湖南省郴州市文明中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（）A．0 B．1 C． D．3參考答案：B【考點】基本不等式． 【分析】依題意，當(dāng)取得最大值時x=2y，代入所求關(guān)系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值． 【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0， ∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實數(shù)， ∴==≤=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取“=”）， ∴=1，此時，x=2y． ∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2， ∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y=1時取得“=”，滿足題意． ∴的最大值為1． 故選B． 【點評】本題考查基本不等式，由取得最大值時得到x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題． 2.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD，若點P為CD的中點，且，則λ+μ=（）A．3 B． C．2 D．1參考答案：B【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，可以得到的坐標(biāo)表示，進而得到答案．【解答】解：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立坐標(biāo)系如圖，則B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），=（﹣1，1），∵=（λ﹣μ，μ），又∵P是點P為CD的中點，∴=（，1），∴，∴λ=，μ=1，∴λ+μ=，故選：B【點評】本題考查的知識點是向量在幾何中的應(yīng)用，向量加減的幾何意義，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．3.已知變量與變量之間具有相關(guān)關(guān)系，并測得如下一組數(shù)據(jù)則變量與之間的線性回歸方程可能為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.下列說法正確的是A．命題“”為真命題，則命題“”和命題“”均為真命題 B．已知，則“”是“”的充分不必要條件 C．命題“若，則”的逆命題是真命題 D．命題“”的否定是：“”參考答案：D5.若拋物線y2=2px（p＞0）的焦點與雙曲線﹣y2=1的一個焦點重合，則p=（）A．2 B．2 C．8 D．4參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程分析計算可得焦點坐標(biāo)為（±2，0），由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析拋物線的焦點位置，可得拋物線的焦點坐標(biāo)，進而由拋物線的焦點坐標(biāo)公式可得=2，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為﹣y2=1，其焦點坐標(biāo)為（±2，0），而拋物線y2=2px（p＞0）的焦點在x軸正半軸上，則拋物線的焦點為（2，0），即=2，解可得p=4；故選：D．【點評】本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，要先由雙曲線的方程求出其焦點坐標(biāo)．6.已知△的三邊長成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個三角形的周長是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D7.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍．當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜仍然前于他10米．當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜．按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（

）A． B． C． D．參考答案：B根據(jù)條件，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，公比為當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)乃俣惹『脼槊讜r，烏龜爬行的總距離為故選

8.右圖是一個算法的流程圖，最后輸出的W=（

）A．18

B．16

C．14

D．12參考答案：B第一次進入循環(huán)：；第二次進入循環(huán)：；第三次進入循環(huán)：；第四次進入循環(huán)：；第五次進入循環(huán)：；第六次進入循環(huán)：，結(jié)束此時輸出W的值為。9.在數(shù)字中隨機地抽取兩個數(shù)字，它們的和大于的概率是

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.sin210°=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：C【考點】GO：運用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式可得sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°，化簡得出結(jié)果．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣，故選C．【點評】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，把要求的式子化為sin（180°+30°）是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量的夾角為，且，，則

．參考答案：2根據(jù)向量的點積運算得到，向量的夾角為，，故，計算得到.故答案為2.

12.已知各項都為整數(shù)的數(shù)列中，，且對任意的，滿足，，則__________．參考答案：由，得，兩式相加得，又，，所以，從而.13.已知滿足，則的最大值為 。參考答案：214.如圖，已知球是棱長為的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為

參考答案：略15.若sin（π+x）+cos（π+x）=，則sin2x=

，=

．參考答案：﹣，﹣．【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式求得sinx+cosx=﹣，兩邊平方，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式即可求得sinx2x=﹣，=，化簡整理即可求得答案．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，兩邊平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，則sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案為：﹣，﹣．【點評】本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查二倍角公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)f（x）=（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象在點A（e，1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，利用分段函數(shù)與切線有三個不同的交點，得到當(dāng)x＜1時，切線和二次函數(shù)有兩個不同的交點，利用二次函數(shù)根的分布建立不等式關(guān)系，即可求得a的取值范圍．解答： 解：當(dāng)x≥1，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f'（x）=，則f'（e）=，則在A（e，1）處的切線方程為y﹣1=（x﹣e），即y=．當(dāng)x≥1時，切線和函數(shù)f（x）=lnx有且只有一個交點，∴要使切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點，則當(dāng)x＜1時，函數(shù)f（x）==，有兩個不同的交點，即（x+2）（x﹣a）=x，在x＜1時，有兩個不同的根，設(shè)g（x）=（x+2）（x﹣a）﹣x=x2+（1﹣a）x﹣2a，則滿足，即，∴，解得或，即實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．點評：不同主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)交點問題，利用二次函數(shù)的根的分布是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生分析問題的能力，綜合性較強．17.將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍中,每個宿舍至少安排2名學(xué)生,那么互不相同的分配方案共有________種.參考答案：112三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）函數(shù).（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：.參考答案：解：（I）的定義域為．（i）當(dāng)時，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)．（ii）當(dāng)時,成立當(dāng)且僅當(dāng)在上是增函數(shù)．（iii）當(dāng)時，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)．（II）由（I）知，當(dāng)時，在是增函數(shù)．當(dāng)時，，即．又由（I）知，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，，即．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．（i）當(dāng)時，由已知，故結(jié)論成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即．當(dāng)時，，即當(dāng)時有，結(jié)論成立．根據(jù)（i）、（ii）知對任何結(jié)論都成立．19.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．(2)已知求函數(shù)的值域．參考答案：解析:(1)

=,當(dāng)時,,而,所以當(dāng)時,y有最小值;當(dāng)時,y有最大值3.

(2)由已知，得

=20.已知各項為正數(shù)的數(shù)列，，前項和，是與的等差中項（）．（1）求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，求前項和．參考答案：解：（1）∵當(dāng)時，，∴，即，∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴（），∵當(dāng)時也成立，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∴．21.設(shè)曲線：（），表示導(dǎo)函數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）數(shù)列滿足，．求證：數(shù)列中不存在成等差數(shù)列的三項；（III）對于曲線上的不同兩點，，，求證：存在唯一的，使直線的斜率等于．參考答案：.解：（I），得當(dāng)變化時，與變化情況如下表：＋0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴當(dāng)時，取得極大值，沒有極小值；

…………（4分）（II）∵，∴，∴

…………（6分）假設(shè)數(shù)列中存在成等差數(shù)列的三項，則，因此，數(shù)列中不存在成等差數(shù)列的三項

…………（8分）（III）（方法1）∵，∴，∴即，設(shè)，，是的增函數(shù)，∵，∴；，，是的增函數(shù)，∵，∴，∴函數(shù)在內(nèi)有零點，

…………（10分）又∵，函數(shù)在是增函數(shù)，∴函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，命題成立…………（12分）（方法2）∵，∴，即，，且唯一設(shè)，則，再設(shè)，，∴∴在是增函數(shù)∴，同理∴方程在有解