第第頁人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步課件（6份打包）(共117張PPT)

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

8.4.1平面

1.平面的概念

幾何里所說的“”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的。幾何里的平面是無限延展的。

平面

【思考】

幾何中的平面有什么特點(diǎn)？

提示：（1）平面是平的。

（2）平面是沒有厚度的。

（3）平面是無限延展而沒有邊界的。

2.平面的畫法

（1）水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍。如圖①。

（2）如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來。如圖②。

3.平面的表示法

如圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD。

4.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系

（1）直線在平面內(nèi)的概念：

如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l。

（2）直線、平面都可以看成點(diǎn)的集合。點(diǎn)P在直線l上，記作P∈l；點(diǎn)P在直線l外，記作Pl；點(diǎn)P在平面α內(nèi)，記作P∈α；點(diǎn)P在平面α外，記作Pα；直線l在平面β內(nèi)，記作lβ；直線l在平面α外，記作lα。

【思考】

直線和平面都是由點(diǎn)組成的，聯(lián)系集合的觀點(diǎn)，點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號(hào)來表示？直線和平面呢？

答案：點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號(hào)“∈”或“”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號(hào)“”或“”表示。

5.平面的基本事實(shí)及推論

基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)

基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線存在唯一的平面α使A，B，C∈α

基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)

基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα

基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)

基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，P∈βα∩β=l，且P∈l

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（圖①）。

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面（圖②）。

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面（圖③）。

【思考】

三個(gè)基本事實(shí)各有什么作用？

提示：基本事實(shí)1：確定平面。

基本事實(shí)2：確定直線在平面內(nèi)。

基本事實(shí)3：確定兩個(gè)平面相交，確定三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)。

【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。（）

（2）四邊形是平面圖形。（）

（3）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面。（）

【解析】（1）×。一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。

（2）×。四邊形不一定是平面圖形。

（3）√。兩條相交直線可以確定一個(gè)平面。

2.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記

為（）

A.平面MNB.平面NQ

C.平面αD.平面MNPQ

【解析】選A。表示平面不能用一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)表示，但可以表示為平面MP。

3.已知α與β是兩個(gè)不重合的平面，則下列推理正確個(gè)數(shù)是________。

①A∈l，A∈α，B∈l，B∈αlα

②A∈α，A∈β，B∈α，B∈βα∩β=AB

③lα，A∈lAα

④A∈l，lαA∈α

【解析】由基本事實(shí)2知，①正確；由基本事實(shí)3知，②正確；若l∩α=A，顯然有l(wèi)α，A∈l，但是A∈α，③錯(cuò)誤；④正確。

答案：3

類型一文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化

【典例】1.點(diǎn)P在直線a上，直線a在平面α內(nèi)可記為（）

A.P∈a，aαB.Pa，aα

C.Pa，a∈αD.P∈a，a∈α

2.用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形。

（1）平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B。

（2）點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上。

【思維·引】解決本例的關(guān)鍵是，要正確理解立體幾何中表示點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的符號(hào)“∈”，“”，“”，“”，“∩”的意義。

【解析】選A。

2.（1）用符號(hào)表示：α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B，如圖。

（2）用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α=C，CAB，如圖。

【內(nèi)化·悟】

根據(jù)題目給出符號(hào)語言作圖時(shí)，要注意哪些問題？

提示：根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意分清點(diǎn)線面之間的關(guān)系，作圖時(shí)要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別。

【類題·通】

三種語言的轉(zhuǎn)換方法

（1）用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示。

（2）要注意符號(hào)語言的意義。如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“”或“”。

【習(xí)練·破】

根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形。

（1）A∈α，Bα。

（2）lα，m∩α=A，Al。

（3）P∈l，Pα，Q∈l，Q∈α。

【解析】（1）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)。

（2）直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上。

（3）直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q。

圖形分別如圖①，②，③所示。

類型二點(diǎn)、線共面問題

【典例】證明：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)。

【思維·引】證明多線共面，一般先選取兩條直線構(gòu)造一個(gè)平面，然后證明其他直線都在這個(gè)平面內(nèi)。

【解析】已知：如圖所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C。

求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)。

【證明】方法一（納入法）：

因?yàn)閘1∩l2=A，所以l1和l2確定一個(gè)平面α。因?yàn)閘2∩l3=B，所以B∈l2。又因?yàn)閘2α，所以B∈α。同理可證C∈α。又因?yàn)锽∈l3，C∈l3，所以l3α。

所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)。

方法二（重合法）：

因?yàn)閘1∩l2=A，所以l1、l2確定一個(gè)平面α。

因?yàn)閘2∩l3=B，所以l2、l3確定一個(gè)平面β。

因?yàn)锳∈l2，l2α，所以A∈α。因?yàn)锳∈l2，l2β，所以A∈β。

同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β。

所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A、B、C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)。

所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)。

【內(nèi)化·悟】

在該例中，如何確定一個(gè)平面，確定平面的理論依據(jù)是什么？如何判斷一條直線在平面內(nèi)，理論依據(jù)是什么？

提示：確定平面，可以根據(jù)基本事實(shí)1或三個(gè)推論，在本例中，確定平面的依據(jù)是推論2；判斷一條直線在平面內(nèi)，關(guān)鍵是找到這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，理論依據(jù)是基本事實(shí)2。

【類題·通】

證明直線共面常用的方法

（1）納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)。

（2）重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合。

【習(xí)練·破】

下列說法正確的是（）

①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面；④兩條平行線確定一個(gè)平面。

A.①②B.②③C.②④D.③④

【解析】選C。不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以①錯(cuò)；圓上的三點(diǎn)一定不共線，所以可以確定一個(gè)平面，②對(duì)；如果四點(diǎn)共線，無法確定平面，所以③錯(cuò)；根據(jù)推論3，兩條平行線確定一個(gè)平面，所以④對(duì)。

類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題

角度1三點(diǎn)共線問題

【典例】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四

邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且

直線EH與直線FG交于點(diǎn)O。

求證：B，D，O三點(diǎn)共線。

【思維·引】先證O∈平面ABD以及O∈平面BCD，從而O∈平面ABD∩平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，從而O∈BD，得證B，D，O共線。

【證明】因?yàn)镋∈AB，H∈AD，

所以E∈平面ABD，H∈平面ABD。所以EH平面ABD。

因?yàn)镋H∩FG=O，所以O(shè)∈平面ABD。

同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，

所以O(shè)∈BD，即B，D，O三點(diǎn)共線。

【素養(yǎng)·探】

證明三點(diǎn)共線問題時(shí)，常用到邏輯推理的核心素養(yǎng)。

若把本例改為：已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，如圖所示。求證：P，Q，R三點(diǎn)共線。

【證明】因?yàn)锳P∩AR=A，

所以直線AP與直線AR確定平面APR。

又因?yàn)锳B∩α=P，AC∩α=R，所以平面APR∩平面α=PR。

因?yàn)锽∈平面APR，C∈平面APR，所以BC平面APR。

因?yàn)镼∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α，

所以Q∈PR，所以P，Q，R三點(diǎn)共線。

角度2三線共點(diǎn)問題

【典例】如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB

的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=

2∶3，求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)。

【思維·引】EF，GH交于一點(diǎn)BD經(jīng)過EF與GH交點(diǎn)EF、GH、BD共點(diǎn)。

【證明】如圖可知，平面ABD∩平面BCD=BD。

易知FH∥AC且FH=AC，GE∥AC且GE=AC，

所以FH∥GE且GH，EF交于點(diǎn)O。

因?yàn)镚H平面ABD，O∈GH。

所以O(shè)∈平面ABD。

因?yàn)镋F平面BCD，O∈EF。

所以O(shè)∈平面BCD，因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD，

所以O(shè)∈BD。所以EF，GH，BD交于一點(diǎn)。

【類題·通】

證明三線共點(diǎn)常用的方法

（1）先說明兩條直線共面且交于一點(diǎn)，然后說明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)。于是該點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，從而得到三線共點(diǎn)。

（2）也可以說明a，b相交于一點(diǎn)A，b與c相交于一點(diǎn)B，再說明A，B是同一點(diǎn)，從而得到a，b，c三線共點(diǎn)。

注意：證明線共點(diǎn)主要利用基本事實(shí)1，基本事實(shí)3作為推理的依據(jù)。

【習(xí)練·破】

如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn)。求證：FE，HG，DC三線共點(diǎn)。

【證明】如圖所示，連接C1B，GF，HE，

由題意知HC1∥EB，且HC1=EB，

所以四邊形HC1BE是平行四邊形，

所以HE∥C1B。

又C1G=GC，CF=BF，

所以GF∥C1B，且GF=C1B。

所以GF∥HE，且GF≠HE，

所以HG與EF相交。設(shè)交點(diǎn)為K，

所以K∈HG，HG平面D1C1CD，

所以K∈平面D1C1CD。

因?yàn)镵∈EF，EF平面ABCD，

所以K∈平面ABCD，

因?yàn)槠矫鍰1C1CD∩平面ABCD=DC，

所以K∈DC，

所以EF，HG，DC三線共點(diǎn)。

8.4.2

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.異面直線

（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。

（2）異面直線的畫法。

2.空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點(diǎn)

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

【思考】

分別在不同平面內(nèi)的兩條直線是異面直線嗎？

提示：不一定。分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線，既可以是平行直線，也可以是相交直線，還可以是異面直線。

3.直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平

面α平行

公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平

面α平行

符號(hào)表示aαa∩α=Aa∥α

圖形表示

【思考】

可以根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷直線與平面的位置關(guān)系嗎？

提示：可以，0個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面交行；1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面相交；多個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線在平面內(nèi)。

4.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

（在一條直線上）

符號(hào)表示α∥βα∩β=l

圖形表示

【思考】

判斷平面與平面相交時(shí)的理論依據(jù)是什么？

提示：判斷平面與平面相交時(shí)的理論依據(jù)是基本

事實(shí)3：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行。（）

（2）過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線。（）

（3）若直線與平面不相交，則直線與平面平行。（）

（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。（）

【解析】（1）×。空間兩直線無公共點(diǎn)，則可能平行，也可能異面。

（2）×。過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線，和平面內(nèi)過該點(diǎn)的直線是相交直線。

（3）×。若直線與平面不相交，則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行。

（4）×。當(dāng)點(diǎn)在已知直線上時(shí)，不存在過該點(diǎn)的直線與已知直線平行。

2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）

A.平行或異面B.相交或異面

C.異面D.相交

【解析】選B。一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條相交或異面。

3.已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之間的兩個(gè)點(diǎn)，則（）

A.過P，Q的平面一定與α，β都相交

B.過P，Q有且僅有一個(gè)平面與α，β都平行

C.過P，Q的平面不一定與α，β都平行

D.過P，Q可作無數(shù)個(gè)平面與α，β都平行

【解析】選C。當(dāng)過P，Q的直線與α，β相交時(shí)，過P，Q的平面一定與平面α，β都相交，排除B，D；當(dāng)過P，Q的直線與α，β都平行時(shí)，可以作唯一的一個(gè)平面與α，β都平行，排除A。

類型一空間兩條直線的位置關(guān)系

【典例】1.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________（填序號(hào)）。

【思維·引】1.把展開圖還原成空間圖形，再進(jìn)行判斷。

2.根據(jù)異面直線的定義，保證兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)。

【解析】1.選C。把平面展開圖折合成正方體，觀察相對(duì)位置的變化，可知AB與CD，EF與GH，AB與GH是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行。故異面直線有且僅有3對(duì)。

2.如題干圖①中，直線GH∥MN；

題干圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；

題干圖③中，連接MG（圖略），GM∥HN，因此，GH與MN共面；

題干圖④中，G，M，N三點(diǎn)共面，但H平面GMN，所以GH與MN異面。

答案：②④

【內(nèi)化·悟】

平面幾何中的定理、結(jié)論在空間幾何體中能直接使用嗎？

提示：不能。要把關(guān)于平面圖形的結(jié)論推廣到空間圖形，必須經(jīng)過證明，絕不能單憑自己的主觀猜測。

【類題·通】

1.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅

（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系。特別關(guān)注異面直線。

（2）重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說明兩條直線的位置關(guān)系。

2.判定兩條直線是異面直線的方法

（1）證明兩條直線既不平行又不相交。

（2）重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線。用符號(hào)語言可表示為Aα，B∈α，Bl，lα，則AB與l是異面直線。

【習(xí)練·破】

1.若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則（）

A.a∥cB.a，c是異面直線

C.a，c相交D.a，c平行或相交或異面

【解析】選D。若a，b是異面直線，b，c是異面直線，那么a，c可以平行，可以相交，可以異面。

2.若直線a，b，c滿足a∥b，a，c異面，則b與c（）

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線

【解析】選C。若a∥b，a，c是異面直線，那么b與c不可能平行，否則由公理4知a∥c。

類型二直線與平面的位置關(guān)系

【典例】1.若直線上有一點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線上所有的點(diǎn)都在平面外

B.直線上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面外

C.直線上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)

D.直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)

2.下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個(gè)平面；

②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；

③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α；

④如果a與平面α上的無數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α。

A.0B.1C.2D.3

【思維·引】1.根據(jù)直線上有一點(diǎn)在平面外，判斷直線與平面的位置關(guān)系，再判斷結(jié)論的對(duì)錯(cuò)。

2.根據(jù)題意敘述，適當(dāng)構(gòu)造圖形，判斷直線與平面的位置關(guān)系。

【解析】1.選B。直線上有一點(diǎn)在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)在平面外。

2.選B。如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；

③中，假設(shè)b與α相交，因?yàn)閍∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即③正確；④顯然不正確。

【內(nèi)化·悟】

在本例2中必須構(gòu)造正方體才能解決這個(gè)問題嗎？

提示：本題中，也可以不構(gòu)造正方體，根據(jù)每個(gè)小題的敘述，逐題作圖，判斷。

【類題·通】

在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，這三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷。

【習(xí)練·破】

1.若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是（）

A.α內(nèi)的所有直線都與直線a異面

B.α內(nèi)不存在與a平行的直線

C.α內(nèi)的直線都與a相交

D.直線a與平面α有公共點(diǎn)

【解析】選D。直線a不平行于平面α，則a與平面α相交或aα。

2.一條直線l上有相異的三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是（）

A.l∥αB.l⊥α

C.l與α相交但不垂直D.l∥α或lα

【解析】選D。當(dāng)l∥α?xí)r，直線l上任意點(diǎn)到α的距離都相等；當(dāng)lα?xí)r，直線l上所有的點(diǎn)到α的距離都是0；當(dāng)l⊥α?xí)r，直線l上到α的距離相等且不為0的點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)l與α斜交時(shí)，直線l上到α的距離相等且不為0的點(diǎn)有兩個(gè)。

類型三平面與平面的位置關(guān)系

【典例】已知下列說法：

①兩平面α∥β，aα，bβ，則a∥b；

②若兩個(gè)平面α∥β，aα，bβ，則a與b是異面直線；

③若兩個(gè)平面α∥β，aα，bβ，則a與b一定不相交；

④若兩個(gè)平面α∥β，aα，bβ，則a與b平行或異面；

⑤若兩個(gè)平面α∩β=b，aα，則a與β一定相交。

其中正確的序號(hào)是________（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）。

【思維·引】由平面間的位置關(guān)系逐一判斷。

【解析】①錯(cuò)。a與b也可能異面。

②錯(cuò)。a與b也可能平行。

③對(duì)。因?yàn)棣痢桅拢驭僚cβ無公共點(diǎn)。

又因?yàn)閍α，bβ，所以a與b無公共點(diǎn)。

④對(duì)。由已知及③知：a與b無公共點(diǎn)，

那么a∥b或a與b異面。

⑤錯(cuò)。a與β也可能平行。

答案：③④

【類題·通】

1.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法

（1）平面與平面相交的判斷，主要是以公理3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)。

（2）平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。

2.常見的平面和平面平行的模型

（1）棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行。

（2）長方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行。

【習(xí)練·破】

兩平面α、β平行，aα，下列四個(gè)命題：

①a與β內(nèi)的所有直線平行；

②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；

③直線a與β內(nèi)任何一條直線都不垂直；

④a與β無公共點(diǎn)。

其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B。①中a不能與β內(nèi)的所有直線平行而是與無數(shù)條平行，有一些是異面；②正確；③中直線a與β內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；④根據(jù)定義a與β無公共點(diǎn)，正確。

謝謝(共106張PPT)

基本立體圖形

第1課時(shí)

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

1.空間幾何體、多面體的概念

（1）空間幾何體

如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。

（2）

一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。

多面體

【思考】

多面體怎樣分類？

提示：（1）按多面體是否在任一面的同側(cè)關(guān)系分，可分為凸多面體（把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)）和凹多面體。我們所研究的多面體若不特別說明，都是指凸多面體。

（2）多面體按圍成它的面的個(gè)數(shù)分，可分為四面體、五面體、六面體…

2.棱柱

（1）棱柱的結(jié)構(gòu)特征：

有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰的側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。

（2）棱柱的圖形表示：

（3）棱柱的表示方法：如上圖所示的棱柱，可記為四棱柱ABCD-A′B′C′D′。

【思考】

棱柱具有哪些重要的特征？

提示：（1）側(cè)棱互相平行且相等，側(cè)面都是平行四邊形。

（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形。

3.棱錐

（1）棱錐的結(jié)構(gòu)特征：

有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。

（2）棱錐的圖形表示：

（3）棱錐的表示方法：如上圖所示，該棱錐可表示為四棱錐S-ABCD。

【思考】

棱錐的結(jié)構(gòu)特征中應(yīng)注意什么？

提示：對(duì)于棱錐要注意有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強(qiáng)調(diào)其余各面是共頂點(diǎn)的三角形。

4.棱臺(tái)

（1）棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征：

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)。原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面。

（2）棱臺(tái)的圖形表示：

（3）棱臺(tái)的表示方法：如上圖所示的棱柱，可記為四棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′。

【思考】

棱臺(tái)具有哪些重要的特征？

提示：棱臺(tái)的上下底面必須平行，各側(cè)棱延長后必相交于一點(diǎn)，否則不是棱臺(tái)。

【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）棱柱的側(cè)面都是平行四邊形。（）

（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐。（）

（3）正三棱錐也稱為正四面體。（）

【解析】（1）√。棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。

（2）×。其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。

（3）×。正四面體是正三棱錐，正三棱錐不一定是正四面體。

2.下列關(guān)于棱柱的說法中正確的是（）

A.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形

B.棱柱的一條側(cè)棱的長叫做棱柱的高

C.棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面

D.棱柱的所有面中，至少有兩個(gè)面互相平行

【解析】選D。由棱柱的定義，知A不正確，例如長方體；只有直棱柱才滿足選項(xiàng)B的條件，故B不正確；C不正確，例如正六棱柱的相對(duì)側(cè)面互相平行；D顯然正確。

3.下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是（）

【解析】選C。由棱臺(tái)的概念知側(cè)棱延長應(yīng)交于一點(diǎn)。

4.面數(shù)最少的多面體有________個(gè)面。

【解析】面數(shù)最少的多面體是四面體（三棱錐），有4個(gè)面。

答案：4

類型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【典例】1.下列說法中，正確的是（）

A.棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點(diǎn)

B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形

2.如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1。

（1）這個(gè)長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

（2）用平面BCNM把這個(gè)長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說明理由。

【思維·引】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷。

【解析】1.選D。A選項(xiàng)不符合棱柱的特點(diǎn)；B選項(xiàng)中，如圖①，構(gòu)造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但這兩個(gè)面不能作為棱柱的底面；C選項(xiàng)中，如圖②，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項(xiàng)是棱柱的特點(diǎn)。

2.（1）是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義。

（2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1。

【內(nèi)化·悟】

怎樣判斷棱柱的底面？

提示：棱柱的底面，不是看到直觀圖“位置”上的上下底面，而是平行且全等的那兩個(gè)多邊形。

【類題·通】

棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略

1.有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義：

①兩個(gè)面互相平行；

②其余各面是四邊形；

③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行。求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)面平行，再看是否滿足其他特征。

2.多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除。

【習(xí)練·破】

1.下列幾何體是棱柱的有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【解析】選D。棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，這些平行四邊形面中，每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行。當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，這個(gè)幾何體才是棱柱。很明顯，幾何體②④⑤⑥均不符合，僅有①③符合。

2.下列關(guān)于棱柱的說法錯(cuò)誤的是（）

A.所有的棱柱兩個(gè)底面都平行

B.所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面每相鄰兩個(gè)面的公共邊互相平行

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱

D.棱柱至少有五個(gè)面

【解析】選C。對(duì)于A，B，D，顯然是正確的；對(duì)于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱。如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯(cuò)誤。

類型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

【典例】1.下列三種敘述，正確的有（）

①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；

②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；

③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)。其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2.如圖在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是（）

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺(tái)

【思維·引】根據(jù)棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征判斷。

【解析】1.選A。①中的平面不一定平行于底面，故①錯(cuò)；②③可用反例去檢驗(yàn)，如圖所示，側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn)，故②③錯(cuò)。

2.選B。剩余部分為四棱錐A′-B′BCC′。

【內(nèi)化·悟】

棱臺(tái)能不能由棱錐截得？

提示：能。

【類題·通】

判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法

（1）舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確。

（2）直接法：

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)

【習(xí)練·破】

下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：

①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；

②棱錐的側(cè)面只能是三角形；

③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐。

其中正確說法的序號(hào)是________。

【解析】①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；

②正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；③錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐。

答案：①②

類型三多面體的表面展開圖

【典例】1.某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為（對(duì)面是相同的圖案）（）

2.如圖是三個(gè)幾何體的平面展開圖，請(qǐng)問各是什么幾何體？

【思維·引】1.正方體的平面展開圖以其中一個(gè)面不動(dòng)把其他面展開。

2.常見幾何體的定義與結(jié)構(gòu)特征空間想象或動(dòng)手制作平面展開圖進(jìn)行實(shí)踐。

【解析】1.選A。由選項(xiàng)驗(yàn)證可知選A。

2.圖①中，有5個(gè)平行四邊形，而且還有兩個(gè)全等的五邊形，符合棱柱特點(diǎn)；圖②中，有5個(gè)三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；

圖③中，有3個(gè)梯形，且其腰的延長線交于一點(diǎn)，還有兩個(gè)相似的三角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn)。把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái)。

【類題·通】

多面體展開圖問題的解題策略

（1）繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型。在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖。

（2）由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推。同一個(gè)幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個(gè)多面體可有多個(gè)平面展開圖。

【習(xí)練·破】

如圖所示，不是正四面體（各棱長都相等的三棱錐）的展開圖的是（）

A.①③B.②④C.③④D.①②

【解析】選C?？蛇x擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體。

第2課時(shí)

圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、

簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

【思考】

（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？當(dāng)?shù)酌姘l(fā)生變化時(shí)，它們能否互相轉(zhuǎn)化？

提示：它們的相同點(diǎn)是：它們都是由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的；不同點(diǎn)是：圓柱和圓臺(tái)有兩個(gè)底面，圓錐只有一個(gè)底面，圓柱的兩個(gè)底面是半徑相等的圓，圓臺(tái)的兩個(gè)底面是半徑不相等的圓；當(dāng)?shù)酌姘l(fā)生變化時(shí)，它們能相互轉(zhuǎn)化，即圓臺(tái)的上底面擴(kuò)大，使上下底面全等，就是圓柱；圓臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)就是圓錐。

（2）球與球面有何區(qū)別？

提示：球與球面是兩個(gè)完全不同的概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分；球是實(shí)心的，球面是空心的。

2.組合體的結(jié)構(gòu)特征

（1）定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體。

（2）基本形式：

【思考】

怎樣正確認(rèn)識(shí)簡單組合體？

提示：（1）準(zhǔn)確理解簡單幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的結(jié)構(gòu)特征。

（2）正確掌握簡單組合體構(gòu)成的兩種基本形式。

（3）若用分割的方法，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線（或面）。

【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是

圓錐。（）

（2）以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是

圓臺(tái)。（）

（3）用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)

圓臺(tái)。（）

【解析】（1）×。應(yīng)以直角三角形的一條直角邊為軸。

（2）×。應(yīng)以直角梯形的垂直于底邊的腰為軸。

（3）×。應(yīng)是平面與圓錐底面平行時(shí)。

2.圓錐的側(cè)面展開圖是（）

A.三角形B.長方形

C.正方形D.扇形

【解析】選D。圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。

3.如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征是（）

A.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱

B.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱

C.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐

D.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)

【解析】選C。由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐。

類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

【典例】1.下列結(jié)論：

①在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；

③在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；

④圓柱的任意兩條母線相互平行。

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

2.下列說法中正確的是（）

①過球面上任意兩點(diǎn)只能作一個(gè)經(jīng)過球心的圓；

②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；

③用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；

④球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；

⑤球的半徑是連接球面上任意一點(diǎn)和球心的線段。

A.①②③B.②③④C.②③⑤D.①④⑤

【思維·引】根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)以及球的定義及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷。

【解析】1.選D。①所取的兩點(diǎn)與圓柱的軸OO′的連線所構(gòu)成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符。③若所取兩點(diǎn)連線的延長線不與軸交于一點(diǎn)，則不符合圓臺(tái)母線的定義。②④符合圓錐、圓柱母線的定義及性質(zhì)。

2.選C。由球的結(jié)構(gòu)特征可知②③⑤正確。

【內(nèi)化·悟】

判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征應(yīng)注意哪兩個(gè)方面的問題？

提示：（1）明確由哪種平面圖形旋轉(zhuǎn)而成。

（2）明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線。

【類題·通】

1.判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的步驟

（1）明確旋轉(zhuǎn)軸l。

（2）確定平面圖形中各邊（通常是線段）與l的位置關(guān)系。

（3）依據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義和一些結(jié)論來確定形狀。

2.與簡單旋轉(zhuǎn)體的截面有關(guān)的結(jié)論

（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)平行于底面的截面都是圓面。

（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面（即過旋轉(zhuǎn)軸的截面）分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形。

【習(xí)練·破】

給出下列說法：①圓柱的底面是圓面；②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；③圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；④夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。其中說法正確的是_______。（填序號(hào)）

【解析】①正確，圓柱的底面是圓面；

②正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；

③不正確，圓臺(tái)的母線延長，相交于一點(diǎn)；

④不正確，夾在圓柱兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體。

答案：①②

類型二簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【典例】1.將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長的底邊所在

直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）

A.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐

C.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱D.一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐

2.描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征。

【思維·引】1.先將平面圖形割補(bǔ)成三角形、矩形，再旋轉(zhuǎn)識(shí)別幾何體。

2.關(guān)鍵是弄清簡單組合體是由哪幾部分組成。

【解析】1.選D。圖1是一個(gè)等腰梯形，CD為較長的底邊，以CD邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個(gè)組合體，如圖2，包括一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐。

2.題干圖①所示的幾何體是由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；題干圖②所示的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐得到的組合體；題干圖③所示的幾何體是在一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)三棱柱后得到的組合體。

【內(nèi)化·悟】

常見的簡單旋轉(zhuǎn)體有哪些？

提示：圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球。

【類題·通】

識(shí)別簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征的策略

（1）組合體是由簡單幾何體拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔細(xì)觀察組合體的組成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的幾何結(jié)構(gòu)特征，對(duì)原組合體進(jìn)行分割。

（2）用分割法識(shí)別簡單組合體，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線（或面），進(jìn)而將幾何體“分拆”成幾個(gè)簡單的幾何體。

【習(xí)練·破】

如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，∠BAC=45°。將這個(gè)平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)組合體，試說明這個(gè)組合體的結(jié)構(gòu)特征。

【解析】如圖所示，這個(gè)組合體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球體拼接而成的。

類型三空間幾何體中的計(jì)算問題

【典例】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長。

【思維·引】過圓錐的軸作截面圖，利用三角形相似解決。

【解析】設(shè)圓臺(tái)O′O的母線長為lcm，由截得的圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為rcm，4rcm，過軸SO作截面，如圖所示。

則△SO′A′∽△SOA，SA′=3cm。

所以。所以

解得l=9，即圓臺(tái)O′O的母線長為9cm。

【類題·通】

1.簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用

（1）簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量。

（2）在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想。

2.與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略

（1）畫出圓錐的軸截面。

（2）在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關(guān)系，求解便可。

【習(xí)練·破】

有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度。

【解析】把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖所示），

由題意知BC=3πcm，AB=4πcm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度。AC==5πcm，故鐵絲的最短長度為5πcm。

謝謝(共173張PPT)

空間直線、平面的平行

8.5.1直線與直線平行

1.基本事實(shí)4

平行于同一條直線的兩條直線平行。

【思考】

平面中有哪些常用的證明兩直線平行的定理？

提示：三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對(duì)邊平行等。

2.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

【思考】平面中怎樣利用平行證明兩個(gè)角相等？

提示：兩直線平行同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，平行四邊形中對(duì)角相等。

【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線。（）

（2）如果空間中的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行。（）

提示：（1）×。也可能是相交直線。

（2）×。等角定理的逆定理不成立。

2.若一個(gè)角兩邊和另一個(gè)角兩邊分別平行，一個(gè)角為45°，則另一個(gè)角為________。

【解析】若一個(gè)角兩邊和另一個(gè)角兩邊分別平行，

則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，由一個(gè)角為45°，則另一個(gè)角為45°或135°。

答案：45°或135°

3.已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________。

【解析】如圖所示，MNAC，

因?yàn)锳CA′C′，所以MNA′C′。

答案：平行

類型一空間中兩直線平行的判定及應(yīng)用

【典例】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，且

。求證：四邊形GHFE是梯形。

【思維·引】根據(jù)梯形的定義證明。

【證明】因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的中點(diǎn)，所以EF∥BD，且EF=BD，

因?yàn)镚，H分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，且，

所以HG∥BD，且HG=BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四邊形GHFE是梯形。

【內(nèi)化·悟】

本題中證明線線平行用了哪些定理？

提示：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，基本事實(shí)4。

【類題·通】

關(guān)于空間中兩直線平行的證明

（1）輔助線：常見的輔助線作法是構(gòu)造三角形中位線，平行四邊形的對(duì)邊。

（2）證明依據(jù)：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，基本事實(shí)4，幾何體中相對(duì)的棱、對(duì)角線等的平行關(guān)系。

【習(xí)練·破】

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E1，F(xiàn)1分別是棱A1D1，C1D1的中點(diǎn)。

求證：EE1∥FF1。

【證明】連接EF，E1F1，A1C1，AC，

由長方體ABCD-A1B1C1D1知，ACA1C1，

因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，

所以由三角形中位線定理得：EFAC，

同理E1F1A1C1，

所以EFE1F1，則四邊形EFF1E1為平行四邊形，

故EE1∥FF1。

【加練·固】

如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，點(diǎn)E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CC1的中點(diǎn)，求證：EB∥FD1。

【證明】取DD1的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，F(xiàn)M，

因?yàn)镕M∥CD∥AB，且FM=CD=AB，

所以四邊形FMAB為平行四邊形，可得BF∥AM，且BF=AM，

又因?yàn)樗倪呅蜛MD1E也是平行四邊形，

所以ED1∥AM，且ED1=AM，

所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四邊形EBFD1是平行四邊形，所以EB∥FD1。

類型二等角定理的應(yīng)用

【典例】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是CC1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)。

求證：∠NMP=∠BA1D。

【思維·引】證明兩個(gè)角的兩邊分別平行。

【證明】如圖，連接CB1，CD1，

因?yàn)镃D∥A1B1，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，

所以A1D∥B1C。

因?yàn)镸，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)，

所以MN∥B1C，所以MN∥A1D。

因?yàn)锽C∥A1D1，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，

所以A1B∥CD1。

因?yàn)镸，P分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，

所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，

所以∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D。

【內(nèi)化·悟】

兩個(gè)角的邊分別平行時(shí)，怎樣區(qū)分兩個(gè)角相等還是互補(bǔ)？

提示：如果兩個(gè)角方向相同或相反，則兩個(gè)角相等，否則互補(bǔ)，也可以通過觀察兩角是銳角還是鈍角，如果同為銳角或鈍角，則兩角相等。

【類題·通】

關(guān)于等角定理的應(yīng)用

（1）根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的邊分別平行，即先證明線線平行。

（2）根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等。

【習(xí)練·破】

如圖所示，△ABC和△A′B′C′的

對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′

交于同一點(diǎn)O，且

（1）求證AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′。

（2）求的值。

【解析】（1）因?yàn)锳A′∩BB′=O，且

所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，

所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。

（2）因?yàn)锳′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和

A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′。

同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，

所以△ABC∽△A′B′C′且

所以

【加練·固】

已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)。

求證：（1）四邊形MNA1C1是梯形。

（2）∠DNM=∠D1A1C1。

【證明】（1）如圖，連接AC，在△ACD中，

因?yàn)镸，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，

所以MN是三角形的中位線，所以MN∥AC，MN=AC。

由長方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC=A1C1。

所以MN∥A1C1，且MN=A1C1，即MN≠A1C1，

所以四邊形MNA1C1是梯形。

（2）由（1）可知MN∥A1C1，又因?yàn)镹D∥A1D1，

所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)。

而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，

所以∠DNM=∠D1A1C1。

類型三空間中直線平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

角度1共面問題

【典例】如圖，已知正方體ABCD-

A1B1C1D1，E，F(xiàn)，G，H分別是AD1，

CD1，BC，AB的中點(diǎn)。

求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面。

【思維·引】證明EF∥HG即可。

【證明】如圖，連接AC。

因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點(diǎn)，所以EF∥AC。

因?yàn)镚，H分別是BC，AB的中點(diǎn)，所以GH∥AC。

所以EF∥GH。所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面。

【素養(yǎng)·探】

在證明共面問題時(shí)，常常用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理，將共面問題轉(zhuǎn)化為平行問題，通過證明線線平行證明四點(diǎn)共面。

將本例的條件改為“”，試證明EH與FG交于一點(diǎn)。

【證明】連接AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點(diǎn)，

所以EF∥AC，EF=AC。

因?yàn)?，所以GH∥AC，GH=AC。

所以EF∥GH，EF≠GH，

所以四邊形EFGH是梯形，所以EH與FG交于一點(diǎn)。

角度2探究問題

【典例】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)M，N分別在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，作出直線MN與PB確定的平面與平面PAD的交線l，直線l與MN是否平行，如果平行請(qǐng)給出證明，如果不平行請(qǐng)說明理由。

【思維·引】先作出直線l，再利用比例關(guān)系證明是否平行。

【解析】連接BM并延長，交DA于點(diǎn)E，連接PE，

則PE即為直線MN與PB確定的平面與平面PAD的交線l，因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以AE∥BC，

所以△AEM∽△CBM，所以

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別在AC，PB上，

且AM=MC，BN=BP，

所以MN∥PE，即直線l∥MN。

【類題·通】

1.關(guān)于共面問題

根據(jù)兩平行直線確定一個(gè)平面，可以證明共面問題，其實(shí)質(zhì)是證明直線平行。

2.關(guān)于探究問題

處理探究問題時(shí)一般假設(shè)其存在，再進(jìn)行證明，或先選取如中點(diǎn)等特殊位置進(jìn)行驗(yàn)證，再給出嚴(yán)格證明。

【習(xí)練·破】

如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H

分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

（2）當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形。

【解析】（1）在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，

所以EF∥AC，且EF=AC，

同理有GH∥AC，且GH=AC，

所以EF∥GH且EF=GH，

故四邊形EFGH是平行四邊形。

（2）當(dāng)AC與BD垂直且相等時(shí)，四邊形EFGH是正方形，理由如下：

若AC=BD，則有EH=EF，

又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，

所以四邊形EFGH是菱形。若AC⊥BD，則EH⊥EF，

所以菱形EFGH是正方形。

8.5.2直線與平面平行

1.直線與平面平行的判定定理

（1）定理：如果一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。

（2）符號(hào)：

（3）實(shí)質(zhì)：

平面外

aα，bα，且a∥ba∥α。

線線平行線面平行，即空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

【思考】一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面一定平行嗎？

提示：不一定，該直線也可能在平面內(nèi)。

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理

（1）定理：一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該。

（2）符號(hào)：

（3）實(shí)質(zhì)：

直線與交線平行

a∥α，aβ，α∩β=ba∥b。

線面平行線線平行，即線面平行蘊(yùn)含線線平行。

【思考】一條直線與一個(gè)平面平行，該直線與此平面內(nèi)任意直線平行嗎？

提示：不一定，可能是異面直線。

【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α。（）

（2）若l與平面α平行，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)。（）

（3）平行于同一平面的兩條直線平行。（）

提示：（1）×。直線也可能與平面相交。

（2）√。若有公共點(diǎn)，則平行不成立。

（3）×。兩條直線可能平行，也可能相交或異面。

2.能保證直線與平面平行的條件是（）

A.直線與平面內(nèi)的一條直線平行

B.直線與平面內(nèi)的某條直線不相交

C.直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行

D.直線與平面內(nèi)的所有直線不相交

【解析】選D。A不正確，因?yàn)橛芍本€與平面內(nèi)的一條直線平行，不能推出直線與平面平行，直線有可能在平面內(nèi)。

B不正確，因?yàn)橛芍本€與平面內(nèi)的某條直線不相交，不能推出直線與平面平行，直線有可能在平面內(nèi)，也可能和平面相交。

C不正確，因?yàn)橛芍本€與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，不能推出直線與平面平行，直線有可能在平面內(nèi)。

D正確，因?yàn)橛芍本€與平面內(nèi)的所有直線不相交，依據(jù)直線和平面平行的定義可得直線與平面平行。

3.如圖，四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則（）

A.MN∥PDB.MN∥PA

C.MN∥ADD.以上均有可能

【解析】選B。四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，

MN平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，

由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：MN∥PA。

類型一直線與平面平行判定定理的應(yīng)用

【典例】（2023·常熟高一檢測）如圖，

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，

D，E分別是AB，B1C的中點(diǎn)。

求證：DE∥平面ACC1A1。

【思維·引】構(gòu)造中位線或平行四邊形，利用線線平行證明。

【證明】方法一：連接BC1，AC1，

因?yàn)锳BC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四邊形BCC1B1為平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)得點(diǎn)E也是BC1的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以DE∥AC1，

又DE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，

所以DE∥平面ACC1A1。

方法二：連接A1C，AC1交于O，連接OE，

則O是A1C的中點(diǎn)，又E是B1C的中點(diǎn)，

所以O(shè)E∥A1B1，OE=A1B1，

又AD∥A1B1，AD=A1B1，

所以O(shè)EAD，

所以四邊形ADEO是平行四邊形，

所以AO∥DE，

因?yàn)锳O平面ACC1A1，DE平面ACC1A1，

所以DE∥平面ACC1A1。

【內(nèi)化·悟】

構(gòu)造中位線、平行四邊形的關(guān)鍵是什么？

提示：想象出相應(yīng)的三角形、四邊形。

【類題·通】

關(guān)于線面平行的判定

（1）充分利用平面圖形中的平行關(guān)系，如三角形中中位線平行于底邊，平行四邊形對(duì)邊平行，梯形的兩底平行等。

（2）連接平行四邊形的對(duì)角線是常作的輔助線，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線相互平分，可以得到中點(diǎn)從而構(gòu)造平行關(guān)系。

（3）書寫步驟時(shí)一定要注明面外直線，面內(nèi)直線，避免步驟扣分。

【習(xí)練·破】

1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線（）

A.不存在B.有1條

C.有2條D.有無數(shù)條

【解析】選D。由題設(shè)知平面ADD1A1與平面D1EF有公共點(diǎn)D1，由平面的基本性質(zhì)中的公理知必有過該點(diǎn)的公共直線l，在平面ADD1A1內(nèi)與l平行的直線有無數(shù)條，且它們都不在平面D1EF內(nèi)，則它們都與平面D1EF平行，故選D。

2.（2023·寧德高一檢測）如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。

求證：AC1∥平面CDB1。

【證明】連接BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，

又因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1為平行四邊形。

所以E是BC1的中點(diǎn)，

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以DE∥AC1，

因?yàn)镈E平面CDB1，AC1平面CDB1，

所以AC1∥平面CDB1。

【加練·固】

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E為棱CC1的中點(diǎn)。求證：AC∥平面B1DE。

【證明】連接AC1，交B1D于點(diǎn)O，連接OE，

則OE為△ACC1的中位線，

所以O(shè)E∥AC，

又OE平面B1DE，AC平面B1DE，

所以AC∥平面B1DE。

類型二直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

【典例】（2023·玄武高一檢測）一正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)P是棱VA的中點(diǎn)，

（1）過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，在木塊的表面應(yīng)該怎樣畫線？

（2）在面ABC中所畫的線與棱AC是什么位置關(guān)系？

【思維·引】根據(jù)線面平行，作出截面與各個(gè)表面的交線即可。

【解析】（1）取VC的中點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)F，分別連接PD，PF，EF，DE，

則PD，PF，DE，EF即為應(yīng)畫的線。

（2）因?yàn)镻F∥DE，所以P，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且AC∥平面PDEF，

因?yàn)槠矫鍭BC∩平面PDEF=EF，

所以AC∥EF。

【內(nèi)化·悟】

利用線面平行的性質(zhì)定理需要滿足哪兩個(gè)前提條件？

提示：一是線面平行，二是存在或作出過直線的平面與已知平面的交線。

【類題·通】

關(guān)于線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

（1）如果題目中存在線面平行的條件，尋找或作出交線是前提，也是關(guān)鍵。

（2）對(duì)應(yīng)畫線問題，要根據(jù)線面平行，確定出平行的直線后畫出。

【習(xí)練·破】

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上。若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________。

【解析】因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，AB=2，

所以AC=2。又E為AD的中點(diǎn)，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，所以EF∥AC，所以F為DC的中點(diǎn)，所以EF=AC=。

答案：

【加練·固】

如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，DE與AB不重合，證明：DE∥AB。

【證明】因?yàn)锳BC-A1B1C1為三棱柱，

所以A1B1∥平面ABC，

又平面A1B1ED∩平面ABC=DE，

所以A1B1∥DE，

又A1B1∥AB，

所以DE∥AB。

類型三直線與平面平行判定、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用

角度1線面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例】如圖所示，四邊形EFGH為空間

四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行

四邊形。

求證：AB∥平面EFGH。

【思維·引】先由線線平行推線面平行，再利用線面平行推出線線平行，進(jìn)而證明線面平行。

【證明】因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以EF∥HG。因?yàn)镠G平面ABD，所以EF∥平面ABD。

因?yàn)镋F平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，AB平面EFGH。所以EF∥AB。

因?yàn)锳B平面EFGH，EF平面EFGH，

所以AB∥平面EFGH。

【素養(yǎng)·探】

在確定線面平行的條件時(shí)，常常用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理，通過線面平行與線線平行的相互轉(zhuǎn)化證明。

本例的條件改為“截面EFGH與AB，CD分別平行”，

試證明截面EFGH是平行四邊形。

【證明】因?yàn)锳B∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EF，AB平面ABC，

所以AB∥EF，

因?yàn)锳B∥平面EFGH，平面ABD∩平面EFGH=GH，AB平面ABD，所以AB∥GH，

由基本事實(shí)4可得：EF∥GH，同理可得EH∥FG，

所以四邊形EFGH為平行四邊形。

角度2線面平行條件的確定

【典例】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P滿足條件________時(shí)，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一個(gè)滿足題意的條件即可）

【思維·引】從特殊點(diǎn)入手尋找，再驗(yàn)證是否符合。

【解析】取CC1中點(diǎn)P，連接A1P，

因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中，D為AA1中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)，

所以當(dāng)點(diǎn)P滿足條件P是CC1中點(diǎn)時(shí)，A1P∥CD，

因?yàn)锳1P平面BCD，CD平面BCD，

所以當(dāng)點(diǎn)P滿足條件P是CC1中點(diǎn)時(shí)，A1P∥平面BCD。

答案：P是CC1中點(diǎn)

【類題·通】

關(guān)于線面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

判定和性質(zhì)之間的推理關(guān)系是由線線平行線面平行線線平行，既體現(xiàn)了線線平行與線面平行之間的相互聯(lián)系，也體現(xiàn)了空間和平面之間的相互轉(zhuǎn)化。

【習(xí)練·破】

若在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滿足條件________時(shí)，SC∥平面EBD。

【解析】當(dāng)E為SA的中點(diǎn)時(shí)，連接AC，

設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接EO。

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)。

又E是SA的中點(diǎn)，

所以O(shè)E是△SAC的中位線。

所以O(shè)E∥SC。

因?yàn)镾C平面EBD，OE平面EBD，

所以SC∥平面EBD。

答案：SE=EA

8.5.3平面與平面平行

1.平面與平面平行的判定定理

（1）定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。

（2）符號(hào)：

（3）實(shí)質(zhì)：

兩條相交直線

aα，bα，a∩b=P，a∥β，b∥βα∥β。

線面平行面面平行

【思考】定理中的“相交”能否去掉？

提示：不能，如果是兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，兩個(gè)平面也可能相交。

2.平面與平面平行的性質(zhì)定理

（1）定理：

（2）符號(hào)：

（3）實(shí)質(zhì)：

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么交線平行。

α∥β，α∩γ=a，β∩γ=ba∥b。

面面平行線線平行

【思考】由面面平行能推出線面平行？

提示：能，兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行。

【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。（）

（2）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線平行。（）

（3）已知兩個(gè)平面平行，若第三個(gè)平面與其中的一個(gè)平面平行，則也與另一個(gè)平面平行。（）

提示：（1）×。這無數(shù)條直線可能是平行直線。

（2）×。也可能是異面直線。

（3）√。第三個(gè)平面與另一個(gè)平面也沒有公共點(diǎn)，所以也是平行的。

2.下列命題中不正確的是（）

A.平面α∥平面β，一條直線a平行于平面α，則a一定平行于平面β

B.平面α∥平面β，則平面α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面β

C.一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個(gè)平面，那么該三角形所在的平面與這個(gè)平面平行

D.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線

【解析】選A。A中，平面α∥平面β，一條直線a平行于平面α，則a不一定平行于平面β；因?yàn)閍有可能在平面β內(nèi)；故錯(cuò)誤；

B中，平面α∥平面β，則平面α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面β，由面面平行可得一個(gè)平面內(nèi)的線與另一平面平行，故正確；

C中，一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個(gè)平面，那么該三角形所在的平面與這個(gè)平面平行，由面面平行的判定可知結(jié)論正確；

D中，分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線；由面面平行的性質(zhì)可知結(jié)論正確。

3.如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)P，且AP=1，BP=4，CD=6，那么CP=

________。

【解析】因?yàn)槠矫姒痢桅?，A，C∈α，B，D∈β，

直線AB與CD交于點(diǎn)P，所以AC∥BD，

所以，因?yàn)锳P=1，BP=4，CD=6，

所以，所以CP=2。

答案：2

類型一平面與平面平行判定定理的應(yīng)用

【典例】如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點(diǎn)。

求證：平面MNQ∥平面PBC。

【思維·引】在平面MNQ中，分別證明兩條直線與平面PBC平行。

【證明】因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，

點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點(diǎn)，

所以N是AC的中點(diǎn)，

所以MN∥PC，

又因?yàn)镻C平面PBC，MN平面PBC，

所以MN∥平面PBC。

因?yàn)镸，Q分別是PA，PD的中點(diǎn)，

所以MQ∥AD∥BC，

又因?yàn)锽C平面PBC，MQ平面PBC，

所以MQ∥平面PBC。

因?yàn)镸Q平面MNQ，MN平面MNQ，MQ∩MN=M，

所以平面MNQ∥平面PBC。

【內(nèi)化·悟】

要證明面面平行，需要先證明什么？

提示：先證明線線平行。

【類題·通】

平面與平面平行的判定方法

（1）定義法：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。

（2）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面。

（3）轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β。

（4）利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ。

【習(xí)練·破】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，N是BB1的中點(diǎn)。

求證：平面MDB1∥平面ANC。

【證明】如圖，連接MN。

因?yàn)镸，N分別是所在棱的中點(diǎn)，

所以四邊形AMB1N和四邊形MNCD是平行四邊形。

所以MB1∥AN，CN∥MD。

又因?yàn)镸B1平面MDB1，AN平面MDB1，所以AN∥平面MDB1，

同理可證CN∥平面MDB1，

又因?yàn)锳N∩CN=N，

AN平面ANC，CN平面ANC，

所以平面MDB1∥平面ANC。

類型二平面與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

【典例】（2023·南昌高一檢測）如圖，

平面α∥β，線段AB分別交α，β于M，

N，線段AD分別交α，β于C，D，線段

BF分別交α，β于F，E，若AM=9，MN=11，NB=15，

S△FMC=78。求△END的面積。

【思維·引】根據(jù)兩個(gè)平面平行，確定兩邊的比值，再由面積的比求另一個(gè)三角形的面積。

【解析】因?yàn)槠矫姒痢桅拢制矫鍭ND∩平面α=MC，

平面AND∩平面β=ND，所以MC∥ND，

同理EN∥FM，

又AM=9，MN=11，NB=15，

所以

又∠FMC=∠END，

所以

因?yàn)镾△FMC=78，所以S△END=100。

故△END的面積為100。

【內(nèi)化·悟】

本例中推出FM∥NE，MC∥ND的依據(jù)是什么？FC與ED平行嗎？為什么？

提示：依據(jù)一是α∥β，二是FM與NE，MC與ND分別共面。不一定平行，也可能異面。

【類題·通】

1.應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的步驟

2.關(guān)于平行平面分線段

類比平面內(nèi)的平行直線分線段成比例定理，在空間中有平行平面分線段成比例定理。

【習(xí)練·破】

如圖，已知α∥β，點(diǎn)P是平面α，β外的一點(diǎn)（不在α與β之間），直線PB，PD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和C，D。

（1）求證：AC∥BD。

（2）已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的長。

（3）若點(diǎn)P在α與β之間，試在（2）的條件下求CD的長。

【解析】（1）因?yàn)镻B∩PD=P，

所以直線PB和PD確定一個(gè)平面，記為γ，

則α∩γ=AC，β∩γ=BD。

又α∥β，所以AC∥BD。

（2）由（1）得AC∥BD，所以

所以CD=cm，

所以PD=PC+CD=（cm）。

（3）同（1）得AC∥BD，所以△PAC∽△PBD。

所以

所以，所以PD=cm。

所以CD=PC+PD=3+（cm）。

類型三平面與平面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

角度1面面平行條件的探究

【典例】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中

點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在________

位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO。（）

A.Q與C重合B.Q與C1重合

C.Q為CC1的三等分點(diǎn)D.Q為CC1的中點(diǎn)

【思維·引】從特殊點(diǎn)入手進(jìn)行探究。

【解析】選D。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

因?yàn)镺為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，

所以PO∥BD1，

因?yàn)镼是CC1上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在CC1的中點(diǎn)位置時(shí)，

PQAB，

所以四邊形ABQP是平行四邊形，

所以AP∥BQ，

因?yàn)锳P∩PO=P，BQ∩BD1=B，

AP，PO平面APO，BQ，BD1平面BQD1，

所以平面D1BQ∥平面PAO。

【素養(yǎng)·探】

在探究面面平行的過程中，常常用到核心素養(yǎng)中的直觀想象，想象出平行平面的位置，從而確定面面平行的條件。

本例中，若Q是AA1上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO。

【解析】當(dāng)Q在AA1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

因?yàn)镺為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，

所以PO∥BD1，

因?yàn)镻O面BD1Q，BD1面BD1Q，

所以PO∥面BD1Q，

因?yàn)镼是AA1上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在AA1的中點(diǎn)位置時(shí)，AQD1P，

所以四邊形AQD1P是平行四邊形，

所以AP∥D1Q，

因?yàn)镻A面BD1Q，D1Q面BD1Q，

所以PA∥面BD1Q，

又PA∩PO=O，所以平面D1BQ∥平面PAO。

角度2空間平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD和B1C的中點(diǎn)，求證：

（1）MN∥平面CC1D1D。

（2）平面MNP∥平面CC1D1D。

【思維·引】（1）利用平行四邊形構(gòu)造線線平行證明。

（2）利用線線平行證明線面平行。

【證明】（1）連接AC，CD1，

因?yàn)锳BCD是正方形，N是BD的中