更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：專題05模型方法課之三垂直模型壓軸題專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，在等腰直角中，，的直角頂點D與的中點重合，兩邊分別交，于點E，F(xiàn)，有以下結(jié)論：①；②；③；④．上述結(jié)論錯誤的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】①證明△CDE≌△BDF，即可得出CE=

BF，故①正確；②根據(jù)△CDE≌△BDF，得出S△DCE=S△BDF，即可得出答案，故②正確；③由①可知DE=DF，推出△DEF是等腰直角三角形，得出S△DEF=·DE·DF，根據(jù)當DE最短時，S△DEF最小，當DE最長時，S△DEF最大，然后分類討論即可2≤S△DEF≤4，故③錯誤；④由①得BF=CE，根據(jù)在Rt△ECF中，EC2+CF2=EF2和在Rt△DEF中，DE2+DF2=EF2，根據(jù)DE=DF，即可得出BF2+CF2=2DF2，故④正確，即可得出答案．【詳解】①∵

AC=

BC，D是AB的中點，∴CD⊥AB，

∴∠CDB

=

90°，∵∠EDF=90°，∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF，∴∠CDE=∠BDF，

∵D是Rt△ABC斜邊AB上的中點，AC=

BC，∴CD=BD=AD=АВ，∠ACD=∠B=45°，在△CDE和△BDF中

∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DE=

DF，CE=

BF，故①正確；②∵△CDE≌△BCF，∴S△DCE=S△BDF，S四邊形CDFE=S△CDF+S△BDF=S△BDC=S△ABC，故②正確；③由①可知DE=DF，∵∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，

∴S△DEF=·DE·DF，則當DE最短時，S△DEF最小，

當DE最長時，S△DEF最大，當DE⊥AC時，DE最小，此時DE∥BC，∵DE是AB中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC=2，∴S△DEF的最小值為×2×2=2，當E與A重合，F(xiàn)與C重合時，DE最大，此時DE=AD=AB，AB==，則DE=，∴S△DEF的最小值為××=4，∴2≤S△DEF≤4，故③錯誤；④由①得BF=CE，∴在Rt△ECF中，EC2+CF2=EF2，又∵在Rt△DEF中，DE2+DF2=EF2，∵DE=DF，∴EC2+CF2=2DF2，∴BF2+CF2=2DF2，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線的性質(zhì)，題目綜合性很強，掌握這些知識點是解題關(guān)鍵．2．在正方形中，直線經(jīng)過對角線，的交點，過，兩點分別作直線的垂線，交直線于點，．若，，則長為（）A．2 B．3 C．2或6 D．3或7【答案】D【分析】依據(jù)已知條件求出，，根據(jù)證，推出，，即可得到的長．【詳解】解：如圖，當直線與線段不相交時，，，，，，，又正方形中，，，，，；如圖，當直線與線段相交時，，，，，，，又正方形中，，，，，；故選D．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)的運用，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、．本題要注意思考全面，直線與線段有兩種情況（相交、不相交），不能遺漏．3．如圖，正方形中，，分別為，上的點，，，交于點，交于點，為的中點，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①可證得，所以，由此得證．②由題意正方形中，在上面所證，得，結(jié)合正方形性質(zhì)易證（AAS）得到即得證．③過點作垂直于，交于點，可證得．得是等腰直角三角形，由，④由得，所以．【詳解】解：，，，，，又∵，∴，即，故結(jié)論①正確；四邊形是正方形，，，由題意正方形中，在上面所證，，（AAS），，即結(jié)論②正確；過點作垂直于，交與點，∵，∴，在與中，，故（ASA），∴,，，∴，故結(jié)論③正確；∵，，∴，，，∴，故結(jié)論④正確；綜上所述，①②③④正確．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的證明以及等腰直角三角形性質(zhì)，充分利用線段和角證明三角形全等，轉(zhuǎn)化線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵，比較綜合，有一定難度．二、填空題4．如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD與BE為△ABC的高，交點為F，CD=4，則線DF=___________．【答案】4【分析】求出AD=BD，求出∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=∠FBD，根據(jù)ASA證△BDF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出DF=DC即可．【詳解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠ADB=∠BEA=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠BFD+∠DBF=90°，∵∠AFE=∠DFB，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD，在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF=DC=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了垂直定義，余角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知正方形的邊長為，點是邊上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到連接，則的最小值是_____．【答案】【分析】如圖所示，根據(jù)題意構(gòu)造出△AED和△GFE全等，分析出點F的軌跡，然后根據(jù)D、F、C三點共線時求出最小值即可．【詳解】解：連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，∵將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∵，，∴∠EDA＝∠FEG，∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴BF是∠CBC′的角平分線，即F點在∠CBC′的角平分線上運動，過點C作BF的對稱點，則∴C點在AB的延長線上，是等腰直角三角形，∴當D、F、C三點共線時，DF+CF＝最小，∴在中，AD＝4，，∴，∴DF+CF的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對稱求最短路徑，能夠?qū)⒕€段的和通過軸對稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．6．如圖，正方形中，為邊上一點，且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，則線段的長度是_________．【答案】．【分析】作于點H，如圖，利用正方形的性質(zhì)得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，接著證明，得到，，所以，則，然后利用勾股定理計算FC的長．【詳解】如圖，作于點H，∵四邊形ABCD為正方形，∴，，∵AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到EF，∴，，∵，，∴，在和中，，

∴，∴，，∴，即，∴，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，也考查了正方形的性質(zhì)．7．如圖，在四邊形中，，是上一點，，，______．【答案】【分析】通過等腰直角三角形構(gòu)建一線三等角模型求解即可．【詳解】解：如圖所示，分別過A、D作于E，于F∴∴,∵∴∴,在與中∴∴，在中，∴同理可得：∴故答案為：．【點睛】本題考察特殊的直角三角形，靈活運用一線三等角模型及特殊直角三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題8．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N．（1）求證：MN＝AM＋BN；（2）如圖2，若過點C作直線MN與線段AB相交，AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N（AM＞BN），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【答案】(1)見解析；(2)不成立，理由見解析【分析】(1)根據(jù)垂直的定義得到∠AMC=∠CNB=90°，則∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，則∠ACM+∠NCB=90°，于是根據(jù)等量代換得到∠MAC=∠NCB，根據(jù)“AAS”可證明△ACM≌△CBN，根據(jù)全等的性質(zhì)得到AM=CN，CM=BN，則MN=MC+CN=AM+BN．(2)根據(jù)已知條件能證得△ACM≌△CBN，利用全等的性質(zhì)得到AM=CN，CM=BN，而MN=CN-CM=AM-BN．【詳解】解：(1)∵AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N，∴∠AMC=∠CNB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠NCB=90°，∴∠MAC=∠NCB，在△ACM和△CBN中，\∴ACM≌△CBN，∴AM=CN，CM=BN，∴MN=MC+CN=AM+BN．(2)題(1)中的結(jié)論不成立，同題(1)證明可知：ACM≌△CBN，∴AM=CN，CM=BN，∴MN=CN-CM=AM-BN，【點睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)與判斷，正確的掌握全等三角形的性質(zhì)與判斷是解題的關(guān)鍵．9．如圖，，，于點E，于點F，其中．（1）求證：；（2）若，，求BE的長；（3）連接AB，取AB的中點為Q，連接QE，QF，判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）13；（3）是等腰直角三角形，理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，由此即可得；（3）如圖（見解析），先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰直角三角形的判定即可得．【詳解】（1），，，，，，在和中，，；（2）由（1）已證：，，，，，，；（3）是等腰直角三角形，理由如下：如圖，連接CQ，，是等腰直角三角形，，點Q是斜邊AB的中點，，，由（1）已證：，，，即，在和中，，，，是等腰三角形，又，，即，是等腰直角三角形．．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等知識點，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．10．如圖，三角形中，于，若，．（1）求證：；（2）延長交于點，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）求出∠ADC=∠BDF=90°，根據(jù)SAS證△ADC≌△BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠FBD=∠CAD即可；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FBD+∠BFD=90°，推出∠AFE+∠EAF=90°，在△AFE中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AEF即可．【詳解】證明：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠BDF=90°，

∵在△ADC和△BDF中，

∴△ADC≌△BDF（SAS），

∴∠FBD=∠CAD；

（2）∵∠BDF=90°，

∴∠FBD+∠BFD=90°，

∵∠AFE=∠BFD，

由（1）知：∠FBD=∠CAD，

∴∠CAD+∠AFE=90°，

∴∠AEF=180°-（∠CAD+∠AFE）=90°，

∴BE⊥AC．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ADC≌△BDF．11．問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并說明理由．【答案】問題1，AD＝EC，證明見解析；問題2：DE+BE＝AD；問題3：DE＝AD+BE，證明見解析．【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；

（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；

（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．【詳解】解：（1）AD＝EC；證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；（2）DE+BE＝AD；由（1）已證△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD∴CE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BE＝AD；（3）DE＝AD+BE．證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CD+CE＝DC，∴DE＝AD+BE．【點睛】此題主要考查了鄰補角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強．12．如圖，已知：中，，，分別過B，C向經(jīng)過點A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)．（1）當EF與斜邊BC不相交時，請證明如圖；（2）如圖2，當EF與斜邊BC這樣相交時，其他條件不變，證明：；【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)已知條件容易證明△BEA≌△AFC，然后利用對應(yīng)邊相等就可以證明題目的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，則BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF．【詳解】解：（1），，，，，，在和中，≌，，，．（2），，，，，，在和中，≌，，，∵，∴【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用它們解決問題，經(jīng)常用全等來證線段和的問題．13．（1）問題：如圖①，在四邊形中，，是上一點，，．求證：；（2）問題：如圖②，在三角形中，，是上一點，，且．求的值．【答案】（1）見解析；（2）1【分析】（1）先證明，從而得，進而即可得到結(jié)論；（2）過點做于點，易證，是等腰直角三角形，進而即可求解．【詳解】（1）∵，，∴，在與中∵，∴，∴，∴；（2）過點做于點，在中，，∴，∵，，∴，在與中，∴，∴，，∵在中，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握“一線三等角”模型，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．14．在△ABC中，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，且AD=CE；（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，求證：AC⊥BC．（2）判斷AD、BE、DE這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出這個數(shù)量關(guān)系，不必證明．【答案】（1）見解析；（2）DE=AD+BE；見解析；（3）AD=DE+BE【分析】（1）利用垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，再利用HL證明Rt△ADC≌Rt△CEB，得到∠DAC=∠BCE，再根據(jù)余角的定義得到∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°，可得結(jié)論；（2）根據(jù)Rt△ADC≌Rt△CEB得到DC=BE，從而利用等量代換得到DE=AD+BE；（3）同理可證：Rt△ADC≌Rt△CEB，利用等量代換可得AD=DE+BE．【詳解】解：（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，在Rt△ADC和Rt△CEB中，，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（HL），∴∠DAC=∠BCE，∵∠ADC=90°，即∠DAC+∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°，∴AC⊥BC；（2）DE=AD+BE，

理由如下：∵Rt△ADC≌Rt△CEB，∴DC=BE，∵AD=CE，∴DE=DC+CE=AD+BE；（3）AD=DE+BE，同理可證：Rt△ADC≌Rt△CEB（HL），∴CD=BE，∴AD=CE=DE+CD=DE+BE，∴即AD=DE+BE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．15．（1）（問題原型）如圖，在等腰直角三角形中，，．過作，且，連結(jié)，過點作的邊上的高，易證，從而得到的面積為_________．（2）（初步探究）如圖，在中，，，過作，且，連結(jié)．用含的代數(shù)式表示的面積并說明理由．（3）（簡單應(yīng)用）如圖，在等腰中，，，過作，且，連結(jié)，求的面積（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）32；（2）；答案見解析；（3）．【分析】（1）【問題原型】根據(jù)AAS證明出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．進而由三角形的面積公式得出結(jié)論（2）【初步探究】過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進而由三角形的面積公式得出結(jié)論．（3）【簡單應(yīng)用】過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．【詳解】解：（1）【問題原型】如圖，

∵過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E．

∴∠BED=∠ACB=90°，

∵線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，

∴AB=BD，∠ABD=90°．

∴∠ABC+∠DBE=90°．

∵∠A+∠ABC=90°．

∴∠A=∠DBE．

在△ABC和△BDE中，∴△ABC≌△BDE（AAS）

∴BC=DE=8．∴S△BCD=32，（2）【初步探究】．理由：過做上以垂足為，∵，∴．∵，∴．∴．在△ABC和△BDE中，∵．∴=a．∴（3）【簡單應(yīng)用】過做于，過做于．∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠ABF+∠DBE=90°，

∴∠FAB=∠EBD．

∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AB=BD．

在△AFB和△BED中，∴△AFB≌△BED（AAS），∴．∵，，，∴∴．∴．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．16．如圖，已知和均是直角三角形，，，于點．（1）求證：≌；（2）若點是的中點，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）cm【分析】（1）根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可得cm，根據(jù)點是的中點，可得cm，根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】解：（1）證明：，，，，，，在和中，，；（2），cm，點是的中點，cm，cm，在中，根據(jù)勾股定理，得cm．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．17．（提出問題）如圖1，在直角中，∠BAC=90°，點A正好落在直線l上，則∠1、∠2的關(guān)系為

（探究問題）如圖2，在直角中，∠BAC=90°，AB=AC，點A正好落在直線l上，分別作BD⊥l于點D，CE⊥l于點E，試探究線段BD、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（解決問題）如圖3，在中，∠CAB、∠CBA均為銳角，點A、B正好落在直線l上，分別以A、B為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分別過點E、F作直線l的垂線，垂足為M、N．①試探究線段EM、AB、FN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC=3，BC=4，五邊形EMNFC面積的最大值為【答案】提出問題：；探究問題：，理由見解析；解決問題：①，理由見解析；②．【分析】提出問題：根據(jù)平角的定義、角的和差即可得；探究問題：先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差即可得；解決問題：①如圖（見解析），同探究問題的方法可得，再根據(jù)線段的和差即可得；②如圖（見解析），同探究問題的方法可得，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，然后利用三角形的面積公式將五邊形EMNFC面積表示出來，由此即可得出答案．【詳解】提出問題：，，故答案為：；探究問題：，理由如下：，，，由提出問題可知，，，在和中，，，，，即；解決問題：①，理由如下：同探究問題的方法可證：，，即；②如圖，過點C作于點D，同探究問題的方法可證：，，和都是等腰直角三角形，且，，，五邊形EMNFC面積為，，，，則當面積取得最大值時，五邊形EMNFC面積最大，設(shè)的BC邊上的高為，則，在中，、均為銳角，當時，取得最大值，最大值為，面積的最大值為，則五邊形EMNFC面積的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了垂直的定義、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的定義等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．綜合與實踐．積累經(jīng)驗我們在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊，進而解決問題．例如：我們在解決：“如圖1，在中，，，線段經(jīng)過點，且于點，于點.求證：，”這個問題時，只要證明，即可得到解決，（1）請寫出證明過程；類比應(yīng)用（2）如圖2，在平面直角坐標系中，中，，，點的坐標為，點的坐標為，求點的坐標．拓展提升（3）如圖3，在平面直角坐標系中，，，點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為____________．【答案】（1）見解析；（2）B的坐標（3，1）；（3）（3，4）【分析】（1）根據(jù)AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，進而證明，最后再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AD=CE，CD=BE；（2）如圖4，過點B作BE⊥x軸于點E，通過證明，進而得出AO=CE，CO=BE，再根據(jù)點A的坐標為（0，2），點C的坐標（1，0），求得OE=3，最后得出B的坐標（3，1）；（3）如圖5，過點C做CF⊥x軸與點F，再過點A、B分別做AE⊥CF，BD⊥CF，通過證明，進而得出BD=CE=，AE=CD，最后根據(jù)點的坐標為，點的坐標為，得出B坐標（3，4）.【詳解】（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE∴∠D=∠E=90°∴∠DAC+∠ACD=90°又∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°∴∠DAC=∠BCE在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB∴AD=CE，CD=BE（2）解：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E∵∠AOC=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠ACB=90°∴∠ACO+∠BCE=90°∴∠OAC=∠BCE在△AOC和△CEB中∴△AOC≌△CEB∴AO=CE，CO=BE又∵點A的坐標為（0，2），點C的坐標（1，0）∴AO=2，CO=1∴CE=2，BE=1∴OE=3∴B的坐標（3，1）（3）（3，4）解：如圖5，過點C做CF⊥x軸與點F，再過點A、B分別做AE⊥CF，BD⊥CF，∵AE⊥CF，BD⊥CF∴，∴,又∵，∴，∴,∴在和中，∴（AAS）∴BD=CE，AE=CD，又∵的坐標為，點的坐標為，∴CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2設(shè)B點坐標為（a，b），則a=4-1=3，b=2+2=4，∴B坐標（3，4）.【點睛】本題綜合考查了全等三角形的證明以及平面直角坐標系中求點坐標的綜合應(yīng)用問題；通過構(gòu)建“一線三等角”模型，再利用直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等解決角關(guān)系是本題的關(guān)鍵.19．如圖，等腰中，，，點，分別在坐標軸上．（1）如圖1，若點的橫坐標為，直接寫出點的坐標_______；圖1（2）如圖2，若點的坐標為，點在軸的正半軸上運動時，分別以，為邊在第一、第二象限作等腰，等腰，連接交軸于點，當點在軸的正半軸上移動時，的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．圖2【答案】（1）；（2）不變，PB的值為3【分析】（1）作CD⊥BO，可證△ABO全等于△BCD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；（2）作EG⊥y軸，可證△BAO全等于△EBG全等于△EGP全等于△FBP，可得BG=OA和PB=PG,即可求得PB是AO的2倍，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖，作CD⊥BO于D，∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO,在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD,∴CD=BO=5,∴B點的坐標（0,5）故答案為：．（2）不發(fā)生改變，理由如下：作軸于，，，．在和中，，，在和中，．．∴不變，PB的值為3．【點睛】本題考查三角形全等、等腰直角三角形性質(zhì)、勾股定理、角平分線性質(zhì)，熟練掌握添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．在直角坐標系中，A為x軸負半軸上的點，B為y軸負半軸上的點．（1）如圖①，以A點為頂點，AB為腰在第三象限作等腰，若已知，，試求C點的坐標．（2）如圖②，若點A的坐標為，點B的坐標為，點D的縱坐標為b，以B為頂點，為腰作等腰，當B點沿y軸負半軸向下運動且其他條件都不變時，求式子的值．（3）如圖③，E為x軸負半軸上的一點，且，于點F，以O(shè)B為邊作等邊，連接EM交OF于點N，求式子的值．【答案】（1）；（2）0；（3）2【分析】（1）作CQ⊥OA于點Q，可以證明△AQC≌△BOA，由QC＝AO，AQ＝BO，再由條件就可以求出C的坐標．（2）作DP⊥OB于點P，可以證明△AOB≌△BPD，則有AO＝BP＝OB?PO＝?a?（?b）＝b?a為定值．（3）作BH⊥EB于B，由條件可以得出∠1＝30°，∠2＝∠3＝∠EMO＝15°，∠EOF＝∠BMG＝45°，EO＝BM，可以證明△ENO≌△BGM，則GM＝ON，就有EM?ON＝EM?GM＝EG，最后由含30°的直角三角形的性質(zhì)就可以得出EN＝EM?ON的一半即可得．【詳解】（1）