專題08計(jì)數(shù)原理及概率與統(tǒng)計(jì)

1.【2022年新高考1卷】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的

概率為（）

A.5B.?C.ID..

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【解析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有弓=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：04）.06）.@8）阜.6）.性向.（4均0P8）,共7利L

故所求概率P=±Z=?.故選：D.

213

2.【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不

站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【解析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,

有至種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位

置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5

名同學(xué)共有：31X2X2=24種不同的排列方式，故選：B

3.【2021年新高考1卷】有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回

的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件"第二

次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件"兩次取

出的球的數(shù)字之和是7”,則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷

【解析】p（甲）=：,p（乙）=!，p（丙）=2,p（?。?￡=!，，

6636366

P（甲丙）=owP（甲）P（丙），P（甲?。?—=P（甲）P（丁），

36

P（乙丙）=-i-wP（乙）尸（丙），P（丙?。?04尸（?。㏄（丙）,，故選：B.

36

【點(diǎn)睛】判斷事件AB是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷P（A）P（8）=P（AB）是否成立

4.【2021年新高考2卷】某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N0O,/）,下列結(jié)論中不正確

的是（）

A.。越小，該物理量在一次測(cè)量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.

【解析】對(duì)于A,d為數(shù)據(jù)的方差，所以b越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)

果落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正

確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于

9.99的概率相等，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在（9.9,10.0）的概率與落在（1021（）.3）的概率不同，所

以一次測(cè)量結(jié)果落在（9910.2）的概率與落在（1（）,10.3）的概率不同，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

5.【2020年新高考1卷（山東卷）】6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只

去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有

（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【分析】分別安排各場(chǎng)館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【解析】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有C：；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有點(diǎn)；最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館.

故不同的安排方法共有=6x10=60種.故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【2020年新高考1卷(山東卷)】某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜

歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游

泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【分析】記"該中學(xué)學(xué)生喜歡足球"為事件A,“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B,則"該中學(xué)

學(xué)生喜歡足球或游泳"為事件A+8,"該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳"為事件A.3,然后

根據(jù)積事件的概率公式P(A.8)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得結(jié)果.

【解析】記"該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A,"該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件8,則"該中學(xué)

學(xué)生喜歡足球或游泳"為事件A+8,"該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳"為事件A-3,

則P(A)=0.6,產(chǎn)(5)=0.82,尸(A+8)=0.96,

所以尸(A?8)=P(A)+P(B)-P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了積事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【2020年新高考2卷(海南卷)】要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選

擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有()

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，然后將2組學(xué)生安排到2個(gè)村即可.

【解析】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有C；C；=3種分法

第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有尺=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種，故選：C.

【點(diǎn)睛】解答本類問題時(shí)一般采取先組后排的策略.

8.【2021年新高考1卷】有一組樣本數(shù)據(jù)與，巧，…，x“，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)外,

力，…，y“，其中y=&+c(i=l,2,…,〃),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判斷正誤;

根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【解析】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且。工0,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；

B：若第一組中位數(shù)為七，則第二組的中位數(shù)為％=x,+c,顯然不相同，錯(cuò)誤；

C：O(y)=O(x)+D(c)=O(x),故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為與穌-尤.，則第二組的極差為

為”-%>>=(Xmax+。)一(/in+，)=Xn>ax一/in，故極差相同，正確；

故選：CD

9.【2021年新高考2卷】下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本4…,4的離散程度的是()

A.樣本為,々，…，怎的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本%,當(dāng)，…,土的中位數(shù)

C.樣本占,々，…，%的極差D.樣本內(nèi),々,…，毛的平均數(shù)

【答案】AC

【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定

正確選項(xiàng).

【解析】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選：AC.

10.【2020年新高考1卷(山東卷)】信息端是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有

可能的取值為1，2,…,”，且P(X=i)=4>0(i=1,2,…,”),￡0,=1,定義X的信息焙

<=1

W(X)=-^p,log2p/.()

r=l

A.若"=1,則H(X)=O

B.若n=2,則H(X)隨著h的增大而增大

C.若兒=-(/=1,2,??.,?)，則"(X)隨著n的增大而增大

n

D.若n=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為1,2,“，且尸(丫=/)=%+%”,+“/=1,2,…,加)，

則H(X)<H(Y)

【答案】AC

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，求得"(X),由此判斷出A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行

排除；對(duì)于C選項(xiàng)，計(jì)算出“(X),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，

計(jì)算出”(x),”(y),利用基本不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項(xiàng).

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若〃=1,則i=lp=l,

所以”(X)=-(lxlog/)=0,所以A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃=2,則i=l,2,p?=l-p],

所以H(X)=-[p「k>g2P[+(l-pJlog2(l-pj],

當(dāng)Pi=4時(shí)，W(X)=-|^41°824+Z-I°S24j，

當(dāng)Pi=:時(shí),"(X)=-，/og2；+：/og2()，

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，若p；=，(i=l,2,...,〃)，則H(X)=-1Llog」]x〃=-log」=log,〃，

則”(X)隨著〃的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃=2加，隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為1,2,…,，"，且P(Y=j)=pj+PEJ

2m2mj

(j=).//")=-2。，-唾2化=2“唾2一

i=\i=lPi

,1,1?1?1

=P\.10g2—+〃2.1°g2—+…+P2in-i'10g2-------+P2,?-10g2------.

PTPIP2,n-\Pim

"(y)=(PI+).l°g2―--+(P2+%").l°gz---------+???+(P,?+P,"+J.log?--------

+++

P\Pl,nPlP2,n-\P,?Pn,+X

,1,1,1,1

=Pi?log?-------+。2,log?---------+■-?+-log2---------+p2m-log,-------由于

P|+Pin,Pl+P2,?-lPl+Pln,-\Pl+Pin,

/、11,1,1

Pj>0(Z=1,2,---,2AH),所以一>---------,所以log?—>log：----------,

PiPi+P2m+1PiPi+P2m+IT

^WP,-log2—>P,-log2-——，所以H(X)>H(Y),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

PiPi+〃2切+17

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)新定義"信息烯"的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問題的能

力，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.

11.【2020年新高考2卷(海南卷)】我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)

產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加；

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

【答案】CD

【分析】注意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯(cuò)誤；注意考查第1天和第11天的復(fù)工復(fù)

產(chǎn)指數(shù)的差的大小，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)圖象，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的意義和增量的意義可以

判定CD正確.

【解析】由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)減少，

第7天到第8天復(fù)工指數(shù)減少，

第10天到第11復(fù)工指數(shù)減少，

第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯(cuò)誤；

由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差，

所以這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯(cuò)誤；

由圖可知，第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%,故C正確；

由圖可知，第9天至第"天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確；

故選：CD

【點(diǎn)睛】本題考查折線圖表示的函數(shù)的認(rèn)知與理解，考查理解能力，識(shí)圖能力，推理能力，

難點(diǎn)在于指數(shù)增量的理解與觀測(cè)，屬中檔題.

12.【2022年新高考1卷】(1一3。十尸”的展開式中/好的系數(shù)為(用

數(shù)字作答).

【答案】-28

【分析】(I-?)任可化為結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

【解析】因?yàn)?1一J)(r+y)8=(r+y)8-J(x+y)8.

所以(i一3)的展開式中含.y6的項(xiàng)為中/一3c優(yōu)一承^于，

(1-3(z+y>的展開式中/V的系數(shù)為一28.

故答案為：-28

13.[2022年新高考2卷】己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布M(Za2)，且P(2VXMZ5)=0.35，

則P(X>2.5)=____________.

【答案】0.141.

50

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【解析】因?yàn)?~沙(2。專，所以P0V2)=P(X>2)=O.5,

因此P0>2.S)=P(X>2)-P(2<X<25)=0-5-0-36=0.14.

故答案為：0.14.

14.【2022年新高考1卷】一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣

(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱

為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

⑴能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好"，B表示事件“選到的

人患有該疾病”.瑞|與磊的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指

標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

⑴證明:二篇霹

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P5(B)收耶)的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)

值.

Ww的0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】⑴答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)R=6；

【分析】(1)山所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出X3的值，將其與臨界值比較大小，山此確定是否有99%

的把握認(rèn)為患該疾病群體與未黃該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；⑵⑴根據(jù)定義結(jié)合條件概

率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)(i)結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R

【解析】⑴由已知長(zhǎng)1近工a:工父=24,

又P0C2N6.65)=0.01，24>6.635.

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

(2川)因?yàn)镽=烏型.理=衛(wèi).皿.幽.迪,

?八.與代中)NG皿PM

所加需照需黑

所加黑舞

間由已知P⑷捺=靜

_,__6Q___qn

又P0IS=前，PSl?)=奇，

所以人黑霖

15.【2022年新高考2卷】在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的

年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

⑴估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20.7。的概率；

⑶已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［4Q50)的人口占該地區(qū)總?cè)?/p>

口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［4QS0),求此人患這種疾病的概

率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確

至I」0.0001).

【答案】(1)4465歲；(2)0.80；(3)0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)4=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［3).70］｝,根據(jù)對(duì)立事件的概率公式

P5)=l—即可解出；(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【解析】⑴平均年齡￡=(5x0.001+15X0.002+25X0.012+3SX0.017+45X0.023

+55XO.(HD+65X0.012+75x0.006+85X0.0Q2)x10=44石5(歲).

(2)設(shè)4=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［3).70］｝,所以

P(^)=1-=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)X10=1-O.H=O.ffi.

⑶設(shè)"=｛任選一人年齡位于區(qū)間［4QS0）J,C=｛任選一人患這種疾病］,

則由條件概率公式可得

氣叩=o.Bfcxo.(iaxio0.001X0.3

p（qa）==0.0014275?0.0014.

IMfc-016-

16.【2021年新高考1卷】某學(xué)校組織"一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問題，每位參加

比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比

賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同

學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；8類問題中的每個(gè)問題

回答正確得80分，否則得。分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)

類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）B類.

【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即

可.（2）與（1）類似，找出先回答B(yǎng)類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【解析】（1）由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

p(X=0)=1-0.8=0.2；

P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32；

=100)=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

p0.20.320.48

（2）由（1）知，￡（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8問題，記y為小明的累計(jì)得分，

則y的所有可能取值為o,so,loo.

p（y=0）=1-0.6=0.4；

p（y=80）=0.6（l-0.8）=0.12；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以E(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

17.【2021年新高考2卷】一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微

生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代

繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),

P(X=i)=p,"=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,Pl=0.3,P2=0.2,03=0.1,求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

Po+AX+PzV+Psx'x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)2X)41時(shí)，P=\,當(dāng)E(X)>1時(shí)，

P<1;

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

【答案】(1)1;(2)見解析；(3)見解析.

【分析】(1)利用公式計(jì)算可得E(X).

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/。)=0及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.

【解析】(1)E(X)=0x0.44-1x0.3+2x0.2+3x0.1=1,

(2)設(shè)/(犬)=/?3丁+0*2+(月一1)工+20，

因?yàn)镻3+P2+P1+%=1，故/(3)=。3/+~(P1+Po+A)x+M)>

若E(X)41,則巧+2凸+3外41,故P?+2p34Po.

2

,(x)=3p3x+2p2x-(p2+p0+p3),

因?yàn)閒'(0)=-(P2+A)+P3)<0，/(1)=8+2。3一島40，

故尸(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)占，三，且王

且工€(-00,%)。(工2，+00)時(shí)，r(x)>0；xe(0蒼)時(shí)，r(x)<。；

故/(x)在(ro,%),(々,+<?)上為增函數(shù)，在(%,當(dāng))上為減函數(shù)，

若々=1，因?yàn)?（X）在（w，*8）為增函數(shù)且"1）=0，

而當(dāng)x€（o,電）時(shí),因?yàn)椤癤）在（芯,電）上為減函數(shù)，

故/（力>/（9）=/（1）=0,

23

故1為％+PtX+p2x+p3x=X的一個(gè)最小正實(shí)根，

若%>1,因?yàn)?⑴=0且在（O，w）上為減函數(shù)，

故1為%+。/+02.+03工3=%的一個(gè)最小正實(shí)根,

綜上，若E（x）41,則p=l.

若E（X）>1,則R+2P2+3凸>1,故P2+2P3>PO.

此時(shí)/'（0）=—（2+A）+。3）<0，/（I）=+2。3->。，

故尸（X）有兩個(gè)不同零點(diǎn)三,匕，且x,<0<%<1,

且xe（-oo，w）U（X4，+oo）時(shí)，r（x）>0；xe（w，X4）時(shí)，r（x）<0；

故/（x）在（ro，W）,（%+°°）上為增函數(shù)，在（電用）上為減函數(shù)，

而"1）=0,故/&）<0,

X/（O）=po>O,故在（0,々）存在一個(gè)零點(diǎn)P，且"1.

所以。為%+?？?02尤2+03/=*的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)P<1,

故當(dāng)E（X）>1時(shí)，p<l.

（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后

代的平均數(shù)超過1,則若干代后被滅絕的概率小于1.

18.【2020年新高考1卷（山東卷）】為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某

市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO,濃度（單位：%/mD,得下

表：

[0,50](50,150](150,475]

PM25

[0,35]32184

(35〃司6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率:

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

電7習(xí)

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S0?

濃度有關(guān)？

附：——幽也——,

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K[>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)0.64；(2)答案見解析；(3)有.

【分析】(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；(2)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可

得2x2列聯(lián)表；(3)計(jì)算出K?，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【解析】(1)由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不

超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天,

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的概率為

^=064；

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為:

so

2[0,150](150,475]合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

n[ad-bc~y100x(64x10-16x10)2=毛"?7.4844>6.635,

K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO。濃度有關(guān).

【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬

于中檔題.

專題08計(jì)數(shù)原理及概率與統(tǒng)計(jì)

1.【2022年新高考1卷】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的

概率為（）

A-；B.：C.?D.?

2.【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不

站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

3.【2021年新高考1卷】有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回

的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件"第二

次取出的球的數(shù)字是2",丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是8",丁表示事件"兩次取

出的球的數(shù)字之和是7”,則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

4.【2021年新高考2卷】某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布下列結(jié)論中不正確

的是（）

A.b越小，該物理量在一次測(cè)量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中落在（9910.2）與落在（10,10.3）的概率相等

5.【2020年新高考1卷（山東卷）】6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只

去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有

（）

A.120種B.90利?

C.60種D.30種

6.【2020年新高考1卷（山東卷）】某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜

歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游

泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

7.【2020年新高考2卷（海南卷）】要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選

擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

8.【2021年新高考1卷】有一組樣本數(shù)據(jù)玉，巧，...，4,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)X，

力，??.，y,，其中M=%+c(i=l，2,…/),C為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

9.【2021年新高考2卷】下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本對(duì)馬,…,x”的離散程度的是()

A.樣本％的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本玉,々，…,X”的中位數(shù)

C.樣本%,%，…，%的極差D.樣本…,*”的平均數(shù)

10.【2020年新高考1卷(山東卷)】信息嫡是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有

可能的取值為1,2,…,〃，且尸(X=/)=p；>0?=1,2,丹=1,定義X的信息焙

1=1

"(X)=-fp,log2A.()

f=l

A.若n=l,則H(X)=0

B.若n=2,則H(X)隨著Pi的增大而增大

C.若p,」a=l,2,…M,則H(X)隨著n的增大而增大

n

D.若n=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為1,2,，且％，=/)=p,+%>*(/=12…,M,

則H(X)<H(Y)

11.【2020年新高考2卷(海南卷)】我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)

產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加；

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

12.【2022年新高考1卷】（1一尸的展開式中1/的系數(shù)為（用

數(shù)字作答）.

13.[2022年新高考2卷】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NQo2），且4Z5）=0.35，

則P[X>2.5）=_______________.

14.【2022年新高考1卷】一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣

（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在己患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱

為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

⑴能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件"選到的

人患有該疾病警與僵的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指

標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

(i)證明:

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出改那）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)

值.

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

15.【2022年新高考2卷】在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的

年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

⑴估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間12),70)的概率；

⑶已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［4Q班的人口占該地區(qū)總?cè)?/p>

口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［4QS0)，求此人患這種疾病的概

率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確

至Uo.oooi).

16.【2021年新高考1卷】某學(xué)校組織“一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有A,8兩類問題，每位參加

比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比

賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同

學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題

回答正確得80分，否則得。分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答8

類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

17.【2021年新高考2卷】一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微

生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代該微生物每代

繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，

P(X=i)=p,(i=0,l,2,3).

(1)已知Po=°-4,Pi=。-3,02=。-2,心=°」，求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

Po+PiX+PzV+Psx'x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)2X)41時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1時(shí)，

P<1;

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

18.【2020年新高考1卷(山東卷)】為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某

市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了1()0天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：ug/n?),得下

表：

[0,50](50,150](150,475]

PM25

[0,3習(xí)32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率:

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

[0,7習(xí)

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?

濃度有關(guān)？

附：心——幽處——，

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

三年專題08平面解析幾何(解答題)

1.【2022年全國(guó)甲卷】設(shè)拋物線《爐二與工也〉。)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)過尸的直線交C

于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MO垂直于x軸時(shí)，|UF|=3.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線1TO.M)與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線師.犯的傾斜角分別為當(dāng)

取得最大值時(shí)，求直線4B的方程.

［答案】(1/=4x：

Q)AB：X=6+4

【解析】

【分析】

(1)由拋物線的定義可得|Mq=p+；,即可得解；

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線JW：x=mv+l,由韋達(dá)定理及斜率公式可得&"=2比11r再由差

角的正切公式及基本不等式可得上.=咚，設(shè)直線硬：￡=內(nèi)+11，結(jié)合韋達(dá)定理可解.

(1)

拋物線的準(zhǔn)線為*=-；,當(dāng)M與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p,

此時(shí)|昕|=p+，=3,所以p=2，

所以拋物線C的方程為，=4x：

（2）

設(shè)風(fēng)4班）/營(yíng)a）次。如）夙今九）直線呷:==mV+1

,x=my+l_,.

由｛J可r得ZFy2-4叫一4=0，A>OpyiVa=^4?

V=4r

由斜率公式可得訴，3=手手=訴,

AAA-A

直線1?：H=胃?y+2,代入拋物線方程可得尸-哼義了一8=0,

4>Ory1ya=-所以也|=2於，同理可得h=2%,

所以左M=￡=E

又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為",

所以史加=ta叩=容=中,

若要使。一《最大，(ft"),

則tan(a-仍=百=^=百?=r^<痘=彳，

設(shè)&?=2瓦1a=2i>0.

當(dāng)且僅當(dāng)：=2★即七=?時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)《一?最大時(shí)，幻w=學(xué)，設(shè)直線AW；ir=+

代入拋物線方程可得V-4^y-4n=0

&>Ory3y4=^4?=――16>所以n=4，

所以直線4*X=岳+4?

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)問

的關(guān)系.

2.【2022年全國(guó)乙卷】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過

期）.一2"（|.-1）兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P（L—2）的直線交E于M，N兩點(diǎn),過M且平行于x軸的直線與線段交于點(diǎn)7,

點(diǎn)”滿足福廣=加.證明：直線HN過定點(diǎn).

【答案】（1"=1

4W

（2）tft-2）

【解析】

【分析】

（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；

（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.

（1）

解：設(shè)橢圓E的方程為mx3+皿/=1，過4（0.-信1）,

f4n—1I1

則上一^.>解得m=-，n=

l1m+n=1a?

所以橢圓E的方程為：t+4=L

（2）

所以/!B：y+2=江，

①若過點(diǎn)PtL—2）的直線斜率不存在，直線x=L代入J號(hào)=1，

可得如L孚），N（L-當(dāng)，代入A8方程y=：H—2,可得

T（語+3,半），由后=用得到田（國(guó)居+5.孚）-求得"N方程：

y=（2—孚江一2過點(diǎn)［口一2）

②若過點(diǎn)P［L—2）的直線斜率存在，設(shè)上工一了一［無+2）=0.?。?%），［3,八.

fkr-y-(t+2)=0

聯(lián)立］/工+45X2-6k(2+k)x+3kCfc+4)=0,

\----I-----=1

，.-a(?k)

力+%=

可得，

了3744

且與%+巧71=正京（.）

y=力

扛_2?可得n季+3?力）題加+6-4加

{y=

可求得此時(shí)HMy一力=^一g巧），

將代入整理得我斯+xa)—fify,+y,)+XiYa+rayi—3yiya-12=0，

將［?)代入，ft?k+12k2+96+4?-24k-48-4K+24k2-36k2-48=0.

顯然成立,

綜上，可得直線HN過定點(diǎn)［0,-2）.

【點(diǎn)睛】

求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：

①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

3.【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)在雙曲線一蕓=1（盤＞1）上，直線/交C于尸，

Q兩點(diǎn)，直線即4的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

（2）若tanz2駕=26，求△R4。的面積.

【答案】⑴一1;

⑵迫

Q

【解析】

【分析】

（1）由點(diǎn)41Z1）在雙曲線上可求出。，易知直線/的斜率存在，設(shè)t：y=^H+m,

P&,yJQ1%yJ再根據(jù)％+看”=0，即可解出/的斜率；

（2）根據(jù)直線械網(wǎng)的斜率之和為0可知直線通皿的傾斜角互補(bǔ)，再根據(jù)恒叱叫=2”