習(xí)題3，該軸平行于3-1半徑為a的均勻極化介質(zhì)球以它的一條直徑為軸勻速旋轉(zhuǎn)，角速度球的極化強(qiáng)度P,求：，該軸平行于由于旋轉(zhuǎn)形成的面電流密度分布；通過球面上=0的半圓周也即球的一條“經(jīng)線”的總電流；)的電流分別是通過這條“經(jīng)線”的上半段( 0ww/2)和下半段(/2W<)的電流分別是多少？解：由于介質(zhì)球均勻極化，極化強(qiáng)度為常矢量，可設(shè)Pa解：由于介質(zhì)球均勻極化，極化強(qiáng)度為常矢量，可設(shè)PazP。介質(zhì)球表面的極化面電荷密度為ppsppsP?nazP?arPCOS球面上任一點(diǎn)的線速度為vwvwrazaraaasin旋轉(zhuǎn)時(shí)介質(zhì)球表面的極化電荷形成面電流，其密度為(2)通過球面上JS PSV aasinPcos-Pasin22(3(2)通過球面上JS PSV aasinPcos-Pasin22(3)通過上半段(0w0的半圓周的總電流為ad2的電流為7t0Js?aw/27tsin2d0-P27t-P27ta22sin2d0丄Pa22通過下半段(/2通過下半段(/2ww)的電流為12nPaQn2d223-2如題3.23-2如題3.2圖所示的平行板電容器中充滿線形介質(zhì),是常數(shù),axb(a、b為常數(shù))。若已知電容器中恒定漏電流為Jx,求電容器中的電荷密度題3-2圖解：由導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系可知，兩極板之間的電場強(qiáng)度為E蟲x于是可得電位移矢量ax(axb)Jx電容器中的電荷密度為p?DaJx3-3內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為a和b的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層電容率分別為 i和2、電導(dǎo)率分別為 1和2的介質(zhì)，介質(zhì)分界面半徑為 C。當(dāng)外加電壓為U時(shí)，求兩種介質(zhì)中的電場及分界面上的自由電荷密度。解：由同軸電纜的軸對稱特點(diǎn)可知，電位、電場強(qiáng)度和電流密度僅是半徑的函數(shù)，電流密度和電場強(qiáng)度沿半徑a方向。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度的漏電流為I，由于在媒質(zhì)分界面上電流連續(xù)，因此可寫出JiiEi,J22E22n2n于是可得EiIE2 1—2n12n2內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為cbI cI bUaEidcE2dInInac2n1a2n2c解得I2nu1,c1.bInIn1a2c最后得出兩種媒質(zhì)中的電場強(qiáng)度分別為E1 a(ac)1c1bInIn 11a2cuE2a(cb)1,c1,bInIn 2ia2c兩種媒質(zhì)分界面上的自由電荷密度為S2ES2E2(C) 1E1(C)丄lnC丄lnbc3-4內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為a和b的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體之間以過軸線的平面為分界面，一半填充電容率為1、電導(dǎo)率為1的媒質(zhì)，一半填充電容率為2、電導(dǎo)率為2的媒質(zhì)，求該電纜單位長度的電容和漏電導(dǎo)以及單位長度儲存的電能和損耗功率。解：由該同軸電纜的對稱特點(diǎn)可知，電位、電場強(qiáng)度和電流密度僅是半徑 的函數(shù)，電流密度和電場強(qiáng)度沿半徑a方向。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度的漏電流為I，由于在媒質(zhì)分界面上電場處于切向，應(yīng)滿足切向連續(xù)，因此有E1E2E。由可得內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為單位長度的漏電導(dǎo)為J11E1,n(J1bEdaGoJ22E2J2)可得內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為單位長度的漏電導(dǎo)為J11E1,n(J1bEdaGoJ22E2J2)n1 2)E由靜電比擬關(guān)系可得單位長度的電容量為Co單位長度的靜電能為1122)7C2)lnb

a.1ibIna2)\1ibInaE2d2)ban2ban2I27t1 2)U22訂a單位長度的損耗功率為PoGoU27tPoGoU27t2)U2a3-5設(shè)半徑為Ri和R2的兩個同心球面之間填充著0(1魯）的材料，K為常數(shù),求兩球面之間的電阻。解：利用靜電比擬原理，可設(shè)設(shè)Ri球帶電量為q設(shè)Ri球帶電量為q,則兩球面間的電場為Erq4nr24nor(rK)兩球面間電壓為R2EdrRiq4n0KR2EdrRiq4n0KR21Ri(14n0K["ln(rk)]R2InoK民（RK）RRK)兩球面間電容為4n0KlnR2(RK)R1(R2K)由靜電比擬原理可得兩球面間電阻為K)RK)R丄亠?G4n0KRMR2K)3-6如題3.6圖所示的平行板電容器，極板面積為 S,板間距離為d。兩極板之間正中間三分之一的空間填充電容率為 、電導(dǎo)率為 的介質(zhì)，兩邊各三分之一的空間是空氣。當(dāng)外加電壓為U時(shí)，求該電容器的電容和漏電導(dǎo)。Tu ,00題3-6圖解：由介質(zhì)分界面的邊界條件可知，電容器內(nèi)各部分電場強(qiáng)度均勻分布，即于是，極板表面各部分的電荷密度分別為oE、oE，極板上的總電量為oE)oE)SU3-(2o )SQ3(oE該電容器的總電容為(2o)S3d漏電導(dǎo)為S3dS3d3-7如題3.7圖所示的扇形薄金屬片，電導(dǎo)率為，厚度為，扇角為，內(nèi)外半徑分別R'。題3-7圖u時(shí)，金屬片中的電場為解：(1u時(shí)，金屬片中的電場為EU極板上帶電量為qsqsSDSES-電容量為cuq由靜電比擬原理，可得上下方向的電阻即為RoGU時(shí)，金屬片U時(shí)，金屬片Ea亠內(nèi)導(dǎo)體弧面帶電量為Q sQ sS E(ri)riIn—

ri兩弧面間電容為由靜電比擬原理，可得沿半徑方向的電阻即為In(D/rJU，金屬片內(nèi)電位（3U，金屬片內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程:兩直邊之間的電容量為s兩直邊之間的電容量為sdSr21CdUr1由靜電比擬原理，可得兩直邊之間的電阻即為22解得C1C2代入邊界條件 （0）U,()0，解得UG —,C2U于是得到電位解為UU直邊上電荷密度為1Us0/In互ri3-8閃電在t 0時(shí)刻擊中一個半徑為a0.1m的有耗介質(zhì)球（=10S/m，r=1.2)，求電荷從體積內(nèi)擴(kuò)散到把1mC的電荷散落在球上。假設(shè)t0時(shí)刻時(shí)電荷在球內(nèi)均勻分布,求電荷從體積內(nèi)擴(kuò)散到表面上的暫態(tài)過程中任意時(shí)刻的電場強(qiáng)度和電流密度分布。解：由題意，t0時(shí)刻時(shí)，球內(nèi)的電荷密度為3(C/m3)q 3103(C/m3)3 34na/3 4n(0.1)

電荷密度隨時(shí)間變化的規(guī)律可由電流連續(xù)性方程、媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系即高斯定律確定,t?J?(E)解方程得10-_t3 1.2ot3 9.421011toeee4n4n由任意時(shí)刻的高斯定律可得任意時(shí)刻球內(nèi)任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度為1 4n34n01.2r2 〒1 9.421011ta1 9.421011tar re4.8n0ar7.5910re119.421011t(V/m)任意時(shí)刻的電流密度分布為JE ar7.51O10re9.4210叫(A/m2)3-9在電導(dǎo)率為 的無限大均勻漏電介質(zhì)里有兩個導(dǎo)體小球，半徑分別為 r1和「2,小球間距d(d>>r1,d>>r2,即兩球之間的靜電感應(yīng)可以忽略) ，求兩小球間的電阻 R。解：導(dǎo)體小球?yàn)榈葎蒹w，設(shè)兩球分別帶 q和-q,由于d>>r1,d>>r2，因此，在求解球表面和球外的電位時(shí)，可忽略兩球間的靜電感應(yīng)，把 q和-q看作是各自位于球心的點(diǎn)電荷，于是可求得q4n(dr1)qq2 B4nr2 4n(da)兩球之間電壓為LL4n r1 da于是得兩球之間電容為小 q ,“1111、C 4n(-)U石d r1 r2 dr2由靜電比擬原理，可得兩球之間電阻為111111R-(-)G4nr1r2 d r1 da3-10一個半徑為a的導(dǎo)體球接地器埋入地下， 球心距地面h（h>a），考慮到地面的影響,求該接地器的接地電阻，設(shè)土壤的電導(dǎo)率為 。（a）原系統(tǒng) （b）鏡像系統(tǒng) （c）靜電比擬系統(tǒng)題3-10圖解：考慮地面的影響，可采用鏡像法來求解下半空間的電位，鏡像系統(tǒng)如題 3-10（b）圖所示。需要注意的是（1）構(gòu)造鏡像系統(tǒng)時(shí)使用了恒定電場的邊界條件 J1nJ（0），En E2t，因此其鏡像電流應(yīng)如圖（b）中所示，而與圖（b）對應(yīng)的靜電比擬系統(tǒng)中鏡像電荷應(yīng)是Q而不是-Q;（2）要使圖（b）的下半空間電流分布與圖（a）相同，注入的總電流須是圖（a）的2倍；而鏡像系統(tǒng)和原系統(tǒng)在求解區(qū)域電位必相同，因此，求得的電導(dǎo)必是原系統(tǒng)電導(dǎo)的2倍。由圖（b）的靜電比擬系統(tǒng)圖（c）可求出土壤中導(dǎo)體球?qū)o窮遠(yuǎn)處（零參考）的電位為q q4na4n(2ha)注意：兩個導(dǎo)體球是連在一起的，因而電位相等。4n4na(2ha)h2114na4n(2ha)由靜電比擬原理，可得原接地導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為G22na(2ha)h接地電阻為h2na(2ha)3-11厚度為d的無限大均勻?qū)щ娒劫|(zhì)板上垂直地插有兩根無限長金屬圓柱形電極，兩

圓柱的軸線相距D,半徑為a，D>>a;兩電極間電壓為U,求兩電極之間的電流。題3-11圖解：由于媒質(zhì)板與兩平行圓柱的電場強(qiáng)度平行，按照電場強(qiáng)度切向連續(xù)的邊界條件，

媒質(zhì)板內(nèi)外的電場強(qiáng)度和電位分布相同。 因此，先求沒有媒質(zhì)板時(shí)的電位。 設(shè)兩圓柱導(dǎo)體單位帶電量分別為i和-i,取兩圓柱軸線的中分面為電位零參考，則兩圓柱間電壓為U2(a) -^12noa解得no解得noUinD厚度為d的導(dǎo)體圓柱表面的帶電量為idnoUdid.Daina根據(jù)靜電比擬原理,q與根據(jù)靜電比擬原理,q與I是一對比擬變量，又由于D>>a，因此，兩電極之間的電流nUdnUd.Da,Din ina a3-12半徑為a,長為i的管形接地器直立于電導(dǎo)率為 的土壤中，管口與地面平齊，考圖所示，其中利用了邊界條件 J1nJ圖所示，其中利用了邊界條件 J1nJ2n（ °）, Eit E2t。而圖（b）的電位解可用靜電比2t。（b）鏡像系統(tǒng)題3-12圖3-12(3-12(b)擬法求解，其靜電比擬系統(tǒng)如圖（ C）所示。設(shè)導(dǎo)體管單位長度帶電量為 i，可視為位于軸線上，取無窮遠(yuǎn)為零參考，于是，管外任一點(diǎn)電位為管表面單位（(,z)a,z0)(a,0)若Ia，取l2I II47Rdz l4n.(zz)2-In4n(zI)2 2(zI)(zI)2(zl)2dZII^/FVl4n 廠a2—Ia2 2I...I2 a2I2，則導(dǎo)體管表面電位近似為—In?2na該管的電容為4niin

a由靜電比擬原理,可得原接地導(dǎo)體管的接地電導(dǎo)為由靜電比擬原理,GG2nIG3戸In—a接地電阻為1 ,2IR In2nIa3-13在很深的湖底上方高h(yuǎn)>>a。假設(shè)湖底為良導(dǎo)體平面，湖水電導(dǎo)率為h3-13在很深的湖底上方高h(yuǎn)>>a。假設(shè)湖底為良導(dǎo)體平面，湖水電導(dǎo)率為，求單位長度的導(dǎo)線與湖底之間的電阻。2a「Of2a7//7/7Z77(a)7//7/7Z7