第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第八講函數(shù)模型及其應(yīng)用要點(diǎn)提煉

指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型的比較考點(diǎn)11.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型一次函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0).二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).指數(shù)函數(shù)模型f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1).對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠1).冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0,n≠1).

指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型的比較考點(diǎn)12.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)的比較

y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增函數(shù).單調(diào)遞增函數(shù).單調(diào)遞增函數(shù).增長(zhǎng)速度越來(lái)越

.越來(lái)越

.隨n值變化而各有不同.圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

軸平行.隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

軸平行.隨n值變化而各有不同.聯(lián)系存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xn<ax.快慢yx

函數(shù)模型的應(yīng)用考點(diǎn)2建立函數(shù)模型解應(yīng)用問(wèn)題的步驟

???√√√考向掃描利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題考向1

利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題考向1給出下列四個(gè)結(jié)論:①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);②在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);③在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

.

①②③利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題考向1解析

由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1時(shí)刻高于乙企業(yè),而在t2時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同,故在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),故①正確;甲企業(yè)污水排放量與時(shí)間的關(guān)系圖象在t2時(shí)刻切線的斜率的絕對(duì)值大于乙企業(yè),故②正確;在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量,故都已達(dá)標(biāo),③正確;甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[t1,t2]的污水治理能力最強(qiáng),故④錯(cuò)誤.已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向2

C已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向2方法技巧已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題的技巧1.若函數(shù)模型已知,則根據(jù)具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)求出的值回答問(wèn)題;2.若函數(shù)模型中含參數(shù),則根據(jù)具體情境,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型中的參數(shù),再用求得的函數(shù)解析式解決實(shí)際問(wèn)題.已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向23.變式[2020新高考卷Ⅰ]基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)(

)A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天

B

構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3角度1構(gòu)造二次函數(shù)或分段函數(shù)模型4.典例[2022南昌市模擬]某市出臺(tái)兩套出租車(chē)計(jì)價(jià)方案,方案一:2千米及2千米以內(nèi)收費(fèi)8元(起步價(jià)),超過(guò)2千米的部分每千米收費(fèi)3元,不足1千米按1千米計(jì)算;方案二:3千米及3千米以內(nèi)收費(fèi)12元(起步價(jià)),超過(guò)3千米不超過(guò)10千米的部分每千米收費(fèi)2.5元,超過(guò)10千米的部分每千米收費(fèi)3.5元,不足1千米按1千米計(jì)算.以下說(shuō)法正確的是(

)A.方案二比方案一更優(yōu)惠B.乘客甲打車(chē)行駛4千米,他應(yīng)該選擇方案二C.乘客乙打車(chē)行駛12千米,他應(yīng)該選擇方案二D.乘客丙打車(chē)行駛16千米,他應(yīng)該選擇方案二

C構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3

構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3方法技巧二次函數(shù)和分段函數(shù)模型的應(yīng)用策略(1)實(shí)際問(wèn)題中的面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題等一般選用二次函數(shù)模型,然后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.(2)實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式表示,而由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車(chē)的計(jì)費(fèi)與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.注意(1)分段函數(shù)的“段”要分得合理,不重不漏.(2)分段函數(shù)的最值是各段上的最值的最大者或最小者.構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3v406090100120Q5.268.3251015.65.變式[2021福州市5月質(zhì)檢]經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到某種型號(hào)的汽車(chē)每小時(shí)耗油量Q(單位:L)與速度v(單位:km/h)(40≤v≤120)的數(shù)據(jù)如下表.為描述Q與v的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種模型供選:Q(v)=0.04v+3.6,Q(v)=0.5v+a,Q(v)=0.000025v3-0.004v2+0.25v.選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型,解決下列問(wèn)題:某高速公路共有三個(gè)車(chē)道,分別是外側(cè)車(chē)道、中間車(chē)道、內(nèi)側(cè)車(chē)道,車(chē)速范圍分別[60,90),[90,110),[110,120](單位:km/h).為使百公里耗油量W(單位:L)最小,該型號(hào)汽車(chē)行駛的車(chē)道與速度為(

)A.在外側(cè)車(chē)道以80km/h行駛B.在中間車(chē)道以90km/h行駛C.在中間車(chē)道以95km/h行駛D.在內(nèi)側(cè)車(chē)道以115km/h行駛

A構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3

構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3角度2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型6.典例[2016四川高考][理]某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元.在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(

)(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)

A.2018年 B.2019年C.2020年 D.2021年

B構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3

構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題考向3方法技巧1.實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N