北京馬池口中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，且，且n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(

) A．a(chǎn)n= B．a(chǎn)n= C．a(chǎn)n=n+2 D．a(chǎn)n=（n+2）3n參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．分析：由題意及足a1=1，且，且n∈N*），則構(gòu)造新的等差數(shù)列進(jìn)而求解．解答： 解：因?yàn)?，且n∈N*）?，即，則數(shù)列{bn}為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案為：B點(diǎn)評(píng)：此題考查了構(gòu)造新的等差數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．2.已知f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（﹣∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6）則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c參考答案：B【分析】利用對(duì)數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【解答】解：∵f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，∴b=f（log3）=f（﹣log23）=f（log23），∵log23=log49＞log47＞1，0＜0.20.6＜1，∴0.20.6＜log47＜log49，∵在（﹣∞，0]上是增函數(shù)，∴在[0，+∞）上為減函數(shù)，則f（0.20.6）＞f（log47）＞f（log49），即b＜a＜c，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3.已知，則sin2x=（

）A.

B.C.D.參考答案：C略4.設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),它的周期是,則（

）A．的圖象過(guò)點(diǎn)

B．的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是C．在上是減函數(shù)D．將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象參考答案：B5.下列說(shuō)法：（1）命題“，使得”的否定是“，使得”（2）命題“函數(shù)在處有極值，則”的否命題是真命題（3）是（，0）∪（0，）上的奇函數(shù)，時(shí)的解析式是，則的解析式為其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)參考答案：C6.A．

B．

C．

D．參考答案：C7.已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=|x|，x∈A}，則A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{0，2，3}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)交集的定義寫(xiě)出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=|x|，x∈A}={0，1，2，3}，所以A∩B={0，2，3}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．8.若，其中，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B此題考察兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件，即且，但不要忘了都為實(shí)數(shù)這個(gè)條件。由，得，從而，，故選擇B。9.定義運(yùn)算=ad－bc，則滿(mǎn)足=0的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：答案：A10.已知，，則

（

）

A.

B.或

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，恒成立．有下列結(jié)論：①；②函數(shù)為上的奇函數(shù)；③函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)；④若，且，則數(shù)列為等比數(shù)列．其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)是

．參考答案：①②④12.（文）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式成立，所以只考慮時(shí)，若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)。若，則不等式等價(jià)為，即，因?yàn)?，所以，所以。所以?shí)數(shù)的取值范圍是或。13.已知向量=(2,3),=(m,-6),若⊥,則|2+|=__________.

參考答案：1314.過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則此切線(xiàn)方程為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程B12【答案解析】y=ex解析：解：y′=ex設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，ex0），切線(xiàn)的斜率為k，則k=ex0，故切線(xiàn)方程為y﹣ex0=ex0（x﹣x0）又切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．則切線(xiàn)方程為y=ex故答案為y=ex．【思路點(diǎn)撥】欲求切點(diǎn)的坐標(biāo)，先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，ex0），再求出在點(diǎn)切點(diǎn)（x0，ex0）處的切線(xiàn)方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=x0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率．最后利用切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)即可解決問(wèn)題15.14．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)≥時(shí)，，那么，不等式的解集是____________．參考答案：（-7,3）16.設(shè)展開(kāi)式的中間項(xiàng)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______參考答案：17.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線(xiàn)

的距離是

。參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)，曲線(xiàn)與直線(xiàn)在(0，0)點(diǎn)相切。

(Ⅰ)求的值。

(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，。參考答案：【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用。本題容易忽略函數(shù)的定義域，根據(jù)條件曲線(xiàn)與直線(xiàn)在(0，0)點(diǎn)相切，求出的值，然后，利用函數(shù)的單調(diào)性或者均值不等式證明即可。從近幾年的高考命題趨勢(shì)看，此類(lèi)型題目幾乎年年都有涉及，因此，在平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練。本題屬于中檔題。19.(文科)已知四棱錐的底面是直角梯形，，，側(cè)面為正三角形，，．如圖4所示．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．參考答案：證明(1)直角梯形的，，又，，∴．∴在△和△中，有，．∴且．∴．(文科)解(2)∵，是正三角形，∴，結(jié)合幾何體可知，∴．

20.（13分）設(shè)函數(shù)在上的最大值為（）．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：對(duì)任何正整數(shù)n(n≥2)，都有成立；（III）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有成立．參考答案：（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，由知或，

當(dāng)時(shí)，則，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴在處取得最大值，即當(dāng)時(shí)，由（II）知．所以，對(duì)任意正整數(shù)，都有成立．

……13分21.某地發(fā)生特大地震和海嘯，使當(dāng)?shù)氐淖詠?lái)水受到了污染，某部門(mén)對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定往水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)。已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過(guò)x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿(mǎn)足，當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱(chēng)為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱(chēng)為最佳凈化。

（I）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4，試問(wèn)自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（II）如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，試確定該投放的藥劑質(zhì)量m的值。參考答案：解：（1）當(dāng)m=4時(shí)，

-----------------2分當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱(chēng)為有效凈化∴當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，解得故自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)5天

-------------------6分（2）為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化即前4天和后3天的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化∴當(dāng)時(shí)，在恒成立，得在恒成立，∴

----------------------9分當(dāng)時(shí)，在恒成立，同理得

即投放的藥劑質(zhì)量m的值為

------------------13分

22.寶寶的健康成長(zhǎng)是媽媽們最關(guān)心的問(wèn)題，父母親為嬰兒選擇什么品牌的奶粉一直以來(lái)都是育嬰中的一個(gè)重要話(huà)題．為了解國(guó)產(chǎn)奶粉的知名度和消費(fèi)者的信任度，某調(diào)查小組特別調(diào)查記錄了某大型連鎖超市2015年與2016年這兩年銷(xiāo)售量前5名的五個(gè)奶粉的銷(xiāo)量（單位：罐），繪制出如圖1的管狀圖：（1）根據(jù)給出的這兩年銷(xiāo)量的管狀圖，對(duì)該超市這兩年品牌奶粉銷(xiāo)量的前五強(qiáng)進(jìn)行排名；（2）分別計(jì)算這5個(gè)品牌奶粉2016年所占總銷(xiāo)量（僅指這5個(gè)品牌奶粉的總銷(xiāo)量）的百分比（百分?jǐn)?shù)精確到個(gè)位），并將數(shù)據(jù)填入如圖2餅狀圖中的括號(hào)內(nèi)；（3）試以（2）中的百分比為概率，若隨機(jī)選取2名購(gòu)買(mǎi)這5個(gè)品牌中任意1個(gè)品牌的消費(fèi)者進(jìn)行采訪(fǎng)，記X為被采訪(fǎng)者中購(gòu)買(mǎi)飛鶴奶粉的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）寫(xiě)出該超市這兩年銷(xiāo)售量前5名的五個(gè)奶粉的銷(xiāo)量的前五強(qiáng)排名；（2）計(jì)算這5個(gè)品牌奶粉2016年所占總銷(xiāo)量（僅指這5個(gè)品牌奶粉的總銷(xiāo)量）的百分比，再填表；（3）計(jì)算購(gòu)買(mǎi)飛鶴奶粉的概率，求出X的可能取值以及概率值，求出分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）該超市這兩