面或延長線（面）相交形成的無

限多微小體積的總和。

1、組成：

a.自由液面或其延伸面

b.曲面

c.沿曲面的周界垂直至液面（或其延伸面）的鉛垂而

2、壓力體的畫法

a.找自由液面（或其延伸面）p表=0（當(dāng)P/W0,等效方法：h=p/Y）

b.找出液固分界面

c.據(jù)靜壓力作用方向的不同（f或I）找特殊點(diǎn)，分段。

d.做虛實(shí)壓力體。

4、分類

a.實(shí)壓力體

b.虛壓力體

c.綜合壓力體

例如：實(shí)壓力體（a）：PzI充滿液體

虛壓力體（b）：Pzt空

四、阿基米德浮力原理

（一）、靜止流體的浮力

1、潛體：完全潛沒在流體當(dāng)中的物體。

2,浮體：當(dāng)物體當(dāng)中的部分浸沒在流體中，另一部分露出在自由表面之上時(shí)，稱為浮

體。

3、浮力：浮體或潛體表面所受到流體對(duì)它的作用力的合力成為浮力。

巴孚=乃《入部分

4、浮心：浮力的作用點(diǎn)，為V的幾何中心。

（二）、浮體的平衡及穩(wěn)定

1、浮體的平衡條件

a.G=P

b.重心D和形心C在同一垂直線上

2、穩(wěn)定性分析

a.重心在浮心之下——穩(wěn)定平衡

b.重心與浮心重合——隨遇平衡

c.重心在浮心之上——不穩(wěn)定平衡

（三）、阿基米德浮力定律

p=Ph14/

物體實(shí)際受到的浮力，于同體積流體重量。于是阿基米德浮力定理得證。物體在液

體中，所受的靜水總壓力，僅有鉛直部分力，其大小就等于物體所排開的同體積的液