2023/8/211控制工程理論基礎(chǔ)

第二章拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法2023/8/51控制工程理論基礎(chǔ)2023/8/212提綱2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)2.2拉氏變換與反拉氏變換的定義2.3典型時間函數(shù)的拉氏變換2.4拉氏變換的性質(zhì)2.5拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法2.6用拉氏變換解常微分方程2023/8/52提綱2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)2023/8/213拉普拉斯（Laplace）變換，簡稱拉氏變換。

是分析研究線性動態(tài)系統(tǒng)的有力工具。時域的微分方程復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程

系統(tǒng)分析大為簡化直接在頻域中研究系統(tǒng)的動態(tài)性能拉氏變換2023/8/53拉普拉斯（Laplace）變換，簡稱拉氏變2023/8/214引言復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（1）復(fù)數(shù)的概念其中，均為實數(shù)。為虛單位。（2）復(fù)數(shù)的表示法點表示法向量表示法三角函數(shù)表示法指數(shù)表示法2023/8/54引言復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（1）復(fù)數(shù)的概念2023/8/215引言復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（3）復(fù)變函數(shù)的概念為自變量。2023/8/55引言復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（3）復(fù)變函數(shù)的概念2023/8/216例：2023/8/56例：2023/8/217當(dāng)s＝z1,…,zm時，G(s)=0，則稱z1,…,zm為G(s)的零點；當(dāng)s＝p1,…,pm時，G(s)=∞，則稱p1,…,pm

為G(s)的極點。2023/8/57當(dāng)s＝z1,…,zm時，G(s)=0，則稱2023/8/2182.2拉氏變換與拉氏反變換的定義1、拉氏變換有時間函數(shù)f(t)，t≥0，則f(t)的拉氏變換記作：L[f(t)]或F(s)，并定義為：(2－1)f(t)的拉氏變換F(s)存在的兩個條件：（1）在任一有限區(qū)間上，f(t)分段連續(xù)，只有有限個間斷點；（2）當(dāng)t→∞時，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足：該條件使得積分絕對值收斂。2023/8/582.2拉氏變換與拉氏反變換的定義1、拉2023/8/2192.2拉氏變換與拉氏反變換的定義2、拉氏反變換已知f(t)的拉氏變換F(s)，求原函數(shù)f(t)

的過程稱作拉氏反變換，記作：定義為如下積分：其中：s為大于F(s)所有奇異點實部的實常數(shù)。(2－2)2023/8/592.2拉氏變換與拉氏反變換的定義2、拉2023/8/21102.3典型時間函數(shù)的拉氏變換1單位階躍函數(shù)定義為：單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：2023/8/5102.3典型時間函數(shù)的拉氏變換1單2023/8/21112.3典型時間函數(shù)的拉氏變換2單位脈沖函數(shù)定義為：單位脈沖函數(shù)的重要性質(zhì)：單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為：2023/8/5112.3典型時間函數(shù)的拉氏變換2單2023/8/21122.3典型時間函數(shù)的拉氏變換3單位斜坡函數(shù)定義為：單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為：2023/8/5122.3典型時間函數(shù)的拉氏變換3單2023/8/21132.3典型時間函數(shù)的拉氏變換4指數(shù)函數(shù)定義為：指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為：2023/8/5132.3典型時間函數(shù)的拉氏變換4指2023/8/21142.3典型時間函數(shù)的拉氏變換5正弦函數(shù)用歐拉公式表示為：其拉氏變換為：6余弦函數(shù)用歐拉公式表示為：其拉氏變換為：2023/8/5142.3典型時間函數(shù)的拉氏變換5正2023/8/21152.3典型時間函數(shù)的拉氏變換7冪函數(shù)（作業(yè)）其拉氏變換為：例：常用時間函數(shù)的拉氏變換表，可通過直接查表求時間函數(shù)的拉氏變換。2023/8/5152.3典型時間函數(shù)的拉氏變換72023/8/21162.4拉氏變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)－線性變換(2-3)2023/8/5162.4拉氏變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)2023/8/21172.4拉氏變換的性質(zhì)2.實數(shù)域的位移定理－延時定理(2-4)其中f(t-a)是函數(shù)f(t)在時間上延遲a秒的延時函數(shù)，且：2023/8/5172.4拉氏變換的性質(zhì)2.實數(shù)域的2023/8/2118例2.3圖2－10所示方波的拉氏變換。圖示方波函數(shù)表達(dá)為：利用單位階躍函數(shù)的拉氏變換，以及拉氏變換的線性性質(zhì)和延時定理：2023/8/518例2.3圖2－10所示方波的拉氏變換。2023/8/2119例2.4求圖2－11所示三角波的拉氏變換。圖示三角波函數(shù)表達(dá)為：利用單位斜坡函數(shù)的拉氏變換，以及拉氏變換的線性性質(zhì)和延時定理：2023/8/519例2.4求圖2－11所示三角波的拉氏變2023/8/21202.4拉氏變換的性質(zhì)3.周期函數(shù)的拉氏變換設(shè)f(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即：則f(t)的拉氏變換為：2023/8/5202.4拉氏變換的性質(zhì)3.周期函數(shù)2023/8/21212.4拉氏變換的性質(zhì)4.復(fù)數(shù)域位移定理(也稱衰減定理)2023/8/5212.4拉氏變換的性質(zhì)4.復(fù)數(shù)域2023/8/21222.4拉氏變換的性質(zhì)5.相似定理（也稱尺度定理）2023/8/5222.4拉氏變換的性質(zhì)5.相似定2023/8/21232.4拉氏變換的性質(zhì)6.微分定理7.積分定理2023/8/5232.4拉氏變換的性質(zhì)6.微分定2023/8/2124Back8終值定理原函數(shù)f(t)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)

sF(s)在s=0鄰域內(nèi)的性質(zhì)2023/8/524Back8終值定理原函數(shù)f(t)的穩(wěn)態(tài)2023/8/2125Back9初值定理2023/8/525Back9初值定理2023/8/21262.4拉氏變換的性質(zhì)10.tf(t)的拉氏變換11.f(t)/t的拉氏變換2023/8/5262.4拉氏變換的性質(zhì)10.tf2023/8/21272.4拉氏變換的性質(zhì)12.卷積定理函數(shù)f(t)和g(t)的卷積定義為：拉氏變換的卷積定理：若函數(shù)f(t)和g(t)滿足拉氏變換存在的條件，則f(t)和g(t)的卷積的拉氏變換一定存在，且：其中，函數(shù)f(t)和g(t)滿足：當(dāng)t<0時，f(t)=g(t)=02023/8/5272.4拉氏變換的性質(zhì)12.卷積2023/8/21281.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出

式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。2.5拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法2023/8/5281.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(2023/8/21292.5拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法有：(1)查表法－簡單象函數(shù)；(2)有理函數(shù)法－需要復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理；(3)部分分式法－復(fù)雜的象函數(shù)簡化為幾個簡單的部分分式之和，分別求各分式的原函數(shù)，即可得總的原函數(shù)；(4)利用MATLAB求解。2023/8/5292.5拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法拉氏反變換2023/8/2130

若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：2023/8/530若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)2023/8/21311.部分分式法求原函數(shù)2023/8/5311.部分分式法求原函數(shù)2023/8/21322023/8/5322023/8/21332023/8/5332023/8/21342023/8/5342023/8/21352023/8/5352023/8/21362023/8/5362023/8/21372023/8/5372023/8/21382023/8/5382023/8/21392.使用MATLAB函數(shù)求解原函數(shù)

利用MATLAB中的函數(shù)residue將原函數(shù)展開成部分分式，然后查拉氏變換的表格得到原函數(shù)。函數(shù)格式：[r,p,k]=residue(b,a);%返回多項式b/a之比的部分分式展開項中的殘差、極點和直接項。[b,a]=residue(r,p,k)；%將部分分式展開項還原成多項式2023/8/5392.使用MATLAB函數(shù)求解原函數(shù)2023/8/2140Forexample:Num=10*[12];%定義分子多項式Den=poly([-1;-3;-4])；%定義分母多項式[res,poles,k]=residue(num,den)；展開num/den殘差、極點和直接項分別為：Res=[-6.6667;5.0000;1.6667]Poles=[-4;-3;-1]K=[];Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x^3+8x^2+19x+122023/8/540Forexample:Num=10*[2023/8/21412