用倍長中線法構(gòu)造全等三角形綜合應(yīng)用△ABC中,AD是BC邊中線方式1：直接倍長延長AD到E，使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E（2）延長MD到N，使DN=MD，連接CN倍長中線法原理：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）【典例1】（2021春?吉安縣期末）課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴BD＝DC，∵在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．【變式1-1】（2021秋?肥西縣期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和9，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7【答案】D【解答】解：如圖，AB＝5，AC＝9，AD為BC邊的中線，延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，CE，∵AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE與△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，9﹣5＜2x，∴2＜x＜7，故選：D．【變式1-2】（2019秋?貴港期中）如圖，AE是△ABD的中線AB＝CD＝BD．求證：AB+AD＞2AE；【解答】證明：（1）延長AE到M，使AE＝EM，連接DM，∵AE為△ABD的中線，∴BE＝DE，在△AEB和△MED中∴△AEB≌△MED（SAS），∴AB＝DM，在△AMD中，AD+DM＞AM，即AB+AD＞2AE；【變式1-3】（2021秋?齊河縣期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．證明：（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．1．（2021秋?新城區(qū)校級期中）已知AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝12，AC＝8，則中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不對【解答】解：如圖，延長AD至點(diǎn)E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴BD＝CD，又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故選：A．2．（2021秋?南充期末）如圖，AD是△ABC的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，且DF＝DE．求證：BE∥CF．【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠BED＝∠CFD，∴BE∥CF．3．（2021秋?濱湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，已知：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長到點(diǎn)E，連接BE．（1）請你添加一個(gè)條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【解答】（1）結(jié)論：若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：AC∥BE或AD＝DE；證明：當(dāng)AC∥BE時(shí)，∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，又∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（AAS）；當(dāng)AD＝DE時(shí)，∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴BD＝DC，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），（2）解：∵△ACD≌△EBD，∴AC＝BE＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜2AD＜5+3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4．4．（2021秋?漢陽區(qū)校級月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（2）受到（1）啟發(fā)，請你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.【解答】解：（1）延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是BC邊的中線，∴BD＝DC，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABC中，AB＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4；（2）延長FD到點(diǎn)G，使GD＝DF，連接BG，EG，∵D是BC邊上的中點(diǎn)，∴BD＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵DE⊥DF，∴ED是GF的垂直平分線，∴EG＝EF，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF．5．（2020秋?津南區(qū)期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求證：AD＝AC；（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，中線BD與AE相交于點(diǎn)P，AP＝BC．求證：PE＝BE．【解答】證明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝BAC＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，∵∠C＝80°，∴∠C＝∠ADC，∴AD＝AC；（2）過點(diǎn)A作AF∥BC交BD的延長線于點(diǎn)F，∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（AAS），∴AF＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AF，∴∠APF＝∠F，∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，∴∠BPE＝∠PBE，∴PE＝BE6．（2021秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB∥CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接寫出線段DF的長．【解答】解：（1）延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．（2）結(jié)論：AD＝AB+DC．理由：如圖②中，延長AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠FDG＝∠G，∴FD＝FG，∴AB＝DF+CF，∵AB＝5，CF＝2，∴DF＝AB﹣CF＝3．7．（2021秋?通榆縣期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．8．（2021春?歷下區(qū)期中）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【解答】解：（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．9．（2020秋?大安市期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：C．（3）證明：如圖，延長AE到F，使EF＝AE，連接DF，∵AE是△ABD的中線∴BE＝ED，在△ABE與△FDE中，，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，∴∠ADF＝∠ADC，∵AB＝DC，∴DF＝DC，在△ADF與△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．10．（2020秋?饒平縣校級期中）（1）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝8，AC＝6則AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（2）在（1）問的啟發(fā)下，解決下列問題：如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．【解答】解：（1）延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，∵AD＝DM，BD＝CD，∠ADC＝∠MDB，∴△ADC≌△BDM，∴BM＝AC，在△ABM中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，所以AD的范圍是1＜AD＜7．故選：C．（2）∵△ADC≌△MDB，∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠MFB＝∠AFE，∴∠BMF＝∠BFM，∴BM＝BF，∴AC＝BF．11．（2019秋?新吳區(qū)期中）（1