第八章立體幾何初步8.6.3平面與平面垂直教學(xué)目標(biāo)

理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)作二面角的平面角（重點(diǎn)）01

能求簡(jiǎn)單二面角的平面角的大小（難點(diǎn)）02能

理解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）03

能利用平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明（重點(diǎn)）04學(xué)科素養(yǎng)

面面垂直的定義，平面與平面垂直的判定定理數(shù)學(xué)抽象

二面角的有關(guān)概念，平面與平面垂直的定義直觀想象

平面與平面垂直的判定定理，并能解決面面垂邏輯推理

求簡(jiǎn)單二面角的平面角的大小數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge直線與平面垂直的相關(guān)定義：

一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．

注：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖8.6-9所示.垂足垂面垂線直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．符號(hào)語言：三個(gè)條件缺一不可圖形語言：lmαnP

定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化.

如圖8.6-14，一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足．

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．平面的斜線垂足斜線在平面上的射影斜線與平面所成的角

求斜線和平面所成的角的一般步驟：1．作：在斜線上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足

和垂足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線和其射影所成的角，即為

斜線和平面所成的角；2．證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；

（注：關(guān)鍵證明線面垂足，即證得斜線在面內(nèi)的射影）3．求：通過解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．常用性質(zhì)：02知識(shí)精講

ExquisiteKnowledge

像研究直線與平面垂直一樣，我們首先應(yīng)給出平面與平面垂直的定義.那么，該如何定義呢？不妨回顧一下直線與平面垂直、直線與直線垂直的定義過程．

在定義直線與平面垂直時(shí)，我們利用了直線與直線的垂直．所以，直線與直線垂直是研究直線、平面垂直問題的基礎(chǔ)．

在平面幾何中，我們先定義了角的概念，利用角刻畫兩條相交直線的位置關(guān)系，進(jìn)而研究直線與直線互相垂直這種特殊情況，類似地，我們需要先引進(jìn)二面角的概念，用以刻畫兩個(gè)相交平面的位置關(guān)系，進(jìn)而研究?jī)蓚€(gè)平面互相垂直．半平面的定義：

直線上的一點(diǎn)將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線．

平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面．射線射線半平面半平面lABβα．P．Q二面角的定義：

如圖，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．

這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．二面角的記法：①棱為AB，面為α、β的二面角記作二面角α-AB-β；②也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取

點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q；③棱記作l，這個(gè)二面角記作二面角α-l-β或P-l-Q．棱面

如圖8.6-22，在日常生活中，我們常說"把門開大一些"，是指哪個(gè)角大一些？受此啟發(fā)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫二面角的大小呢?

那么該如何定量地刻畫兩平面的位置關(guān)系呢？根據(jù)前面研究異面直線所成的角和直線與平面所成的角的經(jīng)驗(yàn)，我們可以用一個(gè)平面角來度量二面角的大?。@樣的平面角該如何建構(gòu)呢？PAB問題：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，從該點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)任作一條射線，可得一個(gè)平面角，這樣的平面角能用來刻畫二面角的大小嗎？為什么？如果不能，又該如何作圖呢？

不能，因?yàn)榻堑拇笮?huì)由于所作射線的位置不一樣而不同，而度量一個(gè)量的基本要求是“唯一性”．

以棱上給定的一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線形成的角度是唯一確定的．ABβαl二面角的平面角的定義：

在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．問題：∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱l上的位置有關(guān)嗎？為什么？

O

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．

根據(jù)空間等角定理，∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱l上的位置無關(guān)．二面角的取值范圍：

二面角的平面角θ的取值范圍為0o≤θ≤180o．直二面角的定義：

我們把平面角是直角的二面角叫做直二面角．銳二面角直二面角鈍二面角

教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角?分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)．

教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交，它們所成的二面角是直二面角，我們常說墻面直立于地面上.

如圖8.6-24，畫兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫成垂直．兩平面垂直的定義：

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β．圖8.6-24

建筑工人在砌墻時(shí)，常用鉛錘來檢測(cè)所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面，就認(rèn)為墻面垂直于地面．這種方法說明了什么道理？

在明確了兩個(gè)平面互相垂直的定義的基礎(chǔ)上，我們研究?jī)蓚€(gè)平面垂直的判定和性質(zhì).先研究平面與平面垂直的判定．這種方法告訴我們，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直.

類似結(jié)論也可以在長(zhǎng)方體中發(fā)現(xiàn)．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'經(jīng)過平面ABCD的一條垂線AA'，此時(shí)，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．圖8.6-25平面與平面垂直的判定定理：

如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.符號(hào)語言：

這個(gè)定理說明了，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.【例7】如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證平面A'BD⊥平面ACC'A'．【例8】如圖所示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC．【練習(xí)】在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在圖中發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？由AB⊥平面BCD可知：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．易證：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．

教科書第158頁的例8以及練習(xí)的第3題中出現(xiàn)的四面體在中國(guó)古代被稱為“鱉臑”，即四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．“鱉臑”是用來展示空間垂直關(guān)系的經(jīng)典素材，值得我們關(guān)注．03拓展提升ExpansionAndPromotion四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”；將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”；底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．塹堵陽馬鱉臑四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”；將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”；底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．兩個(gè)塹堵組成一個(gè)長(zhǎng)方體一個(gè)陽馬和一個(gè)鱉臑組成一個(gè)塹堵兩個(gè)鱉臑組成一個(gè)陽馬04歸納總結(jié)SumUplABβα．P．Q二面角的定義：

如圖，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．

這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．二面角的記法：①棱為AB，面為α、β的二面角記作二面角α-AB-β；②也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取

點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q；③棱記作l，這個(gè)二面角記作二面角α-l-β或P-l-Q．棱面OABβαl二面角的平面角的定義：

在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．

二面角的平面角