2022-2023學(xué)年福建省龍巖市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以.故選：B．2．現(xiàn)從中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行一次肺活量調(diào)查，據(jù)了解，某地小學(xué)?初中?高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，而同一學(xué)段男?女學(xué)生的肺活量差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（

）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B．按性別分層隨機(jī)抽樣C．按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣D．按肺活量分層隨機(jī)抽樣【答案】C【分析】依據(jù)題給條件結(jié)合分層抽樣定義及適用條件即可確定抽樣方法.【詳解】選項(xiàng)A：因小學(xué)?初中?高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，因此不適合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因同一學(xué)段男?女學(xué)生的肺活量差異不大，因此按性別分層隨機(jī)抽樣沒有必要.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：小學(xué)?初中?高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，而同一學(xué)段男?女學(xué)生的肺活量差異不大，因而按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣.判斷正確；選項(xiàng)D：因肺活量是待測(cè)量的量，不可以作為分層的標(biāo)準(zhǔn).判斷錯(cuò)誤.故選：C3．某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前名學(xué)生分布的扇形圖（如圖）和前名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯(cuò)誤的是（

）

A．成績(jī)前名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多人B．成績(jī)前名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過人C．成績(jī)前名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過人D．成績(jī)第名到第名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多【答案】D【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖提供的數(shù)據(jù)判斷．【詳解】由餅狀圖，成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多，A正確；由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為，B正確；成績(jī)前50名的50人中，高一人數(shù)為，因此高三最多有32人，C正確；第51到100名的50人中，高一人數(shù)為，故高二最多有23人，因此高二人數(shù)比高一少，D錯(cuò)誤．故選：D．4．若甲、乙、丙三人通過考試的概率分別為、、，則事件“三人中恰有兩人通過考試”發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.【詳解】設(shè)事件甲通過考試為，事件乙通過考試為，事件丙通過考試為，則事件甲不通過考試為，事件乙不通過考試為，事件丙不通過考試為，由已知，，所以事件“三人中恰有兩人通過考試”可表示為，所以，所以，所以，故選：D.5．某小區(qū)為了調(diào)查本小區(qū)業(yè)主對(duì)物業(yè)服務(wù)滿意度的真實(shí)情況，對(duì)本小區(qū)業(yè)主進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查中問了兩個(gè)問題1：你的手機(jī)尾號(hào)是不是奇數(shù)？問題2：你是否滿意物業(yè)的服務(wù)？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，其中裝有大小、形狀和質(zhì)量完全相同的白球和紅球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從裝置中摸到紅球和白球的可能性相同，其中摸到白球的業(yè)主回答第一個(gè)問題，摸到紅球的業(yè)主回答第二個(gè)問題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問題別人并不知道，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實(shí)際情況的答案.已知某小區(qū)80名業(yè)主參加了問卷，且有48名業(yè)主回答了“是”，由此估計(jì)本小區(qū)對(duì)物業(yè)滿意服務(wù)的百分比大約為（

）A．10% B．20% C．35% D．70%【答案】D【分析】根據(jù)問卷調(diào)查的設(shè)計(jì)原則，及兩個(gè)問題被抽到、手機(jī)尾號(hào)奇數(shù)、偶數(shù)的概率分別相同，結(jié)合已知估計(jì)回答第二個(gè)問題的人數(shù)及回答“是”的人數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】由兩個(gè)問題被問的概率相等，故約有40人回答了第一個(gè)問題，由手機(jī)尾號(hào)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率相等，故40人中約有20人回答“是”，根據(jù)有48名業(yè)主回答了“是”，則約有28人在第二個(gè)問題中回答“是”，又第二個(gè)問題被問到的人數(shù)同樣約為40人，故本小區(qū)對(duì)物業(yè)滿意服務(wù)的百分比大約為.故選：D6．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天，每天的日均氣溫都不低于”．已知甲，乙，丙，丁四個(gè)地區(qū)某連續(xù)5天日均氣溫的數(shù)據(jù)特征如下：甲地中位數(shù)為，平均數(shù)為．乙地第60百分位數(shù)為，眾數(shù)為．丙地最高氣溫為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為．丁地下四分位數(shù)為，上四分位數(shù)為，極差為．則可以肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)是（

）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】C【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)及極差的定義舉出反例即可判斷甲乙丁三地，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差利用反證法即可判斷丙地.【詳解】對(duì)于甲地，中位數(shù)為，平均數(shù)為，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則甲地沒有進(jìn)入夏季；對(duì)于乙地，第60百分位數(shù)為，眾數(shù)為，，則第60百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則乙地沒有進(jìn)入夏季；對(duì)于丙地，最高氣溫為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，設(shè)前面四個(gè)數(shù)據(jù)為，則，故，所以，若，則，這與矛盾，所以，所以丙地肯定進(jìn)入夏季；對(duì)于丁地，下四分位數(shù)為，上四分位數(shù)為，極差為，由，得下四分位數(shù)為按從小到大排列得第個(gè)數(shù)據(jù)，上四分位數(shù)為按從小到大排列得第個(gè)數(shù)據(jù)，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則丁地沒有進(jìn)入夏季.故選：C.7．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)P在棱上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段上、若，則三棱錐的體積（

）A．與無關(guān)，與有關(guān) B．與有關(guān)，與無關(guān)C．與都有關(guān) D．與都無關(guān)【答案】D【分析】根據(jù)得出平面，所以點(diǎn)到平面的距離也即到平面的距離，得到點(diǎn)到平面的距離為定值，而底面的面積也是定值，并補(bǔ)隨的變化而變化，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎襟w，所以因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離也即到平面的距離，也即點(diǎn)到平面的距離不隨的變化而變化，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，過點(diǎn)作，根據(jù)正方體的特征可知：平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以平面，則有，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以點(diǎn)到的距離也即到的距離，且距離為1，所以（定值），所以（定值），則三棱錐的體積不隨與的變化而變化，也即與與都無關(guān).故選：.8．在四面體中，與都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【分析】三棱錐的外心必定在過一個(gè)三角形的外心與這個(gè)三角形所成的面垂直的垂線上，從而確定球心的位置，結(jié)合題意，利用幾何關(guān)系求出外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，分別取和的外心與，過兩點(diǎn)分別作平面和平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，連接，則為二面角的平面角，即，則是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，，在中，，所以，又由，所以，所以四面體的外接球的表面積為.故選：A.

二、多選題9．下列說法不合理的是（

）A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)為6的概率是，意即每擲6次就有一次擲得點(diǎn)數(shù)6．B．拋擲一枚硬幣，試驗(yàn)200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率．C．某地氣象局預(yù)報(bào)說，明天本地下雨的概率為，是指明天本地有的區(qū)域下雨．D．隨機(jī)事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大．【答案】ACD【分析】在A中，意即每擲6次就可能有一次擲得點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；在B中，試驗(yàn)200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；在C中，是指明天本地有的可能性會(huì)下雨，故C錯(cuò)誤；在D中，可以舉例說明D錯(cuò)誤．【詳解】解：在A中，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)為6的概率是，意即每擲6次就可能有一次擲得點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；在B中，拋擲一枚硬幣，由概率的定義得：試驗(yàn)200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；在C中，某地氣象局預(yù)報(bào)說，明天本地下雨的概率為，是指明天本地有的可能性會(huì)下雨，故C錯(cuò)誤；在D中，隨機(jī)事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率不一定比，中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大，如擲一枚骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，=擲一枚骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率的概率是1，A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率也是1，故D錯(cuò)誤.故選：ACD．10．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則為直角三角形B．若，則C．若，，，則此三角形有兩解D．若，則為等腰三角形【答案】BC【分析】A根據(jù)向量的幾何意義易知的角平分線與邊垂直，即可判斷；B由正弦定理及大邊對(duì)大角即可判斷；C利用正弦定理判斷形狀；D由已知得或，即可判斷形狀.【詳解】A：由分別表示上的單位向量，則在的角平分線上，故的角平分線與邊垂直，即為等腰三角形，錯(cuò)誤；B：由大角對(duì)大邊，則a大于b，且，故，正確；C：由，故此三角形有兩解，正確；D：由，而，則或，所以或，故為等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤.故選：BC11．有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，一組樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不完全相等的正數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差B．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C．若樣本甲的中位數(shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是D．若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是【答案】ACD【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)概念和性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為，且，則樣本乙的數(shù)據(jù)為，且，對(duì)于選項(xiàng)A：樣本甲的極差為，樣本乙的極差，因?yàn)?，即，所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：記樣本甲的方差為，則樣本乙的方差為，因?yàn)?，即，所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闃颖炯椎闹形粩?shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是，故D正確；故選：ACD.12．如圖所示，圓錐PO中，PO為高，AB為底面圓的直徑，圓錐的軸截面是面積等于4的等腰直角三角形，C為母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)M為底面上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)O在直線PM上的射影為H．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）

A．三棱錐體積的最大值為 B．線段PB長(zhǎng)度是線段CM長(zhǎng)度的兩倍C．直線CH一定與直線PA垂直 D．H點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l，求得和，得到點(diǎn)到平面距離的最大值為，結(jié)合，可判定A錯(cuò)誤；證得，得到在直角中，的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的一半，可判定B正確；由，和，證得恒成立，可判定C正確；證得，得到H點(diǎn)的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，可判定D正確．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的軸截面為面積等于4的等腰直角三角形，則其面積，解得，所以．對(duì)于A中，如圖所示，由可知，點(diǎn)M在以O(shè)A為直徑的圓上，半徑為1，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面距離的最大值為．又因?yàn)椋嗜忮F的體積即為三棱錐體積，故體積最大值為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由平面，平面AMB，所以，又由，且，所以平面POM，所以，所以在直角三角形中，的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的一半，即為線段的長(zhǎng)度的一半，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)槠矫鍼OM，且平面，則，又因?yàn)?，且，則平面PAM，因?yàn)槠矫?，則，由是等腰直角三角形，可得，即為等腰三角形，連接OC，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，又因?yàn)?，則平面OHC，平面OHC，所以恒成立，所以C正確；對(duì)于D中，由C項(xiàng)可知平面OHC，又由平面PAM，且平面PAM，所以，過點(diǎn)且與垂直的平面僅有一個(gè)，則H點(diǎn)的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，因?yàn)?，則H點(diǎn)形成的軌跡周長(zhǎng)為，所以D正確．故選：BCD.

三、填空題13．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離加半徑可得最大值，減半徑可得最小值即可.【詳解】表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和之間的距離，的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，所以最大距離為，最小距離為，所以的取值范圍為.故答案為：.

14．一顆正方體骰子，其六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，將這顆骰子拋擲三次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則三次點(diǎn)數(shù)之和等于16的概率為．【答案】【分析】分別寫出基本事件的總數(shù)，以及滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，從而得解.【詳解】由題意，將這顆骰子連續(xù)拋擲三次，三次向上的點(diǎn)數(shù)一共有種情況，滿足三次點(diǎn)數(shù)之和等于16的有：，共6種結(jié)果，所以三次點(diǎn)數(shù)之和等于16的概率為.故答案為：.15．在中，，.若點(diǎn)D在邊BC上，且滿足，則.【答案】/【分析】根據(jù)向量加減、數(shù)乘的幾何意義得，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng)，即可得結(jié)果.【詳解】由，所以，故.故答案為：16．同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”.①A與C互斥

②B與D對(duì)立

③A與D相互獨(dú)立

④B與C相互獨(dú)立則上述說法中正確的為.【答案】①④【分析】列舉出所有可能組合，根據(jù)各事件的描述列出對(duì)應(yīng)的組合，結(jié)合互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的定義或性質(zhì)判斷事件間的關(guān)系即可.【詳解】若表示(紅,藍(lán))的點(diǎn)數(shù)組合，則所有可能組合有：，，，，，.事件A的組合有，共4種；事件B的組合有，，，共18種；事件C的組合有，共6種；事件D的組合有，，，，，，共27種；事件的組合有，故；事件的組合有故；綜上，A與C互斥，B與D不對(duì)立，，，，，所以，.A與D不相互獨(dú)立、B與C相互獨(dú)立.故答案為：①④17．在矩形ABCD中，，沿AC將折起，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，異面直線AB與CD所成角的余弦值為.【答案】/0.2【分析】沿AC將折起后位置為，根據(jù)題設(shè)條件易知所求角為或其補(bǔ)角，作于，連接，根據(jù)直二面角證，求得，最后應(yīng)用余弦定理求異面直線夾角余弦值.【詳解】沿AC將折起后位置為，且為矩形，則，

所以異面直線AB與CD所成角，即為與CD所成角或其補(bǔ)角，作于，連接，顯然，由二面角為直二面角，即面面，面面，面，則面，而面，故，由，且，故，則，所以，又，則.故答案為：四、雙空題18．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，如圖是一個(gè)圓柱容球，、為圓柱兩個(gè)底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則①平面DEF截得球的截面面積最小值為；②若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】/【分析】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，分析可知當(dāng)平面時(shí)，截面圓的半徑最小，求出截面圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式可求平面DEF截得球的截面面積最小值；利設(shè)在底面的射影為，設(shè)令，則，其中，可得出，利用平方法和二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍，可得的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：易知，，，由勾股定理可得，則由題可得，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，因?yàn)槠矫?，?dāng)平面時(shí)，取最大值，即，所以，，所以平面截得球的截面面積最小值為；由題可知點(diǎn)在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，則，，，由勾股定理可得，令，則，其中，所以，，所以，，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.五、解答題19．如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)設(shè)直線與底面所成角的正切值為，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位線得線線平行，再證線面平行即可；（2）根據(jù)線面夾角的定義及已知可求得AB長(zhǎng)，再根據(jù)線面垂直判定直線與平面所成角即∠CPD，解三角形即可.【詳解】（1）連接，記，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，∴平面；

（2）因?yàn)槠矫妫约礊橹本€與平面所成線面角，則.

因?yàn)榫匦沃?，所?

因?yàn)槠矫?，平面，所以，?jì)算可得.又，，，平面，所以，所以即為直線與平面所成線面角，解得.20．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角的內(nèi)角和定理，利用正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，結(jié)合銳角三角形求出角的范圍及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由及余弦定理，得，由銳角，知，所以．（2）由（1）知，得，故，由正弦定理，得，由為銳角三角形得解得，∴，∴．故的取值范圍為.21．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.(1)證明：平面平面ACE；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）法一：由已知可推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可證平面PBD，由此能證明平面平面ACE；法二：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面平面ACE.（2）法一：由題意可推出CE在平面PBD內(nèi)的射影為OE，是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值；法二：求出平面PAC的一個(gè)法向量和平面ACE的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AC﹣E的余弦值.【詳解】（1）解法一：證明：平面ABCD，，又底面ABCD是菱形，，而，平面，平面PBD，而平面ACE，所以平面平面ACE.解法二：證明：已知底面ABCD是菱形，，又平面ABCD，所以BO，CO，PO互相垂直，故可以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，可知相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，易知平面PBD的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，故平面PBD，從而平面平面ACE.（2）解法一：觀察圖可知平面平面PBD，故CE在面PBD內(nèi)的射影為OE，，，又由（1）可得，，，故是二面角的平面角，菱形ABCD中，，，∴，，又，∴，∴，∴，即二面角的余弦值為.解法二：設(shè)，則，，∴，故，可得，易知平面PAC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量，則，取，得，∴，即二面角的余弦值為.22．某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】(1)32.25，第80百分位數(shù)為37.5(2)10【分析】（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)和百分位數(shù)；（2）利用分層抽樣得第四組和第五組分別抽取人和人，進(jìn)而設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，進(jìn)而根據(jù)方差公式，代入計(jì)算即可得答案.【詳解】（1）設(shè)這20人的平均年齡為，則.設(shè)第80百分位數(shù)為，由，解得.（2）由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為，故各組中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取人和人，設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.23．雙淘汰賽制