北師大版高三數(shù)學(xué)必修五《基本不等式》教案及教學(xué)反思一、教學(xué)目標(biāo)理解和掌握基本不等式的定義及常見類型；理解基本不等式的證明方法，能夠獨(dú)立進(jìn)行證明；運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題。二、教學(xué)準(zhǔn)備教師課件PPT；學(xué)生課本、筆記本及計(jì)算器。三、教學(xué)內(nèi)容1.基本不等式定義及常見類型定義：對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)$a_1,a_2,\\cdots,a_n$，有$$(a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2)(1+1+\\cdots+1)\\ge(a_1+a_2+\\cdots+a_n)^2$$即$$\\frac{a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2}{n}\\ge\\left(\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}\\right)^2$$稱為基本不等式。常見類型：（1）墊高法：$$(a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n)^2\\le(a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\\cdots+x_n^2)$$（2）均值不等式：$$\\begin{aligned}\\text{若}a_1,a_2,\\cdots,a_n\\text{為正數(shù)，則有}\\\\\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}&\\ge\\sqrt[n]{a_1a_2\\cdotsa_n}\\\\\\frac{a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2}{n}&\\ge\\left(\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}\\right)^2\\end{aligned}$$2.基本不等式的證明方法（1）代數(shù)證明法等價(jià)變形論證例如：證明$a^2+b^2\\ge2ab$，可以將等式兩側(cè)同乘2，再加上2ab，即可得到等價(jià)不等式平方載體論證例如：證明$a^2+b^2\\ge2ab$，可以將等式兩側(cè)平方，即得到不等式$a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2\\ge0$，化簡(jiǎn)即得$(a-b)^2\\ge0$。（2）幾何證明法面積論證例如：證明墊高法，可將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面向量問題，在空間中構(gòu)造平行四邊形的兩個(gè)鄰邊$\\vec{a}$和$\\vec$，以及垂直于$\\vec{a}$的向量$\\vec{x}$，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，有$$(\\vec{a}+t\\vec{x})\\cdot(\\vec{a}+t\\vec{x})\\le\\vec{a}\\cdot\\vec{a}+\\vec\\cdot\\vec$$兩側(cè)作差，可以得到墊高法。3.實(shí)際問題的解決例題1：已知a+b+c解：由均值不等式，有$$\\frac{(a+b+c)^2}{3}=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\\ge3(a^2+b^2+c^2)$$即$$a^2+b^2+c^2\\ge\\frac{(a+b+c)^2}{3}=3$$例題2：已知a,b,c$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}+\\frac{1}{c}\\gea+b+c$$解：由均值不等式，有$$\\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{a}+\\frac{1}+\\frac{1}{c}\\right)\\ge\\sqrt[3]{\\frac{1}{abc}}=1$$即$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}+\\frac{1}{c}\\ge3$$再由墊高法，可得$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}+\\frac{1}{c}\\ge3\\sqrt[3]{\\frac{1}{abc}}=3$$再由均值不等式，可得$$a+b+c\\le\\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$$即$$(\\sqrt{3}-1)^2(a^2+b^2+c^2)\\ge0$$所以$$a^2+b^2+c^2\\ge\\frac{1}{(\\sqrt{3}-1)^2}=4+2\\sqrt{3}$$故$$\\frac{1}{a}+\\frac{1}+\\frac{1}{c}\\gea+b+c\\ge4+2\\sqrt{3}$$四、教學(xué)反思基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和競(jìng)賽水平的提高都具有重要意義。因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)對(duì)基本不等式有全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，并能夠靈活運(yùn)用解決實(shí)際問題。在教學(xué)過程中，我主要采用了講解和舉例演示相結(jié)合的方法，使學(xué)生能夠理解基本不等式的定義、證明方法