小題專題練(四)立體幾何一、選擇題1．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是直線且l?α，則“α∥β”是“l(fā)∥β”的()A．充分而不必要條件B．充要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如圖)，若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()A.eq\f(9π,2) B.eq\f(7π,2)C.eq\f(5π,2) D.eq\f(3π,2)3．如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，點(diǎn)M在EF上且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1，1，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))4．(2019·貴陽(yáng)模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下面四個(gè)命題：①若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；②若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；③若m∥α，n?α，則m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，則m∥n.其中正確命題的序號(hào)是()A．①④ B．①②C．②③④ D．④5．已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝eq\r(3)，AD＝1，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(2),6) D.eq\f(\r(3),6)6．三棱錐A-BCD中，AB，BC，CD兩兩垂直，被稱為“三節(jié)棍”．由該棱錐所有相鄰的兩個(gè)面組成的二面角中，直二面角共有()A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)7．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形，AB⊥AC，點(diǎn)M，N分別是邊AB1，A1C上的動(dòng)點(diǎn)，若直線MN∥平面BCC1B1，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q的軌跡為()A．雙曲線的一支(一部分)B．圓弧(一部分)C．線段(去掉一個(gè)端點(diǎn))D．拋物線的一部分8．《九章算術(shù)·商功》：“今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五盡……”，所謂“塹堵”，就是兩底面為直角三角形的棱柱，如圖所示的幾何體是一個(gè)“塹堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B，C，M的平面把該“塹堵”分為兩個(gè)幾何體，其中一個(gè)為三棱臺(tái)，則該三棱臺(tái)的表面積為()A．40B．50C．25＋15eq\r(2)＋3eq\r(29)D．30＋20eq\r(2)9．如圖，已知三棱錐P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB＝2AC，若三棱錐P-ABC的體積為eq\f(9\r(3),16)，則球O的表面積為()A．9π B.eq\f(32π,3)C．16π D.eq\f(9π,2)10．(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝eq\r(3)，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，CC1的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線D1P與平面EFG沒(méi)有公共點(diǎn)，則△PBB1面積的最小值為()A.eq\f(\r(3),2) B．1C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(1,2)11．(多選)已知m，n是不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是()A．若m?α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α∩β＝n，m∥n，則m∥α且m∥βD．若m⊥α，m⊥β，則α∥β12．(多選)如圖，AC＝2R為圓O的直徑，∠PCA＝45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的點(diǎn)，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，則下列選項(xiàng)正確的是()A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC13．(多選)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱的長(zhǎng)度均相等，D為AA1的中點(diǎn)，M，N分別是線段BB1和線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足BM＝C1N，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是()A．在△DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段B．平面DMN⊥平面BCC1B1C．三棱錐A1-DMN的體積為定值D．△DMN可能為直角三角形二、填空題14．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)一個(gè)正四面體的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)，則在該正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余弦值為_(kāi)_______．15．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與圓柱的體積的比值為_(kāi)_______．16．一個(gè)密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長(zhǎng)為2，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體容器，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為_(kāi)___________．17．(2019·貴州遵義第一次聯(lián)考改編)已知三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，且SA＝6，AB＝4，BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝30°，則該三棱錐的體積為_(kāi)_______，其外接球的表面積為_(kāi)_______．小題專題練(四)立體幾何1．解析：選A.由兩平面平行的性質(zhì)定理可知充分性滿足，但必要性不滿足．2.解析：選D.依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，所以O(shè)A＝eq\r(3)，OB＝1，所以旋轉(zhuǎn)體的體積為eq\f(1,3)π·(eq\r(3))2·(OC－OB)＝eq\f(3π,2).3．解析：選C.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，設(shè)ME＝x，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x，\f(\r(2),2)x，1))，因?yàn)锳(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，D(eq\r(2)，0，0)，E(0，0，1)，B(0，eq\r(2)，0)，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，－1)，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－1)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x－\r(2)，\f(\r(2),2)x－\r(2)，1)).設(shè)平面BDE的法向量n＝(a，b，c)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(ED,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EB,\s\up6(→))＝0，))得a＝b＝eq\f(\r(2),2)c.故可取平面BDE的一個(gè)法向量n＝(1，1，eq\r(2))．因?yàn)閚·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，所以x＝1，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).4．解析：選D.對(duì)于①，同垂直于一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于②，在兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)的兩條直線可能互相平行，可能相交，也可能異面，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，直線m與n可能異面，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由面面平行的性質(zhì)定理知命題④正確．故正確命題的序號(hào)是④，選D.5．解析：選A.如圖，連接A1D，A1C1，由題易知B1C∥A1D，所以∠C1DA1是異面直線B1C與C1D所成的角，又AA1＝AB＝eq\r(3)，AD＝1，所以A1D＝2，DC1＝eq\r(6)，A1C1＝2，由余弦定理，得cos∠C1DA1＝eq\f(C1D2＋A1D2－A1Ceq\o\al(2,1),2×C1D×A1D)＝eq\f(\r(6),4)，故選A.6．解析：選B.由AB⊥平面BCD，且AB?平面ABD，AB?平面ABC，得平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又CD⊥平面ABC，CD?平面ACD，故平面ACD⊥平面ABC，所以A-BD-C，A-BC-D，D-AC-B都是直二面角.故選B.7.解析：選C.如圖，分別取AA1，B1C的中點(diǎn)E，F(xiàn)，任意作一個(gè)與平面BCC1B1平行的平面α與AB1，A1C分別交于M，N，則MN∥平面BCC1B1.由題意知△ABC為等腰直角三角形，AB⊥AC，則側(cè)面AA1B1B與側(cè)面AA1C1C是兩個(gè)全等的矩形，且這兩個(gè)側(cè)面關(guān)于過(guò)棱AA1與平面BCC1B1垂直的平面是對(duì)稱的，因此EF必過(guò)MN的中點(diǎn)Q，故點(diǎn)Q的軌跡為線段EF，但需去掉端點(diǎn)F，故選C.8．解析：選C.如圖所示，記A1B1的中點(diǎn)為N，連接MN，則MN∥BC，所以過(guò)點(diǎn)B，C，M的平面為平面BNMC，三棱臺(tái)為A1MN-ACB，所以其表面積S＝eq\f(1,2)×4×4＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×(4eq\r(2)＋2eq\r(2))×5＋eq\f(1,2)×(4＋2)×5＋eq\f(1,2)×(4＋2)×eq\r(29)＝25＋15eq\r(2)＋3eq\r(29).9．解析：選A.由于三棱錐P-ABC的外接球的球心O在AB上，故AB為其外接球的一條直徑，因此∠ACB＝90°.設(shè)球O的半徑為r，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝2r，AC＝r，BC＝eq\r(3)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)r×eq\r(3)r＝eq\f(\r(3),2)r2.由于P為球O上一點(diǎn)，故PO＝r，又PO⊥平面ABC，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)r·eq\f(\r(3),2)r2＝eq\f(\r(3),6)r3＝eq\f(9\r(3),16)，解得r＝eq\f(3,2)，所以球O的表面積為4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9π，故選A.10．解析：選C.記△PBB1的面積為S.因?yàn)镻在底面ABCD上，所以PB⊥BB1，即△PBB1為直角三角形，又BB1＝DD1＝1，所以S＝eq\f(1,2)×BB1×PB＝eq\f(1,2)PB，當(dāng)線段PB的長(zhǎng)最小時(shí)，S取得最小值．因?yàn)镈1P與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，所以D1P∥平面EFG.如圖①，連接AD1，D1C，AC，易證GF∥AD1，EF∥AC，又GF∩EF＝F，AD1∩AC＝A，所以平面AD1C∥平面EFG，所以D1P?平面AD1C，所以點(diǎn)P一定在線段AC上運(yùn)動(dòng)．如圖②，當(dāng)PB⊥AC時(shí)，線段PB的長(zhǎng)最小，此時(shí)PB＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(\r(3),2)，故(S△PBB1)min＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，選C.11．解析：選ABC.若m?α，n∥α，則m與n可能平行或異面，故A錯(cuò)誤；若m∥α，m∥β，則α與β可能相交或平行，故B錯(cuò)誤；若α∩β＝n，m∥n，則m可能在平面α或β內(nèi)，故C錯(cuò)誤；若m⊥α，m⊥β，根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故α∥β，故D正確．12．解析：選ACD.因?yàn)镻A⊥平面ABC，PA?平面PAC，所以平面ABC⊥平面PAC，故D正確；因?yàn)锽為圓周上不與A，C重合的點(diǎn)，AC為直徑，所以BC⊥AB，因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA，又AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，故C正確；因?yàn)锳B⊥BC，BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥AN，又因?yàn)锳N⊥PB，PB∩BC＝B，所以AN⊥平面PBC，又AN?平面ANS，所以平面ANS⊥平面PBC，故A正確．故選ACD.13．解析：選ABC.用平行于平面ABC的平面截平面DMN，則交線平行于平面ABC，故A正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足BM＝C1N，則線段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△A1DM的面積不變，點(diǎn)N到平面A1DM的距離不變，所以三棱錐N-A1DM的體積不變，即三棱錐A1-DMN的體積為定值，故C正確；若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，易證DM＝DN，所以△DMN為等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2DO.設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則DO＝eq\r(3)，MN＝2eq\r(3).因?yàn)镸N的最大值為BC1，BC1＝2eq\r(2)，所以MN不可能為2eq\r(3)，所以△DMN不可能為直角三角形，故D錯(cuò)誤．故選ABC.14.解析：該正四面體如圖所示，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，EH，則GH∥AB，所以∠HGE為直線EG與直線BC所成的角．設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為2，則HE＝EG＝eq\r(3)，GH＝1.在△HEG中，由余弦定理，得cos∠HGE＝eq\f(HG2＋EG2－HE2,2HG·EG)＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)15.解析：如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側(cè)面積為S＝2πr×2eq\r(1－r2)＝4πreq\r(1－r2)≤4π×eq\f(r2＋（1－r2）,2)＝2π(當(dāng)且僅當(dāng)r2＝1－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào))．所以當(dāng)r＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，eq\f(V球,V圓柱)＝eq\f(\f(4π,3)×13,π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)×\r(2))＝eq\f(4\r(2),3).答案：eq\f(4\r(2),3)16．解析：當(dāng)液面的形狀為三角形時(shí)，最大三角形即與正方