平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定必備知識基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層知識點一二面角1.若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角()A．相等B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)D．關(guān)系無法確定2．下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是()A．①③B．②④C．③④D．①②3．四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)；(2)求二面角B-PA-D的平面角的度數(shù)；(3)求二面角B-PA-C的平面角的度數(shù)；(4)求二面角B-PC-D的平面角的度數(shù)．知識點二平面與平面垂直的判定定理4.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面()A．有1個B．有2個C．有無數(shù)個D．不存在5．在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.6．過點S引三條線段SA，SB，SC，其中∠BSC＝90°，∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a.求證：平面ABC⊥平面BSC.關(guān)鍵能力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練第二層一、選擇題1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行B．可能重合C．垂直D．相交不垂直2．一個二面角α(0°＜α＜90°)的兩個半平面分別垂直于另一個二面角β(0°＜β＜90°)的兩個半平面，則這兩個二面角的關(guān)系是()A．相等B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)D．既不相等也不互補(bǔ)3．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，下面命題正確的是()A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥m4．從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E、F為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不確定5．(易錯題)如圖所示，AB是圓O的直徑，C是異于A，B兩點的圓周上的任意一點，PA垂直于圓O所在的平面，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．46．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)二、填空題7．在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，有下列四個命題：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC.其中正確命題的序號是________(把所有正確命題的序號都填上)．8．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝________.9．(探究題)α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題________(答案不唯一，寫出一個即可)．三、解答題10．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.(1)求證：平面ABD⊥平面ACD；(2)若AB＝BC＝2BD，求二面角B-AC-D的正切值．學(xué)科素養(yǎng)升級練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．(多選)如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，點A到達(dá)A′的位置，此時A′C＝eq\r(3)，構(gòu)成三棱錐A′-BCD，則()A．平面A′BD⊥平面BDCB．平面A′BD⊥平面A′BCC．平面A′DC⊥平面BDCD．平面A′DC⊥平面A′BC2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)3．(學(xué)科素養(yǎng)——邏輯推理＋運算能力)如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點．(1)求點C與平面A1ABB1的距離；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．11．平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定必備知識基礎(chǔ)練1．答案：D解析：如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定，因為二面角H-DG-F的大小不確定．2．答案：B解析：由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對，實質(zhì)上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對；由定義知④正確．故選B.3．解析：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD.∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的度數(shù)為90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，AB，AC?平面ABCD.∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度數(shù)為45°.(4)作BE⊥PC于E，連接DE，BD，且BD與AC交于點O，連接EO，如圖．由題意知△PBC≌△PDC，則∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE.∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.∴∠BED為二面角B-PC-D的平面角．∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴BC⊥PB.設(shè)AB＝a，則BE＝eq\f(PB·BC,PC)＝eq\f(\r(6),3)a，BD＝eq\r(2)a.∴sin∠BEO＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(\r(3),2).∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°.∴二面角B-PC-D的平面角的度數(shù)為120°.4．答案：C解析：由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．5．證明：∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.6．證明：如圖，取BC的中點D，連接SD，AD，由于∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a，所以△SAC，△SAB為正三角形，即有AB＝AC＝a，又BC＝eq\r(2)a，所以三角形ABC為等腰直角三角形，所以AD⊥BC，又SD⊥BC，所以∠ADS恰好為二面角S－BC－A的平面角．又SD＝AD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2)a，而SA＝a，所以△SAD為直角三角形，∠SDA為直角，所以，平面ABC⊥平面BSC.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：C解析：由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.2．答案：A解析：畫出圖象易得到α與β相等或互補(bǔ)．而α，β均為銳角，∴α與β相等．3．答案：A解析：A項，由面面垂直的判定定理可知，若l?α，l⊥β，則α⊥β，故A正確．B項，若α⊥β且l?α，m?β，則l與m平行，相交，異面都有可能，故B錯．C項，若l∥β，且l?α.則α∥β和α與β相交都有可能，故C錯．D項，若α∥β，且l?α，m?β，則l∥m或l，m異面．故D錯．4．答案：C解析：∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F(xiàn)三點確定的平面垂直于α和β.過點E作l的垂線，垂足為O，連接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F(xiàn)四點共面，則∠FOE為二面角的平面角，如圖1所示．此時，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α-l-β的平面角為120°.當(dāng)點P的位置如圖2所示時，此時∠FOE＝∠EPF，所以二面角α-l-β的平面角為60°.5．答案：D解析：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.∴△ABC為直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面內(nèi)，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC，△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，從而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均為直角三角形．6．答案：C解析：如圖所示，連接AC交BD于O，連接A1O，∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．設(shè)A1A＝a，則AO＝eq\f(\r(2),2)a，所以tan∠A1OA＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).7．答案：①③④解析：因為D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以DF∥BC，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正確；因為E是BC的中點，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因為AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因為BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正確；因為DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正確；只有②不正確．故正確的命題為①③④.8．答案：13解析：如圖，連接CD，則在Rt△ABC中，CD＝eq\f(1,2)AB.因為AC＝6，BC＝8，所以AB＝eq\r(62＋82)＝10.所以CD＝5.因為EC⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以EC⊥CD.所以ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13.9．答案：①③④?②(或②③④?①)解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，則m與α可能平行也可能相交，也可能m?α，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，則n與β可能平行也可能相交，也可能n?β，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，則②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，則①m⊥n一定成立．∴①③④?②(或②③④?①)10．解析：(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.又BD⊥CD，且BD∩AB＝B，BD，AB?平面ABD，∴CD⊥平面ABD.又CD?平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD.(2)如圖，過D作DE⊥BC于E，又AB⊥DE，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC.過E作EF⊥AC于F，連接DF，∴AC⊥平面DEF，則AC⊥DF，∴∠DFE就是二面角B-AC-D的平面角．設(shè)BD＝x，則AB＝BC＝2x.在Rt△BDC中，CD＝eq\r(3)x，BD·CD＝BC·DE，則DE＝eq\f(\r(3),2)x，BE＝eq\f(1,2)x，CE＝eq\f(3,2)x.由Rt△CEF∽Rt△CAB得eq\f(EF,CE)＝eq\f(AB,AC)，∴EF＝eq\f(3\r(2),4)x，在Rt△DEF中，tan∠DFE＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(\f(\r(3),2)x,\f(3\r(2),4)x)＝eq\f(\r(6),3).故二面角B-AC-D的正切值為eq\f(\r(6),3).學(xué)科素養(yǎng)升級練1．答案：AD解析：在三棱錐A′-BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝eq\r(2)，DC＝eq\r(2)，又A′C＝eq\r(3)，故A′C2＝A′D2＋DC2，則CD⊥A′D，又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC.2．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析：由題意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.3．解析：(1)由AC＝BC，D為AB的中點，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，AB，AA1?平面A1ABB1，得CD⊥平面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距離為CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(5).(2)如圖，取D1為A1B1的中點，連接DD1，則DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1為所求的二面角A1-CD-C1的平面角．因CD⊥平面A1ABB1，AB1?平面A1ABB1，所以AB1⊥CD，又已知AB1