第六章定積分應用定積分元素法定積分在幾何學上應用定積分在物理學上應用第1頁第1頁定積分幾何應用平面圖形面積體積平面曲線弧長Ｏxy第三節(jié)定積分在物理學上應用第2頁第2頁定積分物理應用之一變力沿直線作功問題從物理學知道，若物體在作直線運動過程中受常力作用從a移至b（力方向與物體運動方向一致），力對物體所作功為問題提出：ab若為變力，力對物體所作功W=？第3頁第3頁解:在上述移動過程中，電場例1帶電量為q0與q1正電荷分別放在空間兩點，求當q1沿a與b連線從a移到b時電場力所作功。如圖建立坐標系：aborq0q1對q1作用力是改變。(i)取r為積分變量，則(ii)相應于[a,b]上任一小區(qū)間[r,r+dr]功元素(iii)所求功第4頁第4頁解:等溫條件下，壓強p與體積V乘積為常數(shù)，即

pV=k

而F=pS例2在底面積為S圓柱形容器中盛有一定量氣體。在等溫條件下，由于氣體膨脹，把容器中一個活塞（面積為S）從點a推移至b，計算在移動過程中氣體壓力所作功。如圖建立坐標系，活塞位置可用坐標x表示。ab注意到氣體膨脹過程中V=V(x)即F=F(x),故采用元素法。(i)取x為積分變量，則(ii)相應于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]功元素(iii)所求功oxxx+dx第5頁第5頁解:如圖選取x軸。(i)取x為積分變量，則(ii)相應于[0,5]上任一小區(qū)間[x,x+dx]一薄層水重力為(iii)所求功例3一圓柱形儲水桶高5米，底圓半徑3米，桶內盛滿了水。問把桶內水所有吸出需作多少功？（水比重為）這薄層水吸出桶外需作之功近似為x3m5moxx+dx第6頁第6頁解:如圖建立坐標系。(i)取x為積分變量，則(iii)所求功(ii)相應于小區(qū)間[x,x+dx]，相應薄片由A升至B在水中行程為r+x,在水上行程為2r-(r+x)=r-x。思考練習

半徑為r球沉入水中，球上部與水面相切，球比重與水相同。欲將球從水中取出，需作多少功？（水比重為

）

由于球比重與水相同，薄片所受浮力與重力合力為零，不作功，由水面再上升到B時需作功，即功元素yxorAB2r第7頁第7頁定積分物理應用之二水壓力從物理學知道，在水深為h處壓強為問題提出：若平板鉛直放置在水中，平板一側所受水壓力P=？p=

h（

為水比重）。xhA因此，一面積為A平板水平放置在水深為h處時，其一側所受水壓力為第8頁第8頁定積分元素法問題處理辦法：設平板鉛直位于液體中形狀如圖。距離液面x、高為dx、寬為f(x)矩形平板所受壓力近似值，即壓力元素為以液面為y軸，x軸鉛直向下。xyoaby=f(x)所求壓力xx+dx（為液體比重）第9頁第9頁解:依題意，如圖建立坐標系。則端面周界方程為：(i)取x為積分變量，則(iii)所求壓力(ii)相應于[0,R]上任一小區(qū)間[x,x+dx]窄條上各點壓強例4

一個橫放著圓柱形水桶，桶內盛有半桶水（如圖1）。設桶底半徑為R，水比重為，計算桶一個端面上所受壓力。

xx+dxxyoR，窄條面積近似于，即壓力元素為第10頁第10頁解:如圖建立坐標系,則腰OB方程為：(i)取x為積分變量，則(iii)所求壓力(ii)相應于[0,6]上任一小區(qū)間[x,x+dx]

窄條上各點壓強例5

一個底為8cm，高為6cm等腰三角形片，鉛直地淹沒在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面3cm，試求它每面所受壓力（水比重為）。

窄條面積壓力元素xyoAB(6,4)xx+dx第11頁第11頁解:如圖建立坐標系。(i)取x為積分變量，則(iii)所求壓力(ii)相應于小區(qū)間[x,x+dx]，相應薄板寬為思考練習邊長為a和b矩形薄板，與液面成

角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深h處，設a>b，液體比重為

，試求薄板每面所受壓力。

，窄條面積為壓力元素xyo

ahdx第12頁第12頁定積分物理應用之三引力從物理學知道，質量分別為m1、m2，相距為r兩質點間引力大小為問題提出：其中G為引力系數(shù)，引力方向沿著兩質點連線。oxrm1m2如何計算一根細棒對一個質點引力F=？第13頁第13頁解:例6設有一長度為l、線密度為

均勻細棒，在其中垂線上距棒a單位處有一質量為m質點M。試計算該棒對質點M引力。如圖建立坐標系：(i)取y為積分變量，則(ii)相應于(iii)引力oxMy上任一小區(qū)間[y,y+dy]引力元素yy+dyra第14頁第14頁解:練