/2023年廣東省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：11圓一．選擇題（共12小題）1．（2022?深圳）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形 B．同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形2．（2022?深圳）已知三角形ABE為直角三角形，∠ABE＝90°，BC為圓O切線，C為切點(diǎn)，CA＝CD，則△ABC和△CDE面積之比為（）A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2?3．（2020?封開縣一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且DF=BC，連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，則∠A．60° B．55° C．50° D．45°4．（2022?臺(tái)山市校級(jí)一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．2?π2 B．1?π4 C．2?5．（2022?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B'OC'，點(diǎn)C'在OA上，則邊BC掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（）A．π3cm2C．(π3?6．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．（2022?云安區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在AD邊上，以E為圓心EA長(zhǎng)為半徑的⊙E與BC相切，交CD于點(diǎn)F，連接EF．若扇形EAF的面積為12π，則BC的長(zhǎng)是（）A．42 B．43 C．8 D．98．（2022?新興縣校級(jí)模擬）如圖，用一個(gè)半徑為10cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了36°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了（）A．3π2cm B．2πcm C．5π2cm D．39．（2022?蓬江區(qū)一模）同圓中，已知AB所對(duì)的圓心角是80°，則AB所對(duì)的圓周角度數(shù)（）A．40° B．80° C．100° D．120°10．（2022?濠江區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，OC＝2，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，連接BD，則BD的最大值為（）A．3 B．72 C．35211．（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，則⊙C的半徑為（）A．53 B．8 C．6 12．（2022?中山市三模）如圖，AB是⊙O的直徑，若AC＝2，∠D＝60°，則BC長(zhǎng)等于（）A．4 B．5 C．3 D．2二．填空題（共8小題）13．（2022?廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧DE的長(zhǎng)是．（結(jié)果保留π）14．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知拋物線y=?316（x﹣1）（x﹣9）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，⊙C的半徑為2，G為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，P為AG的中點(diǎn)，則DP的最小值為15．（2022?南海區(qū)校級(jí)四模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)部，以各邊為直徑畫四個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積是．16．（2022?臺(tái)山市校級(jí)一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，點(diǎn)D為△ABC的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O與BC相切，BD與⊙O相交于點(diǎn)E，那么AE的最大值為．17．（2022?韶關(guān)模擬）如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)E，∠D＝22.5°，AB＝8，則半徑OA的長(zhǎng)為．18．（2022?珠海校級(jí)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，以A為圓心，AD為半徑作圓交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，過(guò)F作CD的平行線，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，則陰影部分的面積為．19．（2022?蓬江區(qū)校級(jí)一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為．20．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點(diǎn)在⊙O上，若∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)為．三．解答題（共10小題）21．（2022?深圳）一個(gè)玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點(diǎn)為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長(zhǎng)度．（2）如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓O相切，H為切點(diǎn)，M為OB上一點(diǎn)，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH=34，求（3）如圖③，M是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點(diǎn)N，在M從O運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．22．（2022?廣東）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB=2，AD＝1，求CD23．（2022?南海區(qū)校級(jí)四模）如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，AD=BC連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過(guò)圓心O，延長(zhǎng)AB到E，使BE＝AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，連接（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB＝120°，求劣弧BD的長(zhǎng)；（2）求證：BF=12（3）設(shè)G是BD的中點(diǎn)，探索：在⊙O上是否存在點(diǎn)P（不同于點(diǎn)B），使得PG＝PF？并說(shuō)明理由．24．（2022?臺(tái)山市校級(jí)一模）點(diǎn)E為正方形ABCD的邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，直線AE與BD相交于點(diǎn)F，與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．（1）如圖①，若正方形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)DE＝x，△DEG的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系；（2）如圖②，求證：CF是△ECG的外接圓的切線；（3）如果把正方形ABCD換成是矩形或菱形，（2）的結(jié)論是否是否仍然成立？25．（2022?珠海校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線．以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于D點(diǎn)，連接CD，且tan∠D=2（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）求AEAC26．（2022?新興縣校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠BDC=12∠ABD，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）當(dāng)tan∠BAC=12，DC＝6時(shí)，求27．（2022?茂南區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA，垂足為點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CO與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）求證：AC為⊙O的切線；（2）若OC＝2，OD＝5，求線段AD的長(zhǎng)．28．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且圓心O在?ABCD的BC邊上，AD的中點(diǎn)E也在⊙O上．（1）求∠B的度數(shù)．（2）連接BD，求sin∠ABD的值．29．（2022?東莞市校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證，直線DE是⊙O的切線；（2）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作直線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F，（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）若⊙O的半徑為5，AD＝8，求BF的長(zhǎng)．30．（2022?濠江區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且AD＝DE，以AB為半徑作⊙A，交AD邊于點(diǎn)F，連接EF．（1）求證：DE是⊙A的切線；（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求tan∠FED．

2023年廣東省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)卷：11圓參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．（2022?深圳）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形 B．同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形【解答】解：A．對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，所以A選項(xiàng)說(shuō)法正確，故A選項(xiàng)不符合題意；B．同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)說(shuō)法正確，故B選項(xiàng)不符合題意；C．對(duì)角線相等的四邊形是不一定是矩形，所以C選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故C選項(xiàng)符合題意；D．對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)說(shuō)法正確，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．（2022?深圳）已知三角形ABE為直角三角形，∠ABE＝90°，BC為圓O切線，C為切點(diǎn)，CA＝CD，則△ABC和△CDE面積之比為（）A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2?【解答】解：如圖，連接OC，∵BC是⊙O的切線，OC為半徑，∴OC⊥BC，即∠OCB＝90°，∴∠COD+∠OBC＝90°，又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，∴∠ABC＝∠COD，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，∴∠A＝∠OCD，在△ABC和△COD中，∠A=∠OCD∠ABC=∠COD∴△ABC≌△COD（AAS），又∵EO＝DO，∴S△COD＝S△COE=12S△∴S△ABC=12S△即△ABC和△CDE面積之比為1：2，故選：B．3．（2020?封開縣一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且DF=BC，連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，則∠A．60° B．55° C．50° D．45°【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵DF=BC，∠∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故選：C．4．（2022?臺(tái)山市校級(jí)一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．2?π2 B．1?π4 C．2?【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAF＝45°，∵EF⊥AB，∴△AEF是等腰直角三角形，∵AB＝AE＝2，∴AF＝EF=2∴S陰＝S扇形ABE﹣S△AEF=45π×故選：D．5．（2022?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B'OC'，點(diǎn)C'在OA上，則邊BC掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（）A．π3cm2C．(π3?【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′=12∴B′C′=32（∴S扇形B′OB=120π×12360S扇形C′OC=120π×14360∴陰影部分面積＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π3?π故選：B．6．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：如圖，連接BD，∵AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故選：B．7．（2022?云安區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在AD邊上，以E為圓心EA長(zhǎng)為半徑的⊙E與BC相切，交CD于點(diǎn)F，連接EF．若扇形EAF的面積為12π，則BC的長(zhǎng)是（）A．42 B．43 C．8 D．9【解答】解：設(shè)∠AEF＝n°，∵以E為圓心EA長(zhǎng)為半徑的⊙E與BC相切，∴r＝6，由題意得：nπ62360=12∴∠AEF＝120°，∴∠FED＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠D＝90°，∴∠EFD＝30°，∴DE=12∴BC＝AD＝6+3＝9．故選：D．8．（2022?新興縣校級(jí)模擬）如圖，用一個(gè)半徑為10cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了36°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了（）A．3π2cm B．2πcm C．5π2cm D．3【解答】解：重物上升了36π×10180=2π（故選：B．9．（2022?蓬江區(qū)一模）同圓中，已知AB所對(duì)的圓心角是80°，則AB所對(duì)的圓周角度數(shù)（）A．40° B．80° C．100° D．120°【解答】解：AB所對(duì)的圓心角是80°，則AB所對(duì)的圓周角為：12故選：A．10．（2022?濠江區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，OC＝2，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，連接BD，則BD的最大值為（）A．3 B．72 C．352【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（4，﹣3），則點(diǎn)B是AE的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴BD是△AEC的中位線，∴BD=12∴當(dāng)AEC最大時(shí)，BD最大，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且OC＝2，∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)EC經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，EC最大．∵OB＝4，BE＝3，∴OE＝5，∴CE的最大值為5+2＝7，∴BD的最大值=7故選：B．11．（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，則⊙C的半徑為（）A．53 B．8 C．6 【解答】解：如圖，連結(jié)CD，∵CD是直角三角形斜邊上的中線，∴CD=12AB故選：D．12．（2022?中山市三模）如圖，AB是⊙O的直徑，若AC＝2，∠D＝60°，則BC長(zhǎng)等于（）A．4 B．5 C．3 D．2【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠CAB＝∠D＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC=AB2故選：D．二．填空題（共8小題）13．（2022?廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧DE的長(zhǎng)是2π．（結(jié)果保留π）【解答】解：連接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵圓O與邊AB相切于點(diǎn)D，∴∠ADO＝90°，∴∠A+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，∴劣弧DE的長(zhǎng)是90×π×4180=2故答案為：2π．14．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知拋物線y=?316（x﹣1）（x﹣9）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，⊙C的半徑為2，G為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，P為AG的中點(diǎn)，則DP的最小值為【解答】解：如圖，連接BG．∵AP＝PG，AD＝DB，∴DP=12∴當(dāng)BG的值最大時(shí)，DP的值最大，∵y=?316（x﹣1）（x﹣9）=?316（∴C（5，3），B（9，0），∴BC=4當(dāng)點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BG的值最大，最大值＝5+2＝7，∴DP的最大值為3.5，故答案為：3.5．15．（2022?南海區(qū)校級(jí)四模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)部，以各邊為直徑畫四個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積是4．【解答】解：如圖所示，S陰影＝S△AOB=14S正方形故答案為：4．16．（2022?臺(tái)山市校級(jí)一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，點(diǎn)D為△ABC的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O與BC相切，BD與⊙O相交于點(diǎn)E，那么AE的最大值為6+61【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的對(duì)稱軸交BC于F，連接EF，∵AB＝AC，∴△ABC的對(duì)稱軸DF⊥BC，∴⊙O切BC于F，∵DF是⊙O的直徑，∴∠DEF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣∠DEF＝90°，∴點(diǎn)E在以BF為直徑的圓上，∵AF⊥BC，AB＝AC＝13，∴BF＝CF＝12，∴AF=A∴AI=A∴AEmax＝AI+E′I＝6+6117．（2022?韶關(guān)模擬）如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)E，∠D＝22.5°，AB＝8，則半徑OA的長(zhǎng)為42．【解答】解：連接OB，∵∠D＝22.5°，∴∠BOC＝2∠D＝45°，∵直徑CD⊥AB，∴∠OEB＝90°，BE=12∴∠OBE＝90°﹣∠BOE＝45°，∴OE＝BE＝4，OB=2BE＝42∴OA＝OB＝42，故答案為：42．18．（2022?珠海校級(jí)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，以A為圓心，AD為半徑作圓交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，過(guò)F作CD的平行線，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，則陰影部分的面積為102?8【解答】解：連接AF，作FM⊥AB于M，∵F為DE的中點(diǎn)，∴∠DAF＝∠EAF＝45°，∴∠AFM＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAM＝∠AFM，∴AM＝FM，∵AF＝AD＝4，∴FM＝AM=22×∴BM＝5﹣22，∴S陰影＝BM?FM＝（5﹣22）?22=102故答案為：102?19．（2022?蓬江區(qū)校級(jí)一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為13?3【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠PCD+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴P點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為O，∵BC＝6，∴CO＝3，∵CD＝2，∴DO=13∴PD的最小值為13?故答案為：13?20．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點(diǎn)在⊙O上，若∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)為50°．【解答】解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝∠C＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°．故答案為：50°．三．解答題（共10小題）21．（2022?深圳）一個(gè)玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點(diǎn)為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長(zhǎng)度．（2）如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓O相切，H為切點(diǎn)，M為OB上一點(diǎn)，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH=34，求（3）如圖③，M是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點(diǎn)N，在M從O運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位線，∴點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OH于點(diǎn)D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH=34，∠∴NDOD設(shè)ND＝3x＝HD，則OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x=4∴ND=47×3=127，∴ON=O（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T，故點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為OA+AT∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴AT的長(zhǎng)=80×π×4180∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)＝4+16922．（2022?廣東）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB=2，AD＝1，求CD【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，證明過(guò)程如下：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴AB=∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC=2∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD=3即CD的長(zhǎng)為：3．23．（2022?南海區(qū)校級(jí)四模）如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，AD=BC連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過(guò)圓心O，延長(zhǎng)AB到E，使BE＝AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，連接（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB＝120°，求劣弧BD的長(zhǎng)；（2）求證：BF=12（3）設(shè)G是BD的中點(diǎn)，探索：在⊙O上是否存在點(diǎn)P（不同于點(diǎn)B），使得PG＝PF？并說(shuō)明理由．【解答】（1）解：連接OB，OD，∵∠DAB＝120°，∴BCD所對(duì)圓心角的度數(shù)為240°，∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，∵⊙O的半徑為3，∴劣弧BD的長(zhǎng)為：120180×π×3＝2（2）證明：連接AC，∵AB＝BE，∴點(diǎn)B為AE的中點(diǎn)，∵F是EC的中點(diǎn)，∴BF為△EAC的中位線，∴BF=12∵AD=∴AD+∴DAB=∴BD＝AC，∴BF=12（3）解：存在點(diǎn)P（不同于點(diǎn)B），使得PG＝PF，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線，與⊙O的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，∵BF為△EAC的中位線，∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE，∵AD=∴∠CAB＝∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP＝∠FBP，∵G為BD的中點(diǎn)，∴BG=12∴BG＝BF，在△PBG和△PBF中，BG=BF∠PBG=∠PBF∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG＝PF．24．（2022?臺(tái)山市校級(jí)一模）點(diǎn)E為正方形ABCD的邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，直線AE與BD相交于點(diǎn)F，與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．（1）如圖①，若正方形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)DE＝x，△DEG的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系；（2）如圖②，求證：CF是△ECG的外接圓的切線；（3）如果把正方形ABCD換成是矩形或菱形，（2）的結(jié)論是否是否仍然成立？【解答】（1）解：如圖，延長(zhǎng)AD，過(guò)G作RG⊥AD交AD延長(zhǎng)線于R，由題意可知，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，∴AD＝RG＝2，∴S△ADG=12?AD?RGS△ADE=12?AD?DE＝∴S△DEG＝S△ADG﹣S△ADE＝2﹣x，即y＝2﹣x；（2）證明：如圖，取EG中點(diǎn)O，連接OC，∵∠ECG＝90°，∴EG是△ECG外接圓的直徑，O為圓心，在正方形ABCD中，BD是對(duì)角線，∴∠ADF＝∠CDF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF＝∠DCF，∵AD∥CG，∴∠DAF＝∠OGC，在圓O中，OC＝OG，∴∠OCG＝∠OGC，∴∠OCG＝∠DCF，∵∠OCG+∠OCE＝90°，∴∠DCF+∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥CF，∴CF是△ECG的外接圓的切線；（3）解：當(dāng)正方形ABCD換成矩形ABCD時(shí)，由（2）可知，∠OCG＝∠OGC＝∠DAF，但是△ADF與△CDF不全等，∴∠DAF≠∠DCF，∴∠OCG≠∠DCF，∴∠OCG+∠OCE＝90°，∠DCF+∠OCE≠90°，∴CF不是△ECG的外接圓的切線；當(dāng)正方形ABCD換成菱形ABCD時(shí)，在菱形ABCD中，BD是對(duì)角線，∴∠ADF＝∠CDF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF＝∠DCF，∵AD∥CG，∴∠DAF＝∠G，∴∠DCF＝∠G，在圓O中，連接CO并延長(zhǎng)交圓O于H，∵CE＝CE，∴∠G＝∠H＝∠DCF，∵CH是直徑，∴∠CEH＝90°，∴∠ECH+∠H＝90°，∴∠DCF+∠ECH＝90°，即OC⊥CF，∴CF是△ECG的外接圓的切線．25．（2022?珠海校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線．以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于D點(diǎn)，連接CD，且tan∠D=2（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）求AEAC【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于F，∵AO是△ABC的角平分線，∠ACB＝90°，OF⊥AB，∴OF＝OC，∴AB是⊙O的切線；（2）解：連接CE，∵DE為⊙O的直徑，∴∠DCE＝90°，∴∠D+∠DEC＝90°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠ACE+∠OCE＝90°，∴∠ACE＝∠D，∵∠CAE＝∠DAC，∴△CAE∽△DAC，∴AEAC∵tan∠D=CE∴AEAC26．（2022?新興縣校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠BDC=12∠ABD，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）當(dāng)tan∠BAC=12，DC＝6時(shí)，求【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵BD是⊙O的直徑，∴BA⊥AD，∵AD∥EC，∴CE⊥AE，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠BDC，∵∠BDC=12∠∴∠BOC＝∠ABD，∴OC∥AE，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：∵tan∠BAC=12，∠BDC＝∠∴tan∠BDC=BC∵CD＝6，∴BC＝3，∵CE是⊙O的切線，∴∠BCE＝∠BAC，∴BEEC=12，即∵BE2+EC2＝BC2，∴BE2+（2BE）2＝32，∴BE=327．（2022?茂南區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA，垂足為點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CO與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）求證：AC為⊙O的切線；（2）若OC＝2，OD＝5，求線段AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OB，則OC＝OB，如圖，∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分線，∴AC＝AB．在△CAO和△BAO中，AO=AOAC=AB∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥半徑OC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD=O設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2解得x=2∴AC=2∴AD＝AB+BD＝AC+BD=228．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，⊙O經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且圓心O在?ABCD的BC邊上，AD的中點(diǎn)E也在⊙O上．（1）求∠B的度數(shù)．（2）連接BD，求sin∠ABD的值．【解答】解：（1）連接OA，OE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE=12∵OB=12∴AE＝