第4講萬有引力定律及其應(yīng)用相對(duì)論[主干知識(shí)·填一填]一、開普勒三定律的內(nèi)容、公式定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個(gè)與行星無關(guān)的常量二、萬有引力定律及其應(yīng)用1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小跟物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比．2．表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G為引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)定．3．適用條件(1)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用．(2)對(duì)質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩球心的距離．(3)一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體和球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，r為質(zhì)點(diǎn)到球心的距離．三、經(jīng)典時(shí)空觀和相對(duì)論時(shí)空觀1．經(jīng)典時(shí)空觀(1)物體的質(zhì)量不隨速度的變化而變化．(2)同一過程的位移和對(duì)應(yīng)的時(shí)間在所有參考系中測(cè)量結(jié)果相同．(3)適用條件：宏觀物體、低速運(yùn)動(dòng)．2．相對(duì)論時(shí)空觀(1)在狹義相對(duì)論中，物體的質(zhì)量隨物體的速度的增加而增加，用公式表示為m＝eq\f(m0,\r(1－\f(v2,c2))).(2)在狹義相對(duì)論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是不同的．(3)光速不變?cè)恚翰还茉谀膫€(gè)慣性系中，測(cè)得的真空中的光速都是不變的．[規(guī)律結(jié)論·記一記]1．面積定律是對(duì)同一個(gè)行星而言的，不同的行星相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積不等．由面積定律可知，行星在近日點(diǎn)的速度比它在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大．2．開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律既適用于行星繞太陽運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)．3．萬有引力定律的“三性”(1)普遍性：任何有質(zhì)量的物體間都存在萬有引力．(2)相互性：兩物體間的萬有引力是一對(duì)作用力與反作用力．(3)宏觀性：只有質(zhì)量巨大的天體間或天體與其附近物體間的萬有引力才有實(shí)際的物理意義．4．不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，地球表面上的重力加速度g＝eq\f(GM,R2).5．地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力由萬有引力與支持力的合力提供，而地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星由萬有引力提供向心力．[必刷小題·測(cè)一測(cè)]一、易混易錯(cuò)判斷1．所有行星繞太陽運(yùn)行的軌道都是橢圓．(√)2．行星在橢圓軌道上運(yùn)行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運(yùn)行速率越大．(×)3．只有天體之間才存在萬有引力．(×)4．只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算物體間的萬有引力．(×)5．地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心．(√)6．兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大．(×)二、經(jīng)典小題速練1．火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長(zhǎng)軸之比的立方D．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積解析：C太陽位于木星運(yùn)行軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，A錯(cuò)誤；不同的行星對(duì)應(yīng)不同的運(yùn)行軌道，運(yùn)行速度大小也不相同，B錯(cuò)誤；同一行星與太陽連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積才能相同，D錯(cuò)誤；由開普勒第三定律得eq\f(req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,火))＝eq\f(req\o\al(3,木),Teq\o\al(2,木))，故eq\f(Teq\o\al(2,火),Teq\o\al(2,木))＝eq\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,木))，C正確．2．兩個(gè)質(zhì)量均勻的球形物體，兩球心相距r時(shí)它們之間的萬有引力為F，若將兩球的半徑都加倍，兩球心的距離也加倍，它們之間的作用力為()A．2F B．4FC．8F D．16F解析：D由M＝eq\f(4,3)πR3ρ可知，兩球半徑加倍后，其質(zhì)量為原來的8倍，又r′＝2r，由萬有引力定律F＝eq\f(GM·m,r2)，F(xiàn)′＝eq\f(8M·8m,（2r）2)，可得F′＝16F，選項(xiàng)D正確．3．若地球表面處的重力加速度為g，而物體在距地面3R(R為地球半徑)處，由于地球作用而產(chǎn)生的加速度為g′，則eq\f(g′,g)為()A．1 B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,16)解析：D設(shè)地球質(zhì)量為M，在地球表面的物體m：eq\f(GMm,R2)＝mg，故g＝eq\f(GM,R2)，該物體在距地面3R處時(shí)：eq\f(GMm,（4R）2)＝mg′，故得g′＝eq\f(GM,16R2)，故eq\f(g′,g)＝eq\f(1,16)，選項(xiàng)D正確．命題點(diǎn)一開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律(自主學(xué)習(xí))[核心整合]1．行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理．2．開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)．3．由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最?。?．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同．但該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間．[題組突破]1．(對(duì)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解)對(duì)于開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解，下列說法正確的是()A．開普勒通過自己長(zhǎng)期觀測(cè)，記錄了大量數(shù)據(jù)，通過對(duì)數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律B．根據(jù)開普勒第一定律，行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓，太陽處于圓心位置C．根據(jù)開普勒第二定律，行星距離太陽越近，其運(yùn)動(dòng)速度越大；距離太陽越遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度越小D．根據(jù)開普勒第三定律，行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比解析：C第谷進(jìn)行了長(zhǎng)期觀測(cè)，記錄了大量數(shù)據(jù)，開普勒通過對(duì)數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓，太陽處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律，行星距離太陽越近，其運(yùn)動(dòng)速度越大，距離太陽越遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度越小，選項(xiàng)C正確；根據(jù)開普勒第三定律，行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．2．(開普勒第二定律的應(yīng)用)如圖所示，一顆衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期為T，圖中虛線為衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，A、B、C、D是軌道上的四個(gè)位置，其中A距離地球最近，C距離地球最遠(yuǎn)．B和D點(diǎn)是弧線ABC和ADC的中點(diǎn)，下列說法正確的是()A．衛(wèi)星在C點(diǎn)的速度最大B．衛(wèi)星在C點(diǎn)的加速度最大C．衛(wèi)星從A經(jīng)D到C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(T,2)D．衛(wèi)星從B經(jīng)A到D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(T,2)解析：C衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，類似于行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)，根據(jù)開普勒第二定律：行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，則知衛(wèi)星與地球的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，所以衛(wèi)星在距離地球最近的A點(diǎn)速度最大，在距離地球最遠(yuǎn)的C點(diǎn)速度最小，故A錯(cuò)誤；在橢圓的各個(gè)點(diǎn)上都是引力產(chǎn)生加速度，有a＝eq\f(GM,r2)，因衛(wèi)星在A點(diǎn)與地球的距離最小，則衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度最大，故B錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知tADC＝tCBA＝eq\f(T,2)，故C正確；衛(wèi)星在近地點(diǎn)A附近速度較大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)C附近速度較小，則tBAD<eq\f(T,2)，tDCB>eq\f(T,2)，故D錯(cuò)誤．3．(開普勒第三定律的應(yīng)用)太陽系中有一顆繞太陽公轉(zhuǎn)的行星，距太陽的平均距離是地球到太陽平均距離的4倍，則該行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期是()A．10年 B．2年C．4年 D．8年解析：D設(shè)地球半徑為R，則行星的半徑為4R，根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(R3,T2)＝eq\f(（4R）3,Teq\o\al(2,行))，解得T行＝eq\r(43)T＝8T，故D正確．命題點(diǎn)二萬有引力定律的理解和應(yīng)用(多維探究)1．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向．(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0.(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和．越靠近南、北兩極，g值越大.由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg.2．星球上空的重力加速度g′星球上空距離星體中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq\f(GmM,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2).所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2).3．萬有引力的“兩點(diǎn)理解”(1)兩物體相互作用的萬有引力是一對(duì)作用力和反作用力．(2)地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個(gè)分力．第1維度：萬有引力與重力的關(guān)系…(2021·山東卷)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國(guó)星際探測(cè)事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越．已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍．在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由著陸平臺(tái)支撐的懸停過程．懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力大小之比為()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1解析：B懸停時(shí)所受平臺(tái)的作用力等于萬有引力，根據(jù)F＝Geq\f(mM,R2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝Geq\f(M火m祝融,Req\o\al(2,火))∶Geq\f(M月m玉兔,Req\o\al(2,月))＝eq\f(9,22)×2＝eq\f(9,2)，故選B．第2維度：萬有引力的計(jì)算…(2020·全國(guó)卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5解析：B萬有引力表達(dá)式為F＝Geq\f(Mm,r2)，則同一物體在火星表面與地球表面受到的引力的比值為eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火req\o\al(2,地),M地req\o\al(2,火))＝0.4，選項(xiàng)B正確．第3維度：萬有引力提供向心力…(2021·全國(guó)甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的“天問一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m．已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m解析：C忽略火星自轉(zhuǎn)則eq\f(GMm,R2)＝mg①，可知GM＝gR2，設(shè)與運(yùn)行周期為1.8×105s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為r，由萬引力提供向心力可知：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r②，設(shè)近火點(diǎn)到火星中心為：R1＝R＋d1③，設(shè)遠(yuǎn)火點(diǎn)到火星中心為：R2＝R＋d2④，由開普勒第三定律可知：eq\f(r3,T2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R1＋R2,2)))\s\up12(3),T2)⑤，由以上分析可得：d2≈6×107m，故選C．第4維度：求天體表面某高度處的重力加速度…科幻大片《星際穿越》是基于知名理論物理學(xué)家基普·索恩的黑洞理論，加入人物和相關(guān)情節(jié)改編而成的．電影中的黑洞花費(fèi)三十名研究人員將近一年的時(shí)間，用數(shù)千臺(tái)計(jì)算機(jī)精確模擬才得以實(shí)現(xiàn)，讓我們看到了迄今最真實(shí)的黑洞模樣．若某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G為引力常量)，則該黑洞表面的重力加速度大約為()A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2 D．1014m/s2解析：C黑洞實(shí)際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，設(shè)黑洞表面的重力加速度為g，對(duì)黑洞表面的某一質(zhì)量為m的物體，有eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，聯(lián)立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入數(shù)據(jù)得重力加速度約為1012m/s2，故C正確．第5維度：萬有引力定律和牛頓第二定律的綜合應(yīng)用…(2020·山東卷)我國(guó)將在今年擇機(jī)執(zhí)行“天問1號(hào)”火星探測(cè)任務(wù)．質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會(huì)在火星表面附近經(jīng)歷一個(gè)時(shí)長(zhǎng)為t0、速度由v0減速到零的過程．已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力．若該減速過程可視為一個(gè)豎直向下的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，此過程中著陸器受到的制動(dòng)力大小約為()A．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g－\f(v0,t0))) B．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))C．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g－\f(v0,t0))) D．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g＋\f(v0,t0)))解析：B著陸器向下做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v0,t0).在天體表面附近，有mg＝Geq\f(mM,R2)，則eq\f(g火,g)＝eq\f(M火,M地)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))eq\s\up12(2)，整理得g火＝0.4g，由牛頓第二定律知，著陸器運(yùn)動(dòng)時(shí)有F－mg火＝ma，則制動(dòng)力F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))，選項(xiàng)B正確．命題點(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的估算(師生互動(dòng))[核心整合]1．重力加速度法利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).(2)天體密度：ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．衛(wèi)星環(huán)繞法測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和周期T.(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．(2021·全國(guó)乙卷)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞．這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M解析：B可以近似把S2看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題圖可知，S2繞黑洞的周期T＝16年，地球的公轉(zhuǎn)周期T0＝1年，S2繞黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R關(guān)系是r＝1000R，地球繞太陽的向心力由太陽對(duì)地球的引力提供，由向心力公式可知Geq\f(Mm,R2)＝mRω2＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，解得太陽的質(zhì)量為M＝eq\f(4πR3,GTeq\o\al(2,0))，同理S2繞黑洞的向心力由黑洞對(duì)它的萬有引力提供，由向心力公式可知Geq\f(Mxm′,r2)＝m′rω2＝m′req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，解得黑洞的質(zhì)量為Mx＝eq\f(4πr3,GT2)，綜上可得Mx＝3.90×106M，故選B．eq\a\vs4\al()(1)利用萬有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量．(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R;計(jì)算天體密度時(shí)，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑．[題組突破]1．(2021·廣東卷)2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行，若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑解析：D根據(jù)核心艙做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由地球的萬有引力提供，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑、已知核心艙的質(zhì)量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不能求解地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質(zhì)量．故選D．2．(多選)“嫦娥三號(hào)”在月球表面釋放出“玉兔”號(hào)月球車開展探測(cè)工作，若該月球車在地球表面的重力為G1，在月球表面的重力為G2，已知地球半徑為R1，月球半徑為R2，則()A．地球表面與月球表面的重力加速度之比為eq\f(G1Req\o\al(2,2),G2Req\o\al(2,1))B．地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為eq\r(\f(G1R1,G2R2))C．地球與月球的質(zhì)量之比為eq\f(G1Req\o\al(2,2),G2Req\o\al(2,1))D．地球與月球的平均密度之比為eq\f(G1R2,G2R1)解析：BD地球表面的重力加速度為g1＝eq\f(G1,m)，月球表面的重力加速度g2＝eq\f(G2,m)，地球表面與月球表面的重力加速度之比為eq\f(g1,g2)＝eq\f(G1,G2)，故A錯(cuò)誤．根據(jù)第一宇宙速度公式v＝eq\r(gR)，得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(g1R1,g2R2))＝eq\r(\f(G1R1,G2R2))，故B正確．根據(jù)mg＝eq\f(GMm,R2)，得M＝eq\f(gR2,G)，地球質(zhì)量M1＝eq\f(g1Req\o\al(2,1),G)，月球的質(zhì)量M2＝eq\f(g2Req\o\al(2,2),G)，所以地球與月球質(zhì)量之比為eq\f(M1,M2)＝eq\f(g1Req\o\al(2,1),g2Req\o\al(2,2))＝eq\f(G1Req\o\al(2,1),G2Req\o\al(2,2))，故C錯(cuò)誤．平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πRG)，得eq\f(ρ1,ρ2)＝eq\f(g1R2,g2R1)＝eq\f(G1R2,G2R1)，故D正確．命題點(diǎn)四狹義相對(duì)論(自主學(xué)習(xí))[核心整合]1．狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)(1)狹義相對(duì)性原理：在不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是相同的．(2)光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑僭诓煌膽T性參考系中都是相同的，光速與光源、觀測(cè)者間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系．2．狹義相對(duì)論的質(zhì)能關(guān)系用m表示物體的質(zhì)量，E表示它具有的能量，則愛因斯坦質(zhì)能方程為：E＝mc2.3．狹義相對(duì)論的三個(gè)有用的結(jié)論(1)運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘變慢了．(2)運(yùn)動(dòng)的尺子長(zhǎng)度縮短了．(3)運(yùn)動(dòng)的物體質(zhì)量增大了．[題組突破]1．(狹義相對(duì)論的理解)(多選)接近光速飛行的飛船和地球上各有一只相同的銫原子鐘，飛船和地球上的人觀測(cè)這兩只鐘的快慢，下列說法正確的有()A．飛船上的人觀測(cè)到飛船上的鐘較快B．飛船上的人觀測(cè)到飛船上的鐘較慢C．地球上的人觀測(cè)到地球上的鐘較快D．地球上的人觀測(cè)到地球上的鐘較慢解析：AC相對(duì)論告訴我們，運(yùn)動(dòng)的鐘會(huì)變慢，由于飛船上的人相對(duì)飛船上的鐘是靜止的，而觀測(cè)到地球上的鐘是高速運(yùn)動(dòng)的，因此飛船上的人觀測(cè)到飛船上的鐘相對(duì)于地球上的鐘快，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；同樣，地球上的人觀測(cè)到飛船上的鐘是高速運(yùn)動(dòng)的，因此地球上的人觀測(cè)到地球上的鐘比飛船上的鐘快，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤．2．(狹義相對(duì)論結(jié)論的應(yīng)用)一艘太空飛船靜止時(shí)的長(zhǎng)度為30m，他以0.6c(c為光速)的速度沿長(zhǎng)度方向飛行越過地球，下列說法正確的是()A．飛船上的觀測(cè)者測(cè)得該飛船的長(zhǎng)度小于30mB．地球上的觀測(cè)者測(cè)得該飛船的長(zhǎng)度小于30mC．飛船上的觀測(cè)者測(cè)得地球上發(fā)來的光信號(hào)速度小于cD．地球上的觀測(cè)者測(cè)得飛船上發(fā)來的光信號(hào)速度小于c解析：B飛船上的觀測(cè)者相對(duì)飛船靜止，測(cè)得的長(zhǎng)度仍為30m，而地球上的觀測(cè)者觀測(cè)高速飛行的飛船，長(zhǎng)度縮短了，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)狹義相對(duì)論的基本假設(shè)可知，飛船和地球上的觀測(cè)者測(cè)得光信號(hào)的速度均為c，C、D均錯(cuò)誤．3．(光速不變?cè)?如圖所示，兩艘飛船A、B沿同一直線同向飛行，相對(duì)地面的速度均為v(v接近光速c)．地面上的人測(cè)得它們相距為L(zhǎng)，則飛船A上的人測(cè)得兩飛船間的距離________(選填“大于”“等于”或“小于”)L.當(dāng)B向A發(fā)出一光信號(hào)，飛船A上的人測(cè)得該信號(hào)的速度為________．解析：根據(jù)狹義相對(duì)論的光速不變?cè)恚虼孙w船A上的人測(cè)得信號(hào)的速度仍等于c(或光速)，以地面為參考系，在運(yùn)動(dòng)方向有尺縮效應(yīng)現(xiàn)象，而B相對(duì)A是靜止的，沒有尺縮效應(yīng)現(xiàn)象，則飛船A上的人測(cè)得兩飛船距離應(yīng)大于L.答案：大于c(或光速)素養(yǎng)培優(yōu)12萬有引力的三種計(jì)算思路思路一用萬有引力定律計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于質(zhì)點(diǎn)、均勻介質(zhì)球體或球殼之間萬有引力的計(jì)算．當(dāng)兩物體為勻質(zhì)球體或球殼時(shí)，可以認(rèn)為勻質(zhì)球體或球殼的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，引力的方向沿兩球心的連線．(多選)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R.下列說法正確的是()A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為eq\f(GMm,（r－R）2)B．一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)D．三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)解析：BC由萬有引力定律知A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；因三顆衛(wèi)星連線構(gòu)成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數(shù)學(xué)知識(shí)易知任意兩顆衛(wèi)星間距d＝2rcos30°＝eq\r(3)r，由萬有引力定律知C項(xiàng)正確；因三顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小相等且互成120°，故三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力為0，則D項(xiàng)錯(cuò)誤．思路二推論法計(jì)算萬有引力推論Ⅰ：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零．推論Ⅱ：如圖所示，在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對(duì)它的引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).如圖所示，有人設(shè)想要“打穿地球”從中國(guó)建立一條通過地心的光滑隧道直達(dá)巴西．若只考慮物體間的萬有引力，則從隧道口拋下一物體，物體的加速度()A．一直增大 B．一直減小C．先增大后減小 D．先減小后增大解析：D設(shè)地球的平均密度為ρ，物體在隧道內(nèi)部離地心的距離為r，則物體m所受的萬有引力F＝G·eq\f(ρ·\f(4,3)πr3·m,r2)＝eq\f(4,3)πGρmr，物體的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(4,3)πGρr，由題意可知r先減小后增大，故a也先減小后增大，則選項(xiàng)D正確．思路三填補(bǔ)法求解萬有引力運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補(bǔ)后運(yùn)算，運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題主要體現(xiàn)了等效思想．如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體．從中挖去一個(gè)半徑為eq\f(R,2)的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)解析：D若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回，可知剩余部分對(duì)m的吸引力等于完整大球體對(duì)m的吸引力與挖去小球體對(duì)m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對(duì)m的萬有引力為零，則剩余部分對(duì)m的萬有引力等于完整大球體對(duì)m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為eq\f(R,2)的球，易知其質(zhì)量為eq\f(1,8)M，則剩余均勻球殼對(duì)m的萬有引力為零，故剩余部分對(duì)m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律，F(xiàn)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝Geq\f(Mm,2R2)，故D正確．限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練[基礎(chǔ)鞏固]1．(2022·重慶市外國(guó)語學(xué)校高三質(zhì)檢)(多選)質(zhì)量為m的小物塊靜止在赤道處，下列關(guān)于小物塊所受引力和重力的說法正確的是()A．小物塊所受重力的方向一定指向地心B．小物塊所受引力的方向一定指向地心C．若地球自轉(zhuǎn)加快，小物塊所受重力變小D．若地球自轉(zhuǎn)加快，小物塊所受引力變小解析：ABC重力的方向豎直向下，而赤道處豎直向下和指向地心重合，則赤道位置的重力指向地心，則A項(xiàng)正確；物體受到地球的萬有引力方向沿物體和地球的球心連線而指向地心，故B項(xiàng)正確；對(duì)赤道位置的物體分析可知，所受萬有引力產(chǎn)生兩分力效果，一是重力，二是自轉(zhuǎn)向心力，且三者的方向都指向地心，滿足：Geq\f(Mm,R2)＝mRω2＋mg赤，則自轉(zhuǎn)加快即角速度ω增大，所需向心力變大，而引力不變，故重力變小，故C項(xiàng)正確；物體所受萬有引力大小Geq\f(Mm,R2)，與自轉(zhuǎn)快慢無關(guān)，則地球自轉(zhuǎn)加快時(shí)小物塊所受的引力不變，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．2．(2022·安徽六安市省示范高中教學(xué)質(zhì)檢)國(guó)產(chǎn)科幻巨作《流浪地球》上映，開創(chuàng)了中國(guó)科幻電影的新紀(jì)元，打破了中國(guó)人不會(huì)拍攝科幻電影的魔咒，也引起了人們對(duì)地球如何離開太陽系的熱烈討論．其中有一種思路是不斷加速地球使其圍繞太陽做半長(zhǎng)軸逐漸增大的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，最終離開太陽系．假如其中某一過程地球剛好圍繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球到太陽的最近距離仍為R，最遠(yuǎn)距離為7R(R為加速前地球與太陽間的距離)，則在該軌道上地球公轉(zhuǎn)周期將變?yōu)?)A．8年 B．6年C．4年 D．2年解析：A由開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋7R,2)))\s\up12(3),Teq\o\al(2,1))，解得T1＝8年，選項(xiàng)A正確．3．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)2019年1月，我國(guó)嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面軟著陸．在探測(cè)器“奔向”月球的過程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是()解析：D由萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)可知，探測(cè)器與地球表面距離h越大，F(xiàn)越小，排除B、C；而F與h不是一次函數(shù)關(guān)系，排除A．4．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的(忽略其自轉(zhuǎn)影響)()A．eq\f(1,4) B．4倍C．16倍 D．64倍解析：D天體表面的物體所受重力mg＝Geq\f(Mm,R2)，又知ρ＝eq\f(3M,4πR3)，所以M＝eq\f(9g3,16π2ρ2G3)，故eq\f(M星,M地)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g星,g地)))eq\s\up12(3)＝64.D正確．5．(2020·全國(guó)卷Ⅱ)若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期是()A．eq\r(\f(3π,Gρ)) B．eq\r(\f(4π,Gρ))C．eq\r(\f(1,3πGρ)) D．eq\r(\f(1,4πGρ))解析：A根據(jù)衛(wèi)星受到的萬有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R球形星體質(zhì)量可表示為：M＝ρ·eq\f(4,3)πR3由以上兩式可得：T＝eq\r(\f(3π,Gρ)).6．據(jù)報(bào)道，科學(xué)家們?cè)诰嚯x地球20萬光年外發(fā)現(xiàn)首顆系外“宜居”行星，假設(shè)該行星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，半徑約為地球半徑的2倍，那么一個(gè)在地球表面能舉起64kg物體的人，在這個(gè)行星表面能舉起的物體的質(zhì)量約為(地球表面重力加速度g取10m/s2)()A．40kg B．50kgC．60kg D．30kg解析：A在地球表面，萬有引力近似等于重力即eq\f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)，因?yàn)樾行琴|(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，其半徑約為地球半徑的2倍，則行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的舉力可認(rèn)為是不變的，則人在行星表面所舉起的物體的質(zhì)量為m＝eq\f(m0,1.6)＝eq\f(64,1.6)kg＝40kg，故A正確．7．如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉(zhuǎn)移軌道．已知地球的半徑R＝6400km，該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為(圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的高度)()A．3h B．8hC．15h D．20h解析：A根據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4200km，可知軌道半徑約為R1＝10600km，同步軌道上GEO衛(wèi)星距離地面高度為36000km，可知軌道半徑約為R2＝42400km，為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即R2＝4R1.地球同步衛(wèi)星的周期為T2＝24h，運(yùn)用開普勒第三定律，eq\f(Req\o\al(3,1),Req\o\al(3,2))＝eq\f(Teq\o\al(2,1),Teq\o\al(2,2))，解得T1＝3h，選項(xiàng)A正確．[能力提升]8．(多選)探索火星的奧秘承載著人類征服宇宙的夢(mèng)想．假設(shè)人類某次利用飛船探測(cè)火星的過程中，飛船只在萬有引力作用下貼著火星表面繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)得其繞行速度為v，繞行一周所用時(shí)間為T,已知引力常量為G，則()A．火星表面的重力加速度為eq\f(πv,T)B．火星的半徑為eq\f(Tv,2π)C．火星的密度為eq\f(3π,GT2)D．火星的質(zhì)量為eq\f(Tv2,2πG)解析：BC飛船在火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑等于火星的半徑，根據(jù)v＝eq\f(2πR,T)，得R＝eq\f(vT,2π)，故B正確；根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，得火星的質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，根據(jù)密度公式得火星的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq\f(3π,GT2)，故C正確；根據(jù)M＝ρ·eq\f(4πR3,3)＝eq\f(3π,GT2)×eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vT,2π)))eq\s\up12(3)＝eq\f(Tv3,2πG)，可知D錯(cuò)誤；根據(jù)重力等于萬有引力得，mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝Geq\f(M,R2)＝eq\f(2πv,T)，故A錯(cuò)誤．9．(多選)天文學(xué)家哈雷曾經(jīng)在1682年跟蹤過一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長(zhǎng)軸約等于地球公轉(zhuǎn)半徑的18倍，并預(yù)言這顆彗星將每隔一定時(shí)間就會(huì)出現(xiàn)，后來哈雷的預(yù)言得到證實(shí)，該彗星被命名為哈雷彗星．哈雷彗星繞太陽運(yùn)行的橢圓軌道如圖所示，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若只考慮哈雷彗星和太陽之間的相互作用，則()A．哈雷彗星的運(yùn)行周期約為76年B．哈雷彗星從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)需要19年C．哈雷彗星從P經(jīng)M到Q階段，速率逐漸減小D．哈雷彗星從P經(jīng)M到Q階段，機(jī)械能逐漸減小解析：AC設(shè)彗星的周期為T1，地球的公轉(zhuǎn)周期為T2，這顆彗星軌道的半長(zhǎng)軸a1約等于地球公轉(zhuǎn)半徑R的18倍，由開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k得eq\f(T1,T2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,R)))\s\up12(3))＝eq\r(183)≈76，即T1＝76年，A正確；從P到Q過程中，彗星需要克服引力做功，動(dòng)能減小，即速率越來越小，所以從P到M過程中所需時(shí)間小于周期的四分之一，即小于19年，B錯(cuò)誤，C正確；從P到Q過程中只有引力做功，機(jī)械能不變，D錯(cuò)誤．10．如圖所示，將一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻大球，沿直徑挖去兩個(gè)半徑分別為大球一半的小球，并把其中一個(gè)放在球外與大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一條直線上，則大球中剩余部分與球外小球的萬有引力大小約為(已知引力常量為G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)解析：D由題意知，所挖出小球的半徑為eq\f(R,2)，質(zhì)量為eq\f(M,8)，則未挖出小球前大球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力大小為F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(GM2,18R2)，將所挖出的其中一個(gè)小球填在原位置，則填入左側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力為F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),（2R）2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力為F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，大球中剩余部分對(duì)球外小球的萬有引力大小為F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，D選項(xiàng)正確．11．(2022·山西太原二模)(多選)某同學(xué)認(rèn)為只要測(cè)出地球赤道位置處的重力加速度g，就可以利用一些常見的數(shù)據(jù)計(jì)算出地球的半徑和質(zhì)量．已知常見數(shù)據(jù)為萬有引力常量G，地球的自轉(zhuǎn)周期T，地球兩極處的重力加速度g0.若視地球?yàn)橘|(zhì)量分布均勻的球體，赤道處的重力加速度g已經(jīng)測(cè)出，則下列說法中正確的是()A．地球的半徑為eq\f(T（g0－g）,2π)B．地球的半徑為eq\f(T2（g0－g）,4π2)C．地球的質(zhì)量為eq\f(g0（g0－g）T2,4π2G)D．地球的質(zhì)量為eq\f(g0（g0－g）2T4,16π4G)解析：BD在兩極地區(qū)，物體受到地球的萬有引力等于其所受的重力，則有eq\f(GMm,R2)＝mg0，在赤道處，則有eq\f(GMm,R2)－mg＝meq\f(4π2R,T2)，聯(lián)立可得地球的半徑為R＝eq\f(（g0－g）T2,4π2)，將R