第1頁10、函數(shù)的奇偶性與周期性第2頁1.若對于函數(shù)

f(x)

定義域內(nèi)任意一種

x,都有

f(-x)=f(x),則稱

f(x)

為偶函數(shù).一、函數(shù)奇偶性2.若對于函數(shù)

f(x)

定義域內(nèi)任意一種

x,都有

f(-x)=-f(x),則稱

f(x)

為奇函數(shù).二、簡單性質(zhì)研究半個區(qū)間！1.奇函數(shù)圖象有關(guān)原點對稱,偶函數(shù)圖象有關(guān)

y

軸對稱.反之成立！2.單調(diào)性:3.奇函數(shù):f(0)=0(0

在定義域中),偶函數(shù):f(x)=f(|x|).

3.若函數(shù)

f(x)

不具有上述性質(zhì),則稱

f(x)

不具有奇偶性;若函數(shù)同步具有上述兩條性質(zhì),則

f(x)

既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).例:函數(shù)

f(x)=0(x∈D,D有關(guān)原點對稱)是既奇又偶函數(shù).第3頁三、函數(shù)奇偶性判定辦法1.根據(jù)定義判定:首先看函數(shù)定義域是否有關(guān)原點對稱,若不對稱,則函數(shù)是非奇非偶函數(shù);若對稱,再判定

f(-x)=f(x)

或

f(-x)=-f(x).2.利用定理,借助函數(shù)圖象判定:

3.性質(zhì)法判定:

在公共定義域內(nèi),兩奇函數(shù)之積(商)為偶函數(shù);兩偶函數(shù)之積(商)也為偶函數(shù);

一奇一偶函數(shù)之積(商)為奇函數(shù).

(注意取商時分母不為零!)有時判定

f(-x)=±f(x)

比較困難,可考慮判定

f(-x)

f(x)=0或判定

=

1.f(x)f(-x)第4頁四、函數(shù)周期性假如存在一種非零常數(shù)

T,使得對于函數(shù)定義域內(nèi)任意

x,都有

f(x+T)=f(x),則稱函數(shù)

f(x)

為周期函數(shù),T

為函數(shù)一種周期.若f(x)周期中,存在一種最小正數(shù),則稱它為函數(shù)最小正周期.若周期函數(shù)

f(x)

最小正周期為

T,則

f(

x)(

0)

也為周期函數(shù),且最小正周期為.

|

|T

第5頁六、奇偶性推廣（周期）證明用解析法第6頁第7頁第8頁第9頁六、典型例題1.判斷下列函數(shù)奇偶性：偶函數(shù)奇函數(shù)既奇又偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)(1)f(x)=

;2x(1+2x)2(2)f(x)=lg(x+

x2+1);(3)f(x)=log2(1-x2+

x2-1

+1);(4)f(x)=(1-x)

;1-x

1+x

奇函數(shù)(5)f(x)=

;|x+3|-3

lg(1-x2)

偶函數(shù)(6)f(x)=x(+

).3x-1

1

12【解題回憶】本題應先化簡f(x)，再判斷f(x)奇偶性，若直接判斷f(x)奇偶性。第10頁2.(1)設函數(shù)

f(x)

定義域有關(guān)原點對稱,判斷下列函數(shù)奇偶性:①F(x)=

[f(x)+f(-x)];②G(x)=

[f(x)-f(-x)];1212(2)試將函數(shù)

y=2x

表達為一種奇函數(shù)與一種偶函數(shù)和.3.設f(x)與g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù),若f(x)-g(x)=(

)x,比12較

f(1)、g(0)、g(-2)

大小.4.設函數(shù)

f(x)

定義域有關(guān)原點對稱,且滿足:①

存在正常數(shù)

a,使

f(a)=1;②

f(x1-

x2)=.求證:

(1)

f(x)

是奇函數(shù);(2)

f(x)

是周期函數(shù),并且有一種周期為

4a.f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)f(1)>g(0)>g(-2)偶函數(shù)奇函數(shù)y=

(2x-2-x)+

(2x+2-x)1212g(x)=-

(2-x+2x).12f(x)=(2-x-2x),12f(a+x)=1-,f(x)+12f(2a+x)=-

,f(x)1f(4a+x)=f(x).第11頁5.已知定義在

R

上函數(shù)

y=f(x)

滿足

f(2+x)=f(2-x),且

f(x)是偶函數(shù),當

x∈[0,2]時,f(x)=2x-1,求

x∈[-4,0]時

f(x)

體現(xiàn)式.6.已知

f(x)

是定義在

R

上不恒為零函數(shù),且對于任意

a,

b∈R

都滿足:f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求

f(0),f(1)

值;(2)判斷

f(x)

奇偶性,并證明你結(jié)論.7.已知

f(x)

是定義在

R

上函數(shù),且對于任意

a,b∈R

都滿足:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)

且

f(0)

0.(1)求證:f(x)是偶函數(shù);(2)若存在正數(shù)

m,使

f(m)=0,求滿足

f(x+T)=f(x)

一種

T(T

0)值.f(x)=2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1

(-2<x≤0)0,0,f(-1)=0,f(-b)=-f(b),

奇函數(shù)(1)f(0)=1,f(-b)=f(b),

(2)考慮

f(a+m),f(a+2m),f(a+4m).

第12頁1.設

f(x)(x∈R)是以

3

為周期奇函數(shù),且

f(1)>1,f(2)=a,則()A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-12.已知奇函數(shù)

f(x)

在

x>0

時體現(xiàn)式為

f(x)=2x

-

,則當

x<-

時有()1214A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)+f(-x)<0D.f(x)+f(-x)>0課堂練習3.函數(shù)f(x)=奇偶性是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)|x-2|4-x2

DBC4.已知

y=f(x-1)

是偶函數(shù),則

y=f(x)

圖象有關(guān)()A.直線

x+1=0

對稱B.直線

x-1=0

對稱C.直線

x-=0

對稱

D.y

軸對稱12A第13頁5.奇函數(shù)

f(x)

在[3,7]上是增函數(shù),在[3,6]上最大值為

8,最小值為

-1,則

2f(-6)+f(-3)

值為()A.5B.-5C.-13

D.-156.奇函數(shù)

f(x)

在[-1,0]上是減函數(shù),

,

是銳角三角形兩個內(nèi)角,且

,則下列不等式中正確是()A.f(cos

)>f(cos

)B.f(sin

)>f(sin

)C.f(cos

)<f(cos

)

D.f(sin

)<f(cos

)DD7.已知

f(x)

圖象有關(guān)直線

x=a

對稱,又有關(guān)點

(m,n)

對稱,

其中

m

a.求證

f(x)

是以

4(a-m)

為周期周期函數(shù).證:由已知,f(x)=f(2a-x),且f(x)+f(2m-x)=2n,

∴

f[4(a-m)