第七章平面向量本章主要研究平面向量概念及線性運(yùn)算，平面向量坐標(biāo)表達(dá)與平面向量?jī)?nèi)積.第1頁7.1平面向量概念◎教學(xué)目標(biāo)（1）理解向量實(shí)際背景，理解平面向量概念和向量幾何表達(dá)；（2）掌握向量模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共線向量關(guān)系；（3）通過對(duì)向量學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步結(jié)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中向量和數(shù)量質(zhì)區(qū)分.第2頁唉,哪兒去了?嘻嘻!大笨貓!AB引入不能，由于方向錯(cuò)了。BA位移不一樣老鼠由A向東北方向以6m/s速度逃竄,而貓由B向東南方向10m/s速度追.問貓能否抓到老鼠？為何？第3頁重力、浮力、彈力有大小、有方向第4頁許多物理量都有這樣性質(zhì)．．．抽象概括向量第5頁（一）向量概念

定義：現(xiàn)有大小又有方向量叫向量。2.向量與數(shù)量區(qū)分：①數(shù)量只有大小

②向量有方向，大小雙重屬性，而方向是不能比較大小，因此向量不能比較大小。

注：1.向量?jī)梢兀捍笮?，方向，能夠比較大小。注：物理中向量與數(shù)量分別叫做矢量、標(biāo)量第6頁(二）向量表達(dá)辦法

1、幾何表達(dá)法：

用有向線段表達(dá)。A(起點(diǎn)）B(終點(diǎn)）有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度2、小寫字母a,b,c…印刷用黑體表達(dá)，手寫時(shí)寫成此易錯(cuò)也，望記住2、向量字母表達(dá)：注：由起點(diǎn)指向終點(diǎn)；

第7頁（三）向量模注：向量模是能夠比較大小記作：如：

向量模(或長(zhǎng)度)就是向量大小第8頁1.零向量:

2.單位向量:長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度向量長(zhǎng)度（模）為0向量，記作要求：方向是任意。（四）兩個(gè)特殊向量第9頁1.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同向量。abc

a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4（五）.

向量間關(guān)系：注：1.若向量

相等，則記為

；2.任意兩個(gè)相等非零向量，都可用同一條有向線段來

表達(dá)，并且與有向線段起點(diǎn)無關(guān)。3、向量能夠自由平移要求：0=0第10頁要求：零向量與任歷來量平行記作：////

2.平行向量：方向或向量叫平行向量

如下列圖：平行相同相反任一組平行向量都可移到同一條直線上,平行向量也叫共線向量記作:第11頁3.向量負(fù)向量：長(zhǎng)度相等且方向相反向量。ab向量負(fù)向量，記作－．

要求：零向量負(fù)向量仍為零向量．與—

互為相反向量第12頁相等有7個(gè)長(zhǎng)度相等有15個(gè).試一試第13頁例1．判斷下列結(jié)論是否正確。(1)平行向量方向一定相同；()(2)不相等向量一定不平行；()(3)與零向量相等向量是零向量；()(4)單位向量是相等向量；()(5)共線向量一定在一條直線上；()(6)相等向量一定是平行向量;

(

)××√××√第14頁

【例2】:如圖，設(shè)O是正六邊形中心，分別寫出圖中與向量、、相等向量，負(fù)向量。BACDEFO第15頁BACDEFO解：第16頁下面幾個(gè)命題：

C（3）若

|a|=|b|，則a=b（2）若|a|=0，則

a=0（1）若a=

b，

b=c，則a=c。A．0

B.1C.2D.3其中正確個(gè)數(shù)是()（5）向量AB∥CD，則A、B、C、D四點(diǎn)必在始終線上；（4）兩個(gè)向量a=ba∥b

|a|=|b|第17頁7.2平面向量運(yùn)算◎教學(xué)目標(biāo)（1）能純熟地掌握向量加法平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量和向量；（2）在應(yīng)用活動(dòng)中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律幾何意義.掌握有特殊位置關(guān)系兩個(gè)向量和，例如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等；（3）通過探究活動(dòng)，掌握向量減法概念，理解兩個(gè)向量減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量；（4）學(xué)會(huì)分析問題和發(fā)明地處理問題.能純熟地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量差向量；（5）通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義過程，掌握實(shí)數(shù)與向量積定義，理解實(shí)數(shù)與向量積幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量積運(yùn)算律第18頁

臺(tái)北香港上海從運(yùn)動(dòng)合成看向量運(yùn)算在大陸和臺(tái)灣沒有直航之前，臺(tái)灣同胞要到上海探親，得乘飛機(jī)要先從臺(tái)北到香港，再?gòu)南愀鄣缴虾＃敲催@兩次位移之和是什么？ABC位移叫做位移與位移和，記作第19頁F1F2FEOOEF1+F2=F從力合成看向量運(yùn)算橡皮條在力F1與F2作用下，從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn)；同步橡皮條在力F作用下也從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn).問:協(xié)力F與力F1、F2有如何關(guān)系？F1F2FF是以F1與F2為鄰邊所形成平行四邊形對(duì)角線第20頁ABC向量加法運(yùn)算運(yùn)動(dòng)合成力合成F1F2FF1+F2=F

數(shù)加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算角度看，AC能夠以為是AB與BC和，F(xiàn)能夠以為是F1與F2和，即位移、力合成能夠看作向量加法。向量加法：求兩個(gè)向量和運(yùn)算，叫做向量加法向量加法法則：三角形法則、平行四邊形法則第21頁o·ABC力合成能夠看作向量加法平行四邊形法則物理模型向量加法法則CA·B位移合成能夠看作向量加法三角形法則物理模型第22頁向量加法法則總結(jié)與拓展向量加法三角形法則:1.將向量平移使得它們首尾相連2.和向量即是第一種向量首指向第二個(gè)向量尾向量加法平行四邊形法則:1.將向量平移到同一起點(diǎn)2.和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形共起點(diǎn)對(duì)角線三角形法則推廣為多邊形法則：第23頁探究一：當(dāng)向量共線時(shí)，如何相加？ABC(1)同向(2)反向ABC第24頁探究二：向量加法是否具有交換律和結(jié)合律？數(shù)加法滿足交換律與結(jié)合律，即對(duì)任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量加法具有嗎？你能否畫圖解釋？向量加法滿足交換律和結(jié)合律：以上兩個(gè)運(yùn)算律能夠推廣到任意多種向量.第25頁練習(xí)：1、化簡(jiǎn)××××√第26頁例3一艘船以12km/h速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船實(shí)際航行速度．ABDC速度，由向量加法平行四邊形法則，是船實(shí)際航行速度，顯然

解如圖所示，表達(dá)船速，為水流=13．利用計(jì)算器求得即船實(shí)際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線夾角約第27頁例4用兩條同樣繩子掛一種物體,設(shè)物體重力為k，兩條，求物體受到沿兩條繩子方向拉力與大?。?/p>

繩子方向與垂線夾角為f1f2k解利用平行四邊形法則，能夠得到因此根據(jù)例題4分析，判斷在單杠上懸掛身體時(shí)，兩臂成什么角度時(shí)，雙臂受力最?。康?8頁——平面向量減法運(yùn)算第29頁動(dòng)腦思考摸索新知與數(shù)運(yùn)算相類似，能夠?qū)⑾蛄縜與向量b負(fù)向量和定義為向量a與向量b差．即a?b=a＋(?b)．即

觀測(cè)圖能夠得到：起點(diǎn)相同個(gè)向量，其起點(diǎn)是減向量b終點(diǎn)，兩個(gè)向量a、b，其差a?b仍然是一終點(diǎn)是被減向量a終點(diǎn)．a(chǎn)Aa－bBbO設(shè)a，b，則第30頁向量減法法則重點(diǎn):1.平移到同一起點(diǎn)；2.指向被減向量.ABOABO第31頁探究三：當(dāng)向量共線時(shí)，如何相減？(1)同向(2)反向探究四：平行四邊形法則兩條對(duì)角線ADCB第32頁第33頁——平面向量數(shù)乘運(yùn)算第34頁aaaABCOa-a-a-aPQMN第35頁向量數(shù)乘運(yùn)算定義你能說出向量數(shù)乘運(yùn)算幾何意義嗎？第36頁數(shù)乘向量運(yùn)算律向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量線性運(yùn)算.第一分派律第二分派律數(shù)乘結(jié)合律1.如何證明？2.如何解釋運(yùn)算律幾何意義，尤其是(3)？第37頁線性運(yùn)算練習(xí)第38頁兩非零向量共線充要條件：第39頁例5在平行四邊形ABCD中，O為兩對(duì)角線交點(diǎn)如圖，＝a，＝b，試用a,b表達(dá)向量、解＝a＋b，＝b?a，

由于O分別為AC，BD中點(diǎn)，因此（a＋b）＝a＋b，

（b?a）＝a＋b，

a＋b和

a＋b

都叫做向量a，b線性組合，或者說，能夠用向量a，b線性表達(dá)．一般地，a＋b叫做a,b一種線性組合（其中均為實(shí)數(shù)），假如l＝a＋

b，則稱l能夠用a，b線性表達(dá)．

第40頁自我反思目標(biāo)檢測(cè)向量概念及表達(dá)：向量間關(guān)系：向量線性運(yùn)算：第41頁7.3平面向量坐標(biāo)表達(dá)◎教學(xué)目標(biāo)(1)掌握平面向量坐標(biāo)表達(dá)；(2)會(huì)進(jìn)行向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表達(dá)；(3)掌握向量共線充要條件.第42頁創(chuàng)設(shè)情境愛好導(dǎo)入設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，x軸單位向量為i,y軸單位向量為j，為從原點(diǎn)出發(fā)向量，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，3）．則

由平行四邊形法則知圖7－17第43頁動(dòng)腦思考摸索新知設(shè)i,j分別為x軸、y軸單位向量，(1)設(shè)點(diǎn)，則（如圖7－18(1)）；

OxijM(x,y)yjiBAOyx圖7－18(1)圖7－18(2)向量坐標(biāo)等于原點(diǎn)到終點(diǎn)向量坐標(biāo)減去原點(diǎn)到起點(diǎn)向量坐標(biāo)．第44頁動(dòng)腦思考摸索新知由此看到，對(duì)任一種平面向量a，都存在著一對(duì)叫做向量a坐標(biāo)，記作

，使得．有序?qū)崝?shù)對(duì)有序?qū)崝?shù)第45頁圖7－19鞏固知識(shí)典型例題例1如圖7－19所示，用x軸與y軸上單位向量i、j表達(dá)向量a、b,并寫出它們坐標(biāo)．解由于＝5i＋3j，

a＝＋因此同理可得能夠看到，從原點(diǎn)出發(fā)向量，其坐標(biāo)在數(shù)值上與向量終點(diǎn)坐標(biāo)是相同．第46頁鞏固知識(shí)典型例題已知點(diǎn)，求坐標(biāo)．例2

解第47頁利用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)組合表達(dá)向量．

1．點(diǎn)A坐標(biāo)為（－2，3），寫出向量坐標(biāo)，并用i與j線性2．設(shè)向量,寫出向量e坐標(biāo)．

第48頁利用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求坐標(biāo)．(1)(2)(3)(1)(2)(3)第49頁利用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)略．已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求坐標(biāo)及模．

(1)

A(5,3)，B(3，?1)；(2)

A(1,2)，B(2，1)；(3)

A(4,0)，B(0，?3)．3．第50頁創(chuàng)設(shè)情境愛好導(dǎo)入圖7－20觀測(cè)圖7－20，向量能夠看到，兩個(gè)向量和坐標(biāo)正好是這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)和．第51頁動(dòng)腦思考摸索新知設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，，則

因此（7.6）類似能夠得到（7.7）（7.8）第52頁鞏固知識(shí)典型例題例3設(shè)a＝(1,?2),b＝(?2,3)，求下列向量坐標(biāo)：(1)a＋b，(2)－3a，(3)3a－2b．解(1)a＋b＝(1,?2)＋(?2,3)＝(?1,1)

(2)?3a＝?3(1,?2)＝(?3,6)(3)3a－2a＝3(1,?2)－2(?2,3)＝(3,?6)－(?4,6)＝(7,?12)．第53頁利用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)已知向量a,b坐標(biāo)，求a＋b、a－b、?2a＋3b坐標(biāo)．（1）a＝(?2,3)，b=(1,1)；（2）a＝(1,0)，b=(?4,?3)；（3）a＝(?1,2)，b=(3,0)．第54頁創(chuàng)設(shè)情境愛好導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了公式（7.4），懂得對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)時(shí)，有

如何用向量坐標(biāo)來判斷兩個(gè)向量是否共線呢？第55頁動(dòng)腦思考摸索新知由此得到，對(duì)非零向量a、b，設(shè)當(dāng)時(shí)，有（7．9）第56頁鞏固知識(shí)典型例題解例4設(shè)，判斷向量a、

b是否共線．由于3×2?1×6＝0，

故由公式（7．9）知，，即向量a、b共線．第57頁利用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)略．(2)

a＝(1,?1)，b＝(?2,2)；(3)

a＝(2,1)，b＝(?1,2)．判斷下列各組向量是否共線：(1)

a＝(2,3)，b＝(1,)；第58頁

向量坐標(biāo)概念？

1自我反思目標(biāo)檢測(cè)一般地，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，x軸單位向量為i,y軸單位向量為j，則對(duì)于從原點(diǎn)出發(fā)任意向量a都有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量a坐標(biāo)，記作

向量坐標(biāo)等于原點(diǎn)到終點(diǎn)向量坐標(biāo)減去原點(diǎn)到起點(diǎn)向量坐標(biāo).

.

任意起點(diǎn)向量坐標(biāo)表達(dá)？

2第59頁

共線向量坐標(biāo)表達(dá)？

3對(duì)非零向量a、

b，設(shè)當(dāng)時(shí)，有

自我反思目標(biāo)檢測(cè)第60頁

學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)辦法

自我反思目標(biāo)檢測(cè)第61頁7.4平面向量?jī)?nèi)積◎教學(xué)目標(biāo)（（1）理解平面向量?jī)?nèi)積概念及其幾何意義；（2）理解平面向量?jī)?nèi)積計(jì)算公式.為利用向量?jī)?nèi)積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ)；（3）通過實(shí)例引出向量?jī)?nèi)積定義,培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)和歸納能力.第62頁創(chuàng)設(shè)情境愛好導(dǎo)入Fs圖7—21O如圖7－21所示，水平地面上有一輛車，某人用100N力，角方向拉小車，使小車前進(jìn)了100m．朝著與水平線成那么，這個(gè)人做了多少功？

做功等于力與在力方向上移動(dòng)距離乘積．力F是水平方向力W＝｜F｜c(diǎn)os30°·｜s｜＝100×·10＝500與垂直方向力和，垂直方向上沒有產(chǎn)生位移，沒有做功，水平方向上產(chǎn)生位移為s，即第63頁動(dòng)腦思考摸索新知W＝｜F｜c(diǎn)os30°·｜s｜＝100×·10＝500這里，力F與位移s都是向量，而功W是一種數(shù)量，它等于由兩個(gè)向量F，s模及它們夾角余弦乘積，W叫做向量F與向量s內(nèi)積,它是一種數(shù)量，又叫做數(shù)量積．第64頁BAOab如圖，設(shè)有兩個(gè)非零向量a，b，作由射線OA與OB所形成角叫做向量a與向量b夾角，記作<a，b>．兩個(gè)向量a，b模與它們夾角余弦之積叫做向量a與向量b內(nèi)積，記作a·b，即

a·b＝|a||b|cos<a，b>(7.10)由內(nèi)積定義可知a·0＝0,0·a＝0.動(dòng)腦思考摸索新知第65頁動(dòng)腦思考摸索新知由內(nèi)積定義能夠得到下面幾個(gè)主要成果：當(dāng)a＝b時(shí)，有<a，a>＝0，因此a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝cos<a,b>＝當(dāng)<a,b>＝0時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)<a,b>=時(shí)，a·b＝?|a||b|．a(chǎn)·b＝0ab.

對(duì)非零向量a，b，有第66頁動(dòng)腦思考摸索新知能夠驗(yàn)證，向量?jī)?nèi)積滿足下面運(yùn)算律：a·b＝b·a.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

a·(b·c)≠(a·b)

·c.

一般地，向量?jī)?nèi)積不滿足結(jié)合律，即第67頁鞏固知識(shí)典型例題例1已知|a|＝3,|b|＝2,<a，b>＝60°，求a·b．解a·b＝|a||b|cos<a，b>

＝3×2×cos60°＝3．第68頁鞏固知識(shí)典型例題例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．解cos<a,b>＝由于0≤<a,b>≤180°，因此<a,b>＝第69頁利用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1.已知|a|＝7,|b|＝4，a和b夾角為60°，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|.3.已知|a|＝2,|b|＝3,<a,b>＝30°，求(2a＋b)·b

．第70頁動(dòng)腦思考摸索新知設(shè)平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j＝0,又|i|＝|j|＝1,因此a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i?i＋x1y2i?j＋x2y1i?j＋y1y2j?j＝x1x2|j|2＋y1y2|j|2

＝x1x2＋y1y2.這就是說，兩個(gè)向量?jī)?nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積和，即

a·b＝x1x2＋y1y2

(7.11)設(shè)a＝(x,y)，則，即(7.12)第71頁動(dòng)腦思考摸索新知

cos<a,b>＝(7.13)利用公式(7.13)能夠方便地求出兩個(gè)向量夾角.由于a⊥ba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0．

因此