定義2

在

m×n

矩陣

A中任取

k行、k

列（k≤m,k≤n），位于這些行列交叉處的

k2

個元素，不改變它們在

A中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣

A的

k階子式。m×n

矩陣A的

k階子式共有CmkCnk個。

定義2

設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的

r階子式

D，且所有

r+1階子式（如果有的話）全等于0，那么

D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)

r稱為矩陣A的秩，記作R(A)=r。規(guī)定零矩陣的秩等于0。上頁下頁返回定義2在m×n矩陣A中任取k行、k1（3）對于任何m×n

矩陣A，都有唯一確定的秩，且R（A）≤min(m,n)；（4）若矩陣A

中有一個r1

階子式不為零，則R（A）≥r1

；若矩陣A的所有r1

＋1階子式全等于零，則R（A）≤r1

。（2）A

的轉(zhuǎn)置矩陣AT

的秩R(AT)=R(A)；由定義可知:

(1)矩陣A的秩

R(A)就是

A中不等于0的子式的最高階數(shù)；上頁下頁返回上頁下頁(5)對于n

階可逆矩陣A

，有|A|≠0<=>

R(A)=n<=>A

的標準形為

n階單位陣E可逆陣又稱為滿秩矩陣。奇異陣又稱為降秩矩陣。（3）對于任何m×n矩陣A，都有唯一確定的2例1求矩陣A和B的秩，其中解在A

中，容易看出左上角一個2階子式A的3階子式只有一個|A|，經(jīng)計算可知|A|=0，因此R（A）=2。上頁下頁返回例1求矩陣A和B的秩，其中解在A中，容易看出左上角一個3B是一個階梯形矩陣，其非零行有3行，即知B

的所有4階子式全為零，而3階子式因此R（B）=3。上頁下頁返回B是一個階梯形矩陣，其非零行有3行，即知B的所有4階4從本例可知，由矩陣A

的秩的定義求秩，關(guān)鍵在于找A中不等于0的子式的最高階數(shù)。一般當(dāng)行數(shù)與列數(shù)都較高時，按定義求秩是很麻煩的。對于行階梯形矩陣，顯然它的秩就等于非零行的行數(shù)。因此自然想到用初等變換把矩陣化為行階梯形矩陣，但兩個等價的矩陣的秩是否相等呢？上頁下頁返回從本例可知，由矩陣A的秩的定義求秩，關(guān)鍵在5經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩也不變。上頁下頁返回定理1若A～B，則

R（A）=R（B）。定理1說明：矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變，因而把矩陣用初等變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即為所求矩陣的秩。這是求矩陣秩的一種常用方法。證明:略注1注2經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的6求矩陣的秩。解可見R（B）=2，所以R（A）=2。例2上頁下頁返回求矩陣的秩。解可見R（B）=2，例2上頁下頁返回7例3求矩陣A的秩，并求A

的一個最高階非零子式。解先求A

的秩，為此對A

作初等行變換變成行階梯形矩陣：上頁下頁返回例3求矩陣A的秩，并求A的一個最高階非零子式。解先求A的8上頁下頁返回上頁下頁返回9上頁下頁返回上頁下頁返回10易見R（B）=R（A）=3。上頁下頁返回易見R（B）=R（A）=3。上頁下頁返回11再求A

的一個最高階非零子式。因R（A）=3，知A

的最高階非零子式為3階。A

的3階子式共有要從40個子式中找出一個非零子式，是比較麻煩的?？疾霢

的行階梯形矩陣，記則矩陣的行階梯形矩陣為上頁下頁返回再求A的一個最高階非零子式。因R（A）=3，知A的12中必有3階非零子式。3階子式有4個，在中找一個3階非零子式比在A

中找要方便得多。的前三行構(gòu)成的子式因此，這個式子便是A

的一個最高階非零子式。上頁下頁返回中必有3階非零子式。3階子式有4個，在中找一個313注：A

的最高階非零子式不一定唯一。事實上，從上例中還可以找到很多非零的3階子式。由矩陣的秩的定義，可以進一步得到如下結(jié)論：設(shè)矩陣A

中有一個r階子式而所有包含r+1階子式（如果有的話）全為0，則A

中所有r+1階子式全為0，從而R（A）=r。利用該結(jié)論可計算矩陣的秩，且所需計算的r+1階子式數(shù)從個減少到這里的個。上頁下頁返回注：A的最高階非零子式不一定唯一。事實上，從上例中還可以找14Ex1.求矩陣A

的秩，并求A

的一個最高階非零子式。上頁返回Ex1.求矩陣A的秩，并求A的一個最高階非零子式。上頁15解先求A

的秩，對A

作初等行變換化為行階梯形：故R（A）=3。返回解先求A的秩，對A作初等行變換化為行階梯形：故R（A）=16再求A

的一個最高階非零子式。因R（A）=3，知A

的最高階非零子式為3階，由A

的行階梯形矩陣可知，在矩陣中可找到3階非零子式。不妨在中找，記B=則B

的行階梯形矩陣為返回再求A的一個最高階非零子式。因R（A）=3，知